Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów, Schematy z Fizyka

Pobierz Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów i więcej Schematy w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Wyznaczanie współczynnika sprężystości

sprężyn i ich układów

63.1. Zasada ćwiczenia

W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie sprężyn pod wpływem znanego obciążenia oraz okres drgań obciążonych sprężyn.

63.2. Wiadomości teoretyczne

Pod wpływem działających sił zewnętrznych każde ciało stałe odkształca się, zmie- niając swoją objętość i kształt. W czasie, gdy ciało jest odkształcone, siły zewnętrzne są równoważone siłami reakcji sprężystych ciała, które dążą do przywrócenia jego pierwotnej postaci. Przyjmiemy dalej, że rozważane ciało ma stały przekrój poprzeczny (np. pręt, drut, sprężyna), a zewnętrzna siła F~ jest skierowana wzdłuż podłużnej osi ciała, powodując jego wydłużenie lub skrócenie o wartość x. Zachodzi wówczas związek:

F = kx, (63.1)

gdzie współczynnik k , mający wymiar [ k ] = N/m, nazywa się współczynnikiem sprę- żystości ciała. Jego wartość liczbowa jest równa wartości siły, powodującej wydłużenie lub skrócenie ciała o jednostkę długości. Zależność (63.1) stosuje się jedynie dla ograni- czonego zakresu działających sił, nie przekraczających tzw. granicy proporcjonalności. W przypadku sprężyny jej współczynnik sprężystości wyraża się wzorem:

k =

Gr^4 4 N R^3

(np. [1]), gdzie r jest promieniem drutu sprężyny, N — liczbą jej zwojów, R — pro- mieniem sprężyny, natomiast G — tzw. modułem sztywności (lub modułem Kirch- hoffa) materiału sprężyny o wymiarze [ G ] = N/m^2. Moduł sztywności jest jednym z podstawowych parametrów charakteryzujących własności sprężyste danego mate- riału, niezależnym od rozmiarów i kształtu ciała. Współczynnik sprężystości k sprężyn można łatwo wyznaczyć doświadczalnie. Gdy na końcu sprężyny zawiesimy ciało o znanej masie m , zostanie ona rozciągnięta pod wpływem ciężaru ciała Q = mg (63.3)

Rysunek 63.1. a) Sprężyna bez obciążenia, b) obciążona sprężyna w położeniu równowagi, c) obciążona sprężyna wychylona z położenia równowagi

( g — przyspieszenie ziemskie) o długość x 0 (rys. 63.1a, b). Siła ciężkości Q~ jest wtedy równoważona przez siłę reakcji F~s rozciągniętej sprężyny. Kładąc we wzorze (63.1) F = Q i x = x 0 , otrzymujemy wzór, pozwalający obliczyć współczynnik sprężystości:

k =

mg x 0

Gdy następnie wychylimy ciało w kierunku pionowym z położenia równowagi i pu- ścimy swobodnie, zacznie ono wykonywać drgania (rys. 63.1c). Wówczas siła reakcji

F^ ~s sprężyny i siła ciężkości Q~ nie równoważą się (o ile x 6 = x 0 ). Wartość wypadkowej tych sił wyraża się wzorem: Fw = Q − Fs, (63.5)

gdzie wartość siły reakcji Fs = F określa wzór (63.1). Korzystając ze wzorów (63.3)

• (63.4) i oznaczając wychylenie ciała z położenia równowagi jako

x′^ = x − x 0 , (63.6)

wypadkową siłę działającą na ciało można wyrazić wzorem:

Fw = −kx′. (63.7)

Znak „ − ” we wzorze wskazuje, że jest ona skierowana przeciwnie do kierunku wychy- lenia ciała. Wiadomo, że ruch ciała na skutek działania siły określonej wzorem (63.7) jest ruchem harmonicznym prostym, przy czym okres drgań ciała wynosi:

T = 2 π

m k

Współczynnik sprężystości można więc obliczyć ze wzoru:

k =

4 π^2 m T^2

Rysunek 63.3. Zestaw do pomiaru współczynnika sprężystości sprężyn. 1 — sprężyny, 2 — ciężarki, 3 — statyw, 4 — podziałka, 5 — waga, 6 — stoper

63.4. Zadania

1. Wyznaczyć współczynnik sprężystości wybranej sprężyny: a) badając jej wydłu- żenie pod wpływem zawieszonego ciężaru, oraz b) mierząc okres drgań obciążonej sprężyny. Obliczyć moduł sztywności materiału sprężyny.
2. Wyznaczyć obydwiema metodami współczynnik sprężystości układu dwóch sprę- żyn, połączonych a) równolegle, b) szeregowo.

