Względność widma oraz obraz liczbowy - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki z Matematyka

Pobierz Względność widma oraz obraz liczbowy - Ćwiczenia - Teoria operatorów i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity! Teoria operatorów nieograniczonych Lista 3 (wzgl¦dno±¢ widma oraz obraz liczbowy) Zad 1 (Twierdzenie o zalepianiu dziur w widmie). Niech A ⊂ B b¦dzie domkni¦t¡ podal- gebr¡ algebry Banacha B z jedynk¡ 1 i niech 1 ∈ A. Przez G(A) i G(B) oznaczamy zbiory elementów odwracalnych odpowiednio w A i B. i) Pokaza¢, »e je»eli ci¡g an ∈ G(A) zbiega do a∞ le»¡cego na brzegu G(A), to ‖a−1n ‖ → ∞, przy n→∞. Wyci¡gn¡¢ st¡d wniosek, i» dla a ∈ A rezolwenta C\SpAa 3 λ 7−→ (a− λI)−1 ∈ A jest nieograniczona na brzegu swojej dziedziny. ii) Zauwa»y¢, »e je»eli V ⊂ W s¡ podzbiorami otwartymi pewnej przestrzeni topologicz- nej oraz W nie przecina brzegu V , to V jest sum¡ skªadowych W . iii) Wywnioskowa¢ z i) i ii), »e G(A) jest sum¡ skªadowych zbioru A∩G(B). W szczegól- no±ci uzasadni¢ i wyja±ni¢ co to znaczy, »e dla a ∈ A widmo SpAa powstaje z SpBa przez zalepienie pewnych dziur w SpBa. Zad 2 (Twierdzenie Toeplitza-Haudora). Pokaza¢, »e obraz liczbowy NR(A) = {(x,Ax) : ‖x‖ = 1, x ∈ H} jest zbiorem wypukªym dla dowolnego operatora A ∈ B(H), wykonuj¡c nast¦pujacer kroki: i) Pokaza¢, »e je»eli twierdzenie zachodzi w przypadku gdy dimH = 2, to zachodzi w przypadku ogólnym. ii) Wykaza¢, »e gdy dimH = 2, to dla dowolnego operatora samosprz¦»onego L ∈ B(H) zbiór N = {f ∈ H : ‖f‖ = 1, ((f |Lf) = 0} jest jest torusem albo zbiorem pustym. iii) Zauwa»y¢, »e przeci¦cie NR(A) z prost¡ {z = x + iy ∈ C : px + yq + r}, p, q, r ∈ R, jest dane wzorem {(f |Bf) + i(f |Cf) : ‖f‖ = 1, (f |(pB + qC + r)f) = 0}, gdzie A = B + iC i operatory B,C s¡ samosprz¦»one. iv) wywnioskowa¢ z iii) i ii) twierdzenie w przypadku, gdy dimH = 2, i nast¦pnie za pomoc¡ i) otrzyma¢ twierdzenie w peªnej ogólno±ci. Zad 3. Udowodni¢, »e je»eli A = A1⊕A2 ∈ B(H), to znaczy A1 : K → K i A2 : K⊥ → K⊥, gdzie H = K +K⊥, to N(A) = conv(N(A1) ∪N(A2)), gdzie conv(N) = ⋂ {M : N ⊂M oraz M jest wypukªy} jest otoczk¡ wypukª¡ zbioru N . Zad 4. Obliczy¢ obraz liczbowy oraz widmo operatorów danych przez nast¦puj¡ce macierze A = [ i 0 0 1 ] , B = [ 0 0 1 0 ] , C =  0 0 11 0 0 0 1 0  , D =  0 0 01 0 0 0 0 1  . Mo»na tu korzysta¢ z faktu, »e dla operatorów normalnych obraz liczbowy pokrywa si¦ z otoczk¡ wypukª¡ widma. docsity.com