Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego, Skrypty z Fisica

Pobierz Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego i więcej Skrypty w PDF z Fisica tylko na Docsity!

Wyznaczanie wartości

przyspieszenia ziemskiego

Ryszard Kostecki

Warszawa, 17 grudnia 2000

rysunek 1

M mgl α

mg

=−

2

2 2

2

g

L

T

L

g

g L

mgL mL

mgL I

ω π

ω

ω

α ω α

Streszczenie

Celem tej pracy jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego w Warszawie (21°01'00'' E, 52°13'15'' N,

100m n.p.m.) przy użyciu wahadła matematycznego.

Podstawy teoretyczne

Oznaczmy przez:

 L - długość nici

 g - wartość przyspieszenia ziemskiego

 m - masę ciała zawieszonego na nici

(nazywanego dalej "ciężarkiem")

 α - kąt wychylenia ciężarka od pionu

 α m

• maksymalną wartość α (amplitudę wahań)

 T - okres wahań wahadła

 I - moment bezwładności ciężarka

 ω - częstość wahań

 Fs - siłę sprężystości

 MFs - moment siły Fs

 Mmg - moment siły mg

 ΔT - błąd pomiaru T

 ΔL - błąd pomiaru L

 Δg - błąd pomiaru g

 ĝ - średnią wartość g

 Δĝ - błąd wyznaczonej wartości ĝ

 π = 3,14159265358979 ± 10

Rozważmy siły działające na masę m (patrz: rysunek 1).

Można zauważyć, iż:

Jeżeli α jest bliskie zeru, to można zastosować przybliżenie sin α ≈ α. Wtedy mamy:

Wobec tego:

przekształcając ten wzór mamy ostatecznie:

Realizacja techniczna

Do przeprowadzenia doświadczenia użyłem nitki, zawieszonej na niej ciężarka (o masie 100g ± 10g), linijki o

dokładności 0.5 cm, zegarka ze stoperem Casio 71W, oraz dwóch haków przez które przewieszona została nitka.

Schemat układu doświadczalnego znajduje się na rysunku 2.

Doświadczenie przeprowadziłem ustalając pewną długość nitki L, a

następnie odchylając zawieszony na nitce ciężarek o pewien kąt (stały

dla wszystkich pomiarów i równy 6° ± 1°) i puszczając go, mierząc czas

Ryszard Kostecki

α

α

sin( α)

= × =− ⋅

= × =

M L mg Lmg

M L Fs

mg

Fs

2

2

T

L

g

π

2

2

2

3

2

2

2

2

2

3

2

2 2

T

L

T

L T

π

T

π L

T

π L T

L

L

g

T

T

g

g

2,395 10,01409471 2,163 9,

2,427 9,751763885 2,168 9,

2,424 9,775916852 2,171 9,

2,413 9,865249792 2,164 9,

2,432 9,711707391 2,164 9,

2,41 9,889825866 2,177 9,

2,424 9,775916852 2,17 9,

2,414 9,857078121 2,17 9,

2,432 9,711707391 2,186 9,

2,41 9,889825866 2,164 9,

tabela 5 dla L [m] = 0,

T [s] g [m/s^2] T [s] g [m/s^2]

1,89 9,891431862 1,884 9,

1,889 9,901907299 1,882 9,

1,871 10,09334683 1,874 10,

1,889 9,901907299 1,882 9,

1,887 9,922908157 1,889 9,

1,871 10,09334683 1,882 9,

1,887 9,922908157 1,914 9,

1,896 9,82892692 1,887 9,

1,885 9,943975897 1,881 9,

1,901 9,777290934 1,886 9,

A tak wygląda histogram wynikowych wartości g ze wszystkich serii pomiarowych:

Dla każdej serii pomiarowej uśredniłem wartości T. Zrobiłem to średnią ważoną dyspersją, równą w tym przypadku

średniej arytmetycznej, bowiem w obrębie jednej serii ΔT i ΔL (wynoszące, jak już ustaliliśmy: ΔT = 0.02s, ΔL =

0.5cm), wynikające z niedokładności przyrządów mierniczych, są stałe. Dzięki uśrednieniu wyników maleje

znacznie ΔT (którego nową wartość wyliczam ze wzoru (6)). Opierając się na otrzymanych pięciu parach wartości

(Tśr, ΔTśr), korzystając ze wzorów (3) i (4), wyznaczyłem pięć par g i Δg. Wyniki tych obliczeń zaprezentowane

zostały w tabeli 6.

