Pobierz Wyznaczanie Przyspieszenia Ziemskiego za Pomocą Wahadła Rewersyjnego i więcej Schematy w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Ćwiczenie 20
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO
ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO
20.1. Wiadomości ogólne
Wahadłem fizycznym nazywamy ciało sztywne, zawieszone na poziomej osi nie przechodzącej przez jego środek ciężkości (rys. 20.1). Po wychyleniu wahadła z położenia równowagi będzie ono wykonywać drgania pod wpływem siły ciężkości P = m⋅g (m – masa ciała, g – przyspieszenie ziemskie), przyłożonej w środku ciężkości C wahadła. Jeżeli w danej chwili wahadło jest wychylone o kąt ϕ, działający na nie moment siły ciężkości względem osi obrotu O wynosi
M = − P x = − mga sinϕ, (20.1)
gdzie: x – ramię siły ciężkości, a – odległość środka ciężkości od osi obrotu.
S
C B
P
g m
l
ϕ
x
a
O
Rys. 20.
Znak minus uwzględnia fakt, że moment siły ciężkości powoduje obrót wahadła w kierunku przeciwnym do kierunku jego wychylenia. Wiedząc, że dla małych kątów sin ϕ ≈ ϕ (kąt ϕ jest wyrażony w radianach), i wprowadzając oznaczenie D = mga (20.2) możemy przepisać wzór (3.1) w postaci M = − Dϕ. (20.3) Współczynnik proporcjonalności D w tym wzorze nazywamy momentem kierującym. Zgodnie z II zasadą dynamiki, ruch obrotowy ciała sztywnego opisuje równanie M = I ε , (20.4)
gdzie: I – moment bezwładności ciała względem osi obrotu, ε = d^2 ϕ/dt^2 – przyspieszenie kątowe.
Porównując (20.3) i (20.4), otrzymamy równanie
ϕ=− ⋅ ϕ I
D
dt
d 2
2 , (20.5)
które jest równaniem ruchu drgającego o okresie drgań
D
I
T = 2 π , (20.6)
gdzie: D – moment kierujący.
W przypadku wahadła fizycznego D = mga (wzór 20.2), więc okres
mga
I
T = 2 π. (20.7)
Wprowadźmy teraz wielkość zwaną długością zredukowaną wahadła fizycznego. Długość zredukowana wahadła fizycznego o masie m jest to długość nici 1 takiego wahadła matematycznego, którego okres wahań
g
l T = 2 π (20.8)
jest równy okresowi wahań danego wahadła fizycznego, a jego masa jest skupiona w punkcie S (rys. 20.1). Porównując (20.7) z (20.8), otrzymujemy:
ma
I
l gT 2
2
π
=.^ (20.9)
Punkt S na prostej OC, znajdujący się w odległości l od osi obrotu (rys. 20.1), nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego. Moment bezwładności I wahadła fizycznego zależy od odległości a jego środka ciężkości od osi obrotu O. Zgodnie z twierdzeniem Steinera
I = IC + ma^2 , (20.10)
gdzie: IC – moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez środek ciężkości, równoległej do osi zawieszenia.
Podstawiając (20.10) do (20.7), otrzymamy
mga
I ma T 2
2 = π C^ + (20.11)
co prowadzi do równania
4 π^2 ma^2 – T^2 mga + 4π^2 IC = 0 , (20.12)
które ma dwa różne pierwiastki określające dwie różne odległości a 1 i a 2 środka ciężkości wahadła od osi obrotu O odpowiadające temu samemu okresowi T wahań wahadła. Ze wzoru na sumę pierwiastków równania kwadratowego (20.12), otrzymujemy
l 4
gT a a 2
2 1 +^2 = π = ,^ (20.13)
a więc suma obu odległości jest równa długości zredukowanej wahadła fizycznego.
