Wyznaczenie równania linii ugięcia – metoda analityczna, Streszczenia z Ingegneria dei Materiali

Pobierz Wyznaczenie równania linii ugięcia – metoda analityczna i więcej Streszczenia w PDF z Ingegneria dei Materiali tylko na Docsity! Przykład 5.2. Wyznaczenie równania linii ugięcia – metoda analityczna Wyznaczyć linię ugięcia belki o podanym schemacie i stałej sztywności na zginanie EJ. Obliczyć przemieszczenie maksymalne - strzałkę ugięcia. Rozwiązanie Zadanie jest statycznie wyznaczalne, a więc można znaleźć równanie momentu zginającego i do wyznaczenia ugięcia wykorzystać równanie różniczkowe osi ugiętej w postaci ).x(M=(x)y EJ g ''  Po uwolnieniu z więzów otrzymujemy poniższy układ sił. Reakcje obliczone z warunków równowagi wynoszą .0 3 4 3 2 121 =H,ql=V,ql=V Moment zginający opisany jest w trzech przedziałach zmienności następującymi równaniami 22 3g 22 12g 11g ql 2 1 qlx 3 5 qx 2 1 0=(x)Ml),,4l3(x l)q(x 2 1 qlx 3 2 =l)q(x 2 1 xV=(x)Ml),,3(lx qlx 3 2 =xV=(x)Ml),0,(x     Pociąga to konieczność zapisania trzech równań różniczkowych (x)M=(x)y EJl),,4l3(x (x)M=(x)y EJl),,3(lx (x)M=(x)y EJl),0,(x 3g '' 3 2g '' 2 1g '' 1    Ich 2-krotne całkowanie prowadzi do równań linii ugięcia w trzech przedziałach 21 3 1 C+xC+qlx 9 1 =(x)EJyl),0,(x  21 2234 2 D+xD+xql 4 1 +qlx 18 5 qx 24 1 =(x)EJyl),,3(lx  213 F+xF=(x)EJyl),,4l3(x 2l q l l 2l q l x y l V1 V2 H1 2 Dla rozważanej belki można sformułować, wynikające ze sposobu podparcia, 2 warunki brzegowe y1(0)=0 (1) y2(3l)=0 (2) Funkcje y1(x), y2(x), y3(x) opisują oś odkształconą belki ciągłej. Oznacza to, że zarówno funkcje jak i ich pierwsze pochodne muszą być jednakowe na granicach przedziałów całkowania tak, aby linia ugięcia była krzywą gładką. Inaczej mówiąc spełnione muszą być warunki zgodności przemieszczeń i kątów obrotu (warunki zszycia). Mają one postać y1(l) = y2(l) (3) (l)y=(l)y '' 21 (4) y2(3l) = y3(3l) (5) l)(y=l)(y '' 33 32 (6) Po podstawieniu otrzymujemy poniższy układ sześciu równań                                     11 223 2121 2234 1 333 1 3 21 444 21 4 21 2234 2 FD+l3ql 2 1 +l3ql 6 5 l3q 6 1 Fl3FD+l3D+l3ql 4 1 +l3ql 18 5 l3q 24 1 D+ql 2 1 +ql 6 5 ql 6 1 Cql 3 1 D+lD+ql 4 1 +ql 18 5 ql 24 1 ClCql 9 1 0D+l3D+l3ql 4 1 +l3ql 18 5 l3q 24 1 0C Rozwiązaniem powyższego układu równań są wartości stałych 4 2 3 1 4 2 3 12 3 1 ql 3 8 F,ql 9 8 F,ql 24 1 D,ql 18 11 D,0C,ql 9 7 C  . Równanie osi odkształconej belki ostatecznie przyjmuje postać        xql 9 7 +qlx 9 1 EJ 1 =)x(yl),0,(x 331        4322342 ql 24 1 +xql 18 11 +xql 4 1 +qlx 18 5 qx 24 1 EJ 1 =(x)yl),,3(lx        433 ql 3 8 xql 9 8 EJ 1 =(x)yl),,4l3(x Wykres linii ugięcia belki Obliczenie ekstremalnego ugięcia – strzałki ugięcia, wymaga określenia miejsca jego występowania. Na podstawie wykresu możemy ustalić, że w przęśle będzie ona w przedziale (l,3l), a na wsporniku – na jego końcu. xo y(x) x y