Ryszard Kostecki

2

2

T

L

g

π

∑

∑

i

i

i

i

i

g

g

g

g

2

2

tabela 6 Tśr [s] ΔTśr [s] ĝ [m/s^2] Δĝ [m/s^2]

dla L = 2.015 m: 2,84385 0,004472136 9,836065587 0,

dla L = 1.735 m: 2,63835 0,004472136 9,839984174 0,

dla L = 1.455 m: 2,41495 0,004472136 9,849324435 0,

dla L = 1.175 m: 2,1662 0,004472136 9,885542335 0,

dla L = 0.895 m: 1,88635 0,004472136 9,929747823 0,

po zaokrągleniu:

tabela 7 Tśr [s] ΔTśr [s] ĝ [m/s^2] Δĝ [m/s^2]

dla L = 2.015 m: 2,8438 0,0045 9,836 0,

dla L = 1.735 m: 2,6383 0,0045 9,840 0,

dla L = 1.455 m: 2,4150 0,0045 9,849 0,

dla L = 1.175 m: 2,1662 0,0045 9,886 0,

dla L = 0.895 m: 1,8864 0,0045 9,930 0,

Z wynikających z każdej serii wartości ĝ i Δĝ wyliczyłem g i Δg korzystając ze średniej ważonej dyspersją:

Otrzymujemy więc ostateczny wynik:

g = 9,855336406 m/s^ 2 Δg = 0,022089093 m/s^

po zaokrągleniu:

g = 9,855 ± 0,022 m/s^2 Δg/g ≈ 0.22%

Wnioski i dyskusja wyniku

"Tablice fizyczno-astronomiczne" wydawnictwa Adamantan podają następujący wzór na przyspieszenie

grawitacyjne na Ziemi: g = 9.780327(1+0.0053024sin

2

φ-0.0000058* sin

2

2φ)-0.000003086*h, gdzie φ oznacza

szerokość geograficzną, a h - wysokość nad powierzchnią morza [m]. Po wstawieniu współrzędnych miejsca w

którym przeprowadzałem eksperyment (φ = 52°13'15'', h = 100m) otrzymuję:

g = 9.780327(1+ 0.00530240.79030.7903-0.00000580.96870.9687)-0.000003086100 m/s^

g ≈ 9.812 m/s^

Jak widać, wynik otrzymany w doświadczeniu przeprowadzonym przeze mnie jest zgodny w obliczu "testu 3σ" z

wartością tablicową. Jest to wynik zadowalający.

Nie zmienia to jednak faktu, iż wynik końcowy nie jest dokładny z powodu całego szeregu czynników

wprowadzających niepewność. Wśród zasługujących na dostrzeżenie znajdują się:

 Opory powietrza - powodujące ucieczkę energii z wahadła, przez co kolejne wahnięcia (a przecież

liczyłem okres wahadła na podstawie średniej z dziesięciu wahnięć) miały mniejszą amplitudę, etc.

Ryszard Kostecki

2

1

2

−

∑

i i

g

g

2

C SV

F

o

ρ

natomiast dla małego L większy udział w Δg ma

jednak ΔL.

Posumowanie

Powyższe doświadczenie potwierdziło prawdziwość

przewidywań teoretycznych dotyczących wartości przyspieszenia ziemskiego w Warszawie.

Bibliografia

1. A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski "Wstęp do fizyki", tom I, PWN, Warszawa 1984
2. "Tablice fizyczno-astronomiczne", Adamantan, Warszawa 1994
3. J.R. Taylor "Wstęp do analizy błędu pomiarowego", PWN, Warszawa 1995

Dodatek A - oszacowanie ΔT

W celu oszacowania błędu pomiaru czasu wynikającego z opóźnionej reakcji manualnej przeprowadzającego

doświadczenie na bodźce wzrokowe zastosowałem metodę "trafienia" na stoperze w 10 sekund. Mówiąc inaczej:

starałem się zatrzymać stoper dokładnie wtedy, gdy upływało na nim 10 sekund - traktując to jako odpowiednik

sytuacji maksymalnego wychylenia wahadła. Wyniki otrzymane na stoperze były oczywiście w większości różne

od 10 sekund. Wyniki te zostały zawarte w tabeli 8 (T 10

oznacza różnicę czasu pokazywanego przez stoper po

zatrzymaniu go i dziesięciu sekund). Po obliczeniu średniej arytmetycznej z 50 pomiarów T 10

otrzymujemy średnie

T 10

= 0.1992s ≈ 0.20s. Taki też przyjąłem Δ(10*T). Wobec tego ΔT = 0.02s.

Dodatek B - oszacowanie wpływu oporu powietrza

Oznaczenia:

 V - maksymalna prędkość ciężarka

 η - współczynnik lepkości powietrza = 1.185*

Pa*s

 ρ - gęstość powietrza = 1.185kg/m

3

 r - promień ciężarka = 0.01m

 Re - liczba Reynoldsa

 h - różnica pomiędzy długością rzutu L na pion w momencie maksymalnego wychylenia a

długością L

 Fo - maksymalna siłą oporu powietrza

 C - współczynnik we wzorze Newtona:

Aby oszacować maksymalną siłę oporu powietrza muszę niestety przyjąć pewną wartość g (sic!), ale nie jest to

bardzo istotne, bowiem Δg jest w tym zagadnieniu czymś na kształt małej wyższego rzędu...

Na podstawie tych obliczeń można już spróbować wyznaczyć błąd procentowy...

Ryszard Kostecki

s

m

s

m

V gh

mgh

mV

2

h m m m

h L

L

L h

m m

2 *( 1 cos 6 ) 2 *( 1 0. 9945 ) 0. 011

cos( ) ( 1 cos( ))

α α

( sin )

( sin ) sin( 6 ) 0. 1 9. 810. 1045 1. 0310

Re

4

max

1

max

2 2 5

2

3

5

−

−

−

−

α

α

ρ

η

ρ

mg

F

czyli

mg mg N N

N N

CS V

F

C

Vl

o

o