Wyznaczanie współczynnika Halla (E5), Ćwiczenia z Campi Elettromagnetici

Pobierz Wyznaczanie współczynnika Halla (E5) i więcej Ćwiczenia w PDF z Campi Elettromagnetici tylko na Docsity!

142 Elektryczność

3.3 Wyznaczanie współczynnika Halla (E5)

Bezpośrednim celem ćwiczenia jest zbadanie zjawiska Halla, wyznaczenie współ- czynnika Halla oraz gęstości nośników ładunku dla badanej próbki przewodzącej. Zagadnienia do przygotowania:

_- zachowanie się cząstki naładowanej w polach magnetycznym i elektrycznym;

• potencjał i napięcie pola elektrycznego;
• zjawisko przewodnictwa – zależność pomiędzy wartością natężenia prądu elek-_ trycznego, a wielkościami mikroskopowymi tzn. ładunkiem i gęstością nośników _prądu;
• zjawisko Halla – napięcie Halla, współczynnik Halla (opis i wyprowadzenie koń-_ _cowego wzoru powinno być umieszczone w części teoretycznej sprawozdania);
• sposoby wytwarzania jednorodnego pola magnetycznego._ Literatura podstawowa: [2], [25], [26].

3.3.1 Podstawowe pojęcia i definicje

Na cząstkę posiadającą ładunek q i znajdującą się w polu elektrycznym o natężeniu E^ ~ działa siła F~E = q E~. Jej kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego E~. Siła działa niezależnie od prędkości ~v naładowanej cząstki, nawet wtedy, gdy ~v = 0. Działanie tej siły zmienia energię kinetyczną cząstki, a więc zmienia wartość jej prędkości. Na naładowaną cząstkę znajdującą się w polu magnetycznym o indukcji B~ dzia- ła siła Lorentza F~B = q~v × B~, której kierunek jest zawsze prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego B~ i prędkości ~v. Siła ta działa tylko na cząstkę poru- szającą się (czyli gdy ~v 6 = 0), powoduj¸ac zakrzywienie toru cząstki. Ponieważ siła ta jest zawsze prostopadła do wektora przesunięcia d~s, to wykonywana przez nią praca W = F d~~ s = 0. W konsekwencji tego nie zachodzi zmiana energii kinetycznej cząstki pod wpływem działania pola magnetycznego. Pole magnetyczne może zmienić kierunek wektora prędkości poruszającej się cząstki, ale nie może zmienić wartości jej prędkości. W 1879 roku Edwin Hall odkrył zjawisko, nazwane później jego imieniem, będące bezpośrednim efektem oddziaływania pola magnetycznego na poruszające się nośniki ładunku w przewodniku. Rozważmy prostopadłościenną płytkę przewodnika o wymia- rach a, b i c, przez którą przepływa prąd o natężeniu I (rysunek 3.3.1). Przepływ prądu polega na uporządkowanym ruchu nośników ładunku q. Jeżeli licz- ba nośników ładunku w jednostce obj¸etości wynosi n 0 , a ich średnia pr¸edkość jest równa v, to g¸estość płyn¸acego pr¸adu można opisać rówaniem:

j = qvn 0. (3.3.1) Jeżeli pr¸ad przepływa przez powierzchni¸e S prostopadłą do kierunku prądu, to nat¸eżenie płyn¸acego pr¸adu wynosi I = jS. Dla powierzchni w kształcie prostok¸ata o bokach a i b mamy S = ab, wi¸ec nat¸eżenie pr¸adu można zapisać jako:

Wyznaczanie współczynnika Halla (E5) 143

UH

a

b

EH

B

B

FB

j

K Y

u

X

UH

a

b

EH

B

B

FB

K Y

X

a)

b)

j

u

j

j

L

L

Rys. 3.3.1: Płytka wykorzystywana w zjawisku Halla. a) przypadek ujemnych nośników ładunku b) przypadek dodatnich nośników ładunku.

