Pobierz Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną i więcej Laboratoria w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą

dynamiczną.

I. Cel ćwiczenia: pomiar współczynnika sztywności dla stali metodą drgań skrętnych.

II. Przyrządy: dwa krążki metalowe, statyw, drut stalowy, stoper, suwmiarka, śruba mikro-

metryczna, waga.

III. Literatura: 1. J. L. Kacperski, I Pracownia fizyczna, WUŁ Łódź 1998.

IV. Wstęp

Rozpatrzmy „skręcanie” bryły w kształcie walca, zachodzące pod wpływem sił stycznych do

obwodu (rys 1).

Siły takie działają m. in. na śrubokręty, wiertła, wały napędowe, a także cienkie nici w galwa-

nometrach zwierciadlanych i wagach skręceń.

Naszym celem jest znalezienie współczynnika (modułu) sztywności materiału – ilościowej

charakterystyki podatności na skręcenie. Jedna z podstaw walca przedstawionego na rys. 1 jest

unieruchomiona, druga pod wpływem działających sił uległa obrotowi o kąt ϕ, a elementarny ”pro-

stopadłościan” wybrany do rozważań uległ odkształceniu do formy równoległościanu. Zauważmy,

Rys.1 Skręcenie walca pod wpływem

sił stycznych do obwodu.

dx (^) x dθ

A A′

β

ϕ

r

l

F

F

O′

O

że długość łuku AA’ pozwala związać ze sobą kąt obrotu podstawy ϕ oraz kąt β, o jaki obróciła się

krawędź prostopadłościanu:

AA ′ =xϕ= l β skąd l

ϕ β =

x (1)

Załóżmy, że kąt obrotu krawędzi jest proporcjonalny do naprężenia stycznego f :

l

f f

ϕ β = ⇒ =

Gx

G

Współczynnik G nazywamy modułem sztywności. Na element powierzchni dS działa siła dF:

l

f

ϕ θ = =

G xdxd dF dS

2

(3)

ponieważ dS = xdθdx.

Element dS odległy jest o x od osi obrotu, więc moment siły dM wyraża się wzorem:

θ

ϕ = = dxd

G x dM xdF

3

l

Całkowity moment siły M znajdziemy, całkując wyrażenie (4) ze względu na x i kąt θ:

= ϕ

π ϕ θ=

ϕ

π

D 2

Gr xdx d

G

M

r 4

0

2

0

3

l l

gdzie

2 l

Gr D

4 π = , równe liczbowo momentowi siły powodującemu obrót o kąt jednostkowy, bę-

dziemy nazywać momentem kierującym.

V. Metoda pomiaru

Równanie (5) wskazuje na możliwość pomiaru współczynnika sztywności przez doświadczal-

ne znalezienie zależności pomiędzy przyłożonym momentem sił i kątem skręcenia ϕ. Taka metoda

pomiaru nosi nazwę metody statycznej; w ćwiczeniu zastosujemy jednak inną metodę – nazywaną

dynamiczną – nie wymagającą znajomości momentu siły M.

Użyjemy krążka zawieszonego na sprężystym drucie w roli wahadła torsyjnego (rys.2). Przy

obrocie o kąt ϕ pojawia się moment sił sprężystości, skierowany przeciwnie do momentu sił ze-

wnętrznych (wzór (5)) i do kąta ϕ, mającego zwrot prędkości kątowej nadanej krążkowi przy obro-

cie:

M = −D ϕ (6)

Po wykorzystaniu związku 2

2

dt

d M I

ϕ = , gdzie I oznacza moment bezwładności krążka, a 2

2

dt

d ϕ

drugą pochodną kąta obrotu względem czasu (tzn. przyspieszenie kątowe), ostatnie równanie moż-

na zapisać w postaci:

I

D

dt

d

2

2

• ϕ =

ϕ (7)

w której rozpoznajemy równanie ruchu harmonicznego o częstości kołowej ω:

dt

d (^2)

2

2

+ωϕ =

ϕ (8)

gdzie:

VI. Pomiary

1. Wyznaczyć kilkakrotnie średnicę drutu 2r za pomocą śruby mikrometrycznej. Obliczyć wartość

średnią promienia drutu r.

2. Wyznaczyć kilkakrotnie długość drutu l za pomocą miarki milimetrowej. Obliczyć wartość śred-

nią l.

3. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę zewnętrzną 2r 1 pierścienia dodatkowego za pomocą suwmiarki.

Obliczyć wartość średnią promienia r 1.

4. Zmierzyć kilkakrotnie średnicę wewnętrzną 2r 2 pierścienia dodatkowego za pomocą suwmiarki.

Obliczyć wartość średnią promienia r 2.

5. Wyznaczyć masę m krążka dodatkowego. 6. Zmierzyć kilkakrotnie czas 20 wahnięć wahadła nieobciążonego dodatkowym krążkiem i na tej

podstawie obliczyć wartość średnią dla jednego okresu T.

7. Zmierzyć kilkakrotnie czas 20 wahnięć wahadła obciążonego dodatkowym krążkiem i na tej

podstawie obliczyć wartość średnią dla jednego okresu T. 1

Wyniki pomiarów można zebrać w tabelach 1 i 2.

Uwaga : Drgania są mało tłumione i można wyznaczyć ich okres przy użyciu stopera. Zaznaczamy

na stole laboratoryjnym położenie znaczka na krążku (podłużna kreska wzdłuż promienia)

i skręcamy krążek o dość duży kąt. Liczymy przejścia znaczka przez położenie równowa-

gi. Przy pierwszym przejściu liczymy „zero”.

Tabela 1

Lp 2r

[mm]

r

[mm]

l

[mm]

l

[mm]

2r 1

[mm]

r 1

[mm]

2r 2

[mm]

r 2

[mm]

Tabela 2

drgania wahadła

podstawowego

drgania wahadła

z dodatkowym

krążkiem

masa krążka

dodatkowego lp.

t 20 [s] (^) T [s] t′ 20 [s] T [s] 1 m [g]

VII. Opracowanie wyników

1. Obliczyć moment bezwładności I 1 krążka dodatkowego wg wzoru (15).
2. Obliczyć współczynnik sztywności G wg wzoru (14).
3. Niepewność ∆G współczynnika sztywności obliczyć metodą różniczki zupełnej:

2

2 2 1

2 2 1

(^22)

1

1

2

T T

T

4 T T

r

r 16 I

I

G G

l

l

gdzie ∆ l , ∆r, ∆T są niepewnościami pomiarowymi odpowiednio długości drutu, jego promienia i

okresu drgań.

Niepewność pomiarową momentu bezwładności ∆I 1 można oszacować metodą różniczki zupełnej:

2 2

2 1

1 2 1 1 r r

(r r) r 2 m

m I I

Założyliśmy tutaj, że ∆r 1 = ∆r 2 = ∆r.

4. Porównać otrzymaną wartość doświadczalną z wartością tablicową.