63.5. Przebieg pomiarów i opracowanie wyników

ad 1. Do dolnego końca zawieszonej na statywie sprężyny zaczepiać kolejne ciężarki, mierząc za każdym razem ich łączną masę m oraz wydłużenie x 0 sprężyny. Zapisać w tabelce wartości m i x 0 i sporządzić wykres zależności x 0 – m. Jak wynika ze wzoru (63.4), zależność ta powinna przedstawiać w przybliżeniu linię prostą, określoną ogólnym równaniem:

Y = A · X + B, (63.14)

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 5

gdzie X = m , Y = x 0 , A = g/k i B = 0. Jeżeli ostatnie punkty na wykresie, odpowia- dające największym masom m , odchylają się od zależności prostoliniowej, świadczy to o przekroczeniu granicy proporcjonalności dla danej sprężyny. Wyniki tych po- miarów należy w dalszych obliczeniach pominąć. Wartości parametrów A i B prostej i niepewności SA i SB parametrów wyznaczyć metodą regresji liniowej, aproksymując doświadczalną zależność x 0 – m funkcją (63.14). Narysować tę prostą na wykresie. Obliczyć współczynnik sprężystości badanej sprężyny i jego niepewność ze wzorów:

k = g/A, (63.15)

Sk = gSA/A^2_._ (63.16)

Za wartość przyspieszenia ziemskiego przyjąć g = 9 , 815 m/s^2. W dalszym ciągu tej części ćwiczenia zawieszać na dolnym końcu sprężyny kolejne ciężarki i wprawiać układ w drgania w kierunku pionowym. Mierzyć każdorazowo łączną masę m ciężarków oraz czas t określonej liczby n pełnych drgań (np. n = 20) i obliczać okres T = t/n drgań ciężarków. Dla ułatwienia pomiarów należy dobierać stosunkowo duże masy ciężarków, aby okres drgań układu był możliwie długi. Zapi- sywać w tabelce wartości m , t , T i T^2. Wyniki pomiarów przedstawić na wykresie T^2

• m. Ze wzoru (63.9) wynika, że wykres powinien być w przybliżeniu prostoliniowy, a współczynnik kierunkowy prostej powinien wynosić A = 4 π^2 /k. Wyznaczyć wartości parametrów A i B prostej (63.14) i ich niepewności SA i SB metodą regresji liniowej i narysować prostą na wykresie. Współczynnik sprężystości i jego niepewność obliczyć ze wzorów: k = 4 π^2 /A, (63.17) Sk = 4 π^2 SA/A^2_._ (63.18) Kończąc pierwszą część ćwiczenia, określić wartości modułu sztywności G ma- teriału sprężyny. W tym celu zmierzyć średnicę d = 2 r drutu sprężyny i średnicę D = 2 R sprężyny, odpowiednio za pomocą śruby mikrometrycznej i suwmiarki i obli- czyć promienie r i R. Policzyć ilość N zwojów sprężyny. Wartości G i ich maksymalne niepewności ∆ G obliczyć z przekształconego wzoru (63.2):

G =

4 N R^3 k r^4

i ze wzoru:

| ∆ G| = G

∆ N

N

3∆ R

R

4∆ r r

∆ k k

Za niepewność ∆ N przyjąć ułamek liczby zwojów, niepewności ∆ R i ∆ r ocenić na podstawie dokładności śruby mikrometrycznej i suwmiarki, a za niepewność współ- czynnika sprężystości przyjąć | ∆ k| = 3 Sk. ad 2. Zmierzyć współczynniki sprężystości k 1 i k 2 dwóch wybranych sprężyn, oraz wypadkowe współczynniki sprężystości k układu tych sprężyn, połączonych równolegle i szeregowo, w podobny sposób jak w punkcie 1. W celu skrócenia czasu pomiarów można je przeprowadzić tylko dla jednej masy m ciężarków. Stosując metodę obcią- żania sprężyny, należy wówczas obliczać współczynniki sprężystości ze wzoru (63.4),