I = qvn 0 ab. (3.3.2)

Dla ładunków dodatnich (q > 0 ) kierunek wektora prędkości pokrywa się z kierun- kiem płynącego prądu, natomiast ładunki ujemne (q < 0 ) poruszają się w kierunku przeciwnym względem prądu. Płytkę umieszczamy w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B~, prostopa- dłym do wektora prędkości ~v. Na poruszające się nośniki ładunku działa siła Lorentza F^ ~B. Ponieważ wektory ~v i B~ są prostopadłe to wartość siły Lorentza wynosi:

FB = qvB. (3.3.3)

Pod wpływem tej siły ładunki, niezależnie od znaku, odchylane są w kierunku górnej ścianki płytki i tam powstaje ich nadmiar, a w pobliżu dolnej ścianki pojawia się ich niedomiar. Wskutek tego w płytce wytwarza się dodatkowe pole elektryczne E~H w kierunku pionowym, którego zwrot jest zawsze od potencjału wyższego do niższego (rysunek 3.3.1). Pole to działa na ładunki siłą o wartości:

FE = qEH , (3.3.4)

Wyznaczanie współczynnika Halla (E5) 145

Należy zwrócić uwag¸e, iż przy obydwóch końcach uzwojeń elektromagnesu zaznaczone s¸a kierunki nawini¸ecia przewodów.

Rys. 3.3.2: Schemat poł¸aczenia elementów układu pomiarowego. Symbolem (6) zaznaczono miejsca odczytu wartości UH i IC za pomoc¸a mierników uniwersalnych. Symbolem IP na wy- świetlaczu wbudowanym w płyt¸e oznaczono miejsce odczytu pr¸adu płyn¸acego przez próbk¸e. Pokazano także sposób umieszczenia w otworze płyty sondy (4) do pomiaru indukcji pola ma- gnetycznego w miejscu próbki.

Płyta z próbk¸a Na rysunku 3.3.3 przedstawiono płyt¸e, w której umieszczona jest próbka (zaznaczona na niebiesko), wraz z oznaczeniami według poniższego opisu:

• UH , UP - wyjścia do pomiaru odpowiednio napi¸ecia Halla UH oraz napi¸ecia na próbce UP. Do tych wyjść podł¸acza si¸e mierniki uniwersalne pracuj¸ace jako mi- liwoltomierze (mV);
• a - wyświetlacz wartości pr¸adu próbki IP (jednostka mA). Wyświetlacz ten jest uniwersalny i moźe alternatywnie pracować jako wskaźnik temperatury. Należy zwrócić uwag¸a co wyświetlacz wskazuje aktualnie i ewentualnie zmienić ustawie- nie (przy pomocy przycisku c) na ź¸adan¸a wielkość;
• b - pokr¸etło do regulacji wartości pr¸adu IP ;
• c - przycisk zmiany pomi¸edzy wskazaniem wartości pr¸adu IP a temperatury na wyświetlaczu a
• d - pokr¸etło zerowania (kompensacji) napi¸ecia UH. Na odwrocie płyty znajduj¸a si¸e wejścia zasilania. Należy poł¸aczyć je z odpowied- nimi wyjściami układu zasilaj¸acego (na rysunku 3.3.4 oznaczone przez a). Również na odwrocie znajduje si¸e przycisk wł¸aczaj¸acy ogrzewanie próbki, które nie jest używane w tym eksperymencie. Należy uważać, by nie wcisn¸ać tego przycisku, gdyż spowoduje to natychmiastowe grzanie próbki i konieczne b¸edzie odczekanie, aż jej temperatura powróci do wartości pokojowej.

146 Elektryczność

(b)

(a)^ (c)

U [mV]P

U (^) H[mV]

próbka

(d)

Rys. 3.3.3: Płyta z próbk¸a (opis oznaczeń w tekście).

Układ zasilania płytki z próbk¸a oraz elektromagnesu Na rysunku 3.3.4 przedstawiono zasilania płytki z próbk¸a oraz elektromagnesu, wraz z oznaczeniami według poniższego opisu:

• a - wyjścia +/- zasilania płytki z próbk¸a (12V);
• b - wyjścia +/- zasilania elektromagnesu;
• c - pokr¸etła sterowania napi¸eciem i nat¸eżeniem pr¸adu elektromagnesu.