zmieniając położenie jego środka ciężkości, znajduje się między ostrzami, a ciężar A – na zewnątrz. Na sztabie nacięta jest skala, która umożliwia odczyt położenia ruchomego ciężaru oraz odległości obu ostrzy. Z uwagi na przybliżony charakter wzoru (20.8) pomiary należy wykonywać przy małej amplitudzie wahań, nieprzekraczającej wartości kąta wychylenia ϕ 0 = 5°. Rozpoczynając pomiary przesuwamy ruchomy ciężar A jak najbliżej ostrza O 1 i zawieszamy wahadło na jednym z ostrzy, np. O 1. Odczytujemy położenie h ciężaru B i mierzymy czas t 1 liczby n = 20 pełnych wahnięć. Obliczamy okres wahań wahadła T 1 = t 1 /n. Kontynuujemy pomiary, zwiększając odległość między ostrzem O 1 i ciężarem B co ∆h = 5 cm do momentu, gdy ciężar znajdzie się pośrodku wahadła. Odwracamy wahadło i zawieszamy je na drugim ostrzu, O 2. Wyznaczamy okresy wahań wahadła T 2 = t 2 /n dla tych samych położeń h ciężaru B co poprzednio. W celu oszacowania niepewności ∆t pomiarów czasów t 1 i t 2 jeden z pomiarów powtarzamy 3−5 razy dla ustalonej wartości h. Sporządzamy następnie wykres zależności okresów drgań T 1 i T 2 od odległości h (rys. 20.4). Odcięta punktu P przecięcia krzywych określa w przybliżeniu położenie ho ciężaru, przy którym T 1 = T 2. Ustawiamy ciężar B w tym położeniu i wyznaczamy okresy drgań T 1 i T 2 dla n = 100 wahnięć przy zawieszeniu wahadła na ostrzach O 1 i O 2. Sprawdzamy, czy są one równe w granicach niepewności pomiarów ∆T, tj. czy T 1 – T 2 ≤ 2 ∆T. Jeżeli różnica okresów T 1 i T 2 jest większa, przesuwamy ciężar o ∆h ≈ 1 cm w jedną lub w drugą stronę i powtarzamy pomiary. Dla łatwiejszego określenia właściwego położenia ciężaru nowe rezultaty również nanosimy na wykres, zagęszczając punkty pomiarowe. Po uzyskaniu zadawalającej zgodności obu okresów drgań obliczamy ich średnią
T T
T ś (^) r^12
Odległość O 1 O 2 między ostrzami, równą długości zredukowanej l wahadła podano przy zestawie pomiarowym. Przyspieszenie ziemskie obliczamy ze wzoru
2 śr
2
T
g = 4 πl, (20.16)
który wynika ze wzoru (20.8).
h
A
B
(^01)
(^0 )
Rys. 20.
Rys. 20.
P
T
h 0 h
T
T
1
2
20.4. Ocena niepewności pomiarów
Niepewność ∆t pomiarów czasów t 1 i t 2 szacujemy jako niepewność systematyczną (wzór(3) – Wstęp). Niepewność pomiarów okresów wahań T 1 i T 2 oraz ich wartości średniej T obliczamy ze wzoru ∆T 1 = ∆T 2 = ∆T = ∆t/n. Za niepewność pomiaru odległości l = O 1 O 2 przyjąć ∆l = 0,5 mm. Niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego obliczamy metodą różniczki logarytmicznej ze wzoru (20.16), jako względną niepewność złożoną (wzór (15) – Wstęp)
T
T
l
l g
g g
δ = ,^ (20.17)
a bezwzględną niepewność systematyczną ∆g w wyznaczaniu przyspieszenia ziemskiego obliczamy ze wzoru
∆g =δg g.^ (20.18)
Uwagi
- Wahadło rewersyjne jest ciężkim przyrządem. Dla uniknięcia wypadku lub uszkodzenia wahadła należy podczas pomiarów zachować ostrożność, zwłaszcza przy zmianie jego zawieszenia.
- W trakcie ćwiczenia wykonuje się prowizoryczny wykres zależności T 1 i T 2 od h. Należy w tym celu zaopatrzyć się w milimetrowy papier i przybory kreślarskie.
Literatura
[1] Massalski J., Massalska M.: Fizyka dla inżynierów, cz. I. Warszawa: WNT 1980. [2] Szydłowski H.: Pracownia fizyczna. Warszawa: PWN 1973.