Teslomierz - konsola teslomierza i sonda Płyta czołowa konsoli przedstawiona na rysunku 3.3.5 zawiera:

• a - wyświetlacz cyfrowy podaj¸acy wartość indukcji pola magnetycznego (jednost- ka mT), z dokładności¸a zależn¸a od ustawionego zakresu pomiaru. Dla zakresu 0-20 mT dokładność jest 0.01 mT, dla zakresu 0-200 mT dokładność jest 0.1 mT oraz dla zakresu 0-1000 mT dokładność jest 1 mT;
• b - pokr¸etło zmiany zakresu (0-20, 0-200 i 0-1000 mT);
• c - śruba zgrubnej regulacji „zera” teslomierza;
• d - wejście dla sondy;
• e - przeł¸acznik w tryb pomiaru pola zmiennego ( alternating field ) lub pola sta- łego ( direct field );
• f - pokr¸etło precyzyjnej regulacji „zera” teslomierza;
• g - wyjścia do podł¸aczenia zewn¸etrznych urz¸adzeń pomiarowych (nie używane w eksperymencie).

148 Elektryczność

go końcu umieszczony jest czujnik nat¸eżenia pola magnetycznego (na rysunku 3.3. zaznaczony na czerwono). Rami¸e jest zazwyczaj osłoni¸ete metalow¸a nakładk¸a, któr¸a należy zdj¸ać przed przyst¸apieniem do pomiarów. Po zakończeniu doświadczenia należy z powrotem założyć osłon¸e. Podczas pomiaru sonda powinna być ustawiona tak, aby płaska powierzchnia ramie- nia była prostopadła do linii pola magnetycznego, a czujnik znajdował si¸e nieruchomo w miejscu, w którym wykonywany jest pomiar. Wynik dodatni pomiaru wartości induk- cji magnetycznej oznacza, że linie pola magnetycznego zwrócone s¸a w kierunku sondy od strony uchwytu, po której znajduje si¸e naklejka znamionowa. Z kolei wynik ujemny wskazuje na zwrot wektora wychodz¸acy od strony uchwytu sondy zaopatrzonej w na- klejk¸e. Wartość indukcji magnetycznej mierzona z dala od źródła pola magnetycznego (np. nabiegunników elektromagnesu) powinna wynosić około ± 0. 05 mT. Wartość ta odpowiada nat¸eżeniu pola magnetycznego Ziemi, a jej znak zależy od ustawienia son- dy wzgl¸edem linii pola magnetycznego Ziemi. Otrzymana wartość stanowi tzw. „zero” teslomierza. Jeżeli mierzona wartość znacznie odbiega od podanej, należy najpierw skorygować „zero” teslomierza pokr¸etłem oznaczonym symbolem f na rysunku 3.3.5, a w miar¸e potrzeby również pokr¸etłem oznaczonym symbolem c na rysunku 3.3.5. Dla sprawdzenia poprawności ustawienia „zera” należy sprawdzić, obracaj¸ac sond¸a w obszarze z dala od źródeł pola magnetycznego, czy mierzone wartości mieszcz¸a si¸e w przedziale około ± 0. 05 mT.

Przebieg doświadczenia

Układ doświadczalny zestawić tak, jak to pokazano na rysunku 3.3.2. Ustawić od- powiednio miernik uniwersalny IC na pomiar pr¸adu i przy pomocy układu zasilania cewek ustawić wartość pr¸adu na 0.5 A. Nast¸epnie dokonać identyfikacji biegunów ma- gnesu za pomoc¸a sondy. Koryguj¸ac położenie nabiegunników zadbać o jak najbardziej jednorodne pole magnetyczne w szczelinie mi¸edzy biegunami elektromagnesu. Usta- wienia te mog¸a wpłyn¸ać na końcowy wynik doświadczenia. Wykorzystuj¸ac teslomierz, zmierzyć wartość indukcji pola magnetycznego B po- mi¸edzy nabiegunnikami dla różnych wartości pr¸adu cewek elektromagnesu IC. Wartość pr¸adu IC , zmienian¸a przy pomocy pokr¸etła oznaczonego symbolem c na rysunku 3.3.4, odczytywać używaj¸ac miernika uniwersalnego (w trybie amperomierza) wł¸aczonego w obwód szeregowo (oznaczonego symbolem 6 na rysunku 3.3.2). Wartość pr¸adu IC nie powinna przekraczać 1.5 A, co odpowiada indukcji pola magnetycznego mi¸edzy na- biegunnikami około 320 mT. Po dokonaniu pomiarów wyj¸ać sond¸e z płyty z próbk¸a i wył¸aczyć konsol¸e teslomierza. Pr¸ad próbki IP regulowany jest przy pomocy pokr¸etła oznaczonego symbolem c na rysunku 3.3.3. Wartość tego pr¸adu odczytywać należy na wyświetlaczu oznaczonym symbolem a na rysnuku 3.3.3. Wartość napi¸ecia Halla UH odczytywać na mierniku uniwersalnym (w trybie miliwoltomierza) oznaczonym symbolem 6 na rysunku 3.3.2. Zgodnie z równaniem (3.3.7) wyznaczenia stałej Halla RH można dokonać na pod- stawie pomiaru zależności napi¸ecia UH od wartości pr¸adu cewek elektromagnesu IC

Wyznaczanie współczynnika Halla (E5) 149

przy stałej wartości pr¸adu próbki IP. Można także wyznaczyć stał¸a Halla badaj¸ac za- leżność napi¸ecia UH od wartości pr¸adu próbki IP przy stałej wartości pr¸adu zasilania cewek elektromagnesu IC. W ćwiczeniu należy wykorzystać obie metody. W pierw- szej metodzie dla trzech wartości pr¸adu IP dokonać pomiaru wartości napi¸ecia UH , zmieniaj¸ac pr¸ad zasilania cewek IC. W drugiej metodzie dla jednej wartości pr¸adu IC dokonać pomiaru zależności napi¸ecia UH od pr¸adu IP.

Opracowanie wyników

Na podstawie zmierzonych wartości indukcji pola magnetycznego B dla różnych wartości pr¸adu cewek elektromagnesu IC sporz¸adzić wykres kalibracyjny B(IC ), a nast¸epnie korzystaj¸ac z regresji liniowej wyznaczyć współczynniki linii prostej opi- suj¸acej t¸a zależność oraz ich niepewności. Korzystaj¸ac z równania prostej kalibracyj- nej, przeliczyć zarejestrowane w dalszej cz¸eści doświadczenia wartości pr¸adu IC na odpowiadaj¸ace im wartości indukcji magnetycznej B. Obliczyć także niepewności wy- znaczonych wartości indukcji magnetycznej B. Dla pomiarów zależności UH w fukcji IC , dla każdej z wartości pr¸adu próbki IP , sporz¸adzić wykresy napi¸ecia Halla UH w funkcji B i dopasować proste metod¸a re- gresji liniowej. Dla pomiarów zależności UH (IP ) przy stałej wartości IC , sporz¸adzić wykres UH w funkcji IP i dopasować prost¸a metod¸a regresji liniowej. Z otrzymanych współczynników dopasowanych linii prostych, korzystaj¸ac z równania (3.3.7), obliczyć współczynnik Halla wraz z niepewności¸a pomiarow¸a. Obliczyć g¸estość nośników pr¸adu i niepewność pomiarow¸a tej wielkości.

3.3.3 Przebieg pomiarów - wersja B

Układ doświadczalny

Stosowany do wykonania tego ćwiczenia zestaw doświadczalny przedstawiony jest na rysunku 3.3.7. Układ ten zawiera następujące przyrządy: płytka przewodząca tzw. halotron o grubości 1 μm, miliwoltomierz do pomiaru napięcia Halla, źródło napię- cia stałego 1. 5 V , dzielnik napięcia pozwalający na zmianę wartości napięcia stałe- go, miliamperomierz do pomiaru prądu płynącego przez badaną płytkę, układ cewek z rdzeniem do wytwarzania jednorodnego pola magnetycznego, zasilacz prądu stałe- go o regulowanej wartości napięcia, amperomierz do pomiaru prądu płynącego przez cewki. Układ cewek oraz badana płytka są połączone z odpowiednimi zaciskami, które znajdują się na płycie montażowej - tych połączeń nie wolno zmieniać. Należy jedy- nie podłączyć do tych zacisków miliwoltomierz oraz układy zasilania płytki i cewek. W układzie doświadczalnym rolę miliamperomierzy i miliwoltomierza pełnią mierniki uniwersalne ustawione na odpowiedni zakres. W celu zabezpieczenia płytki przed zniszczeniem, w układzie zasilającym płytkę jest zamontowany rezystor, który uniemożliwia przepływ prądu o natężeniu większym

Wyznaczanie współczynnika Halla (E5) 151

Korzystając z otrzymanego równania prostej, obliczyć współczynnik Halla oraz jego niepewność pomiarową. Obliczyć gęstość nośników prądu i niepewność pomiarową tej wielkości. Przeprowadzić dyskusję otrzymanych rezultatów.