Pobierz Wzory na całki: całkowanie przez części teroria i zadania i więcej Skrypty w PDF z Matematica Generale tylko na Docsity!
- Całkowanie przez części. Teoria
1.1. Podstawowe wzory. W przypadku jednowymiarowym podsta- wowy wzór to ∫ (^) b
a
f ′(x) dx = f (b) − f (a),
z którego wynika bezpośrednio wzór na całkowanie przez części
∫ (^) b
a
f ′g +
∫ (^) b
a
f g′^ = f (b)g(b) − f (a)g(a).
Mówimy, intuicyjnie, że całka z pełnej pochodnej jest równa przyrosto- wi funkcji. W przypadku wielowymiarowym wzory na całkowanie uogólniają się. Należy uogólnić zarówno pojęcie przyrostu funkcji, jak i pojęcie pełnej pochodnej. Najpierw potrzebujemy pojęcia dywergencji. Jeśli Ω ⊂ Rn, zaś F : Ω → Rn^ jest funkcją różniczkowalną (interpretowaną jako pole wek- torowe F = (F 1 ,... , Fn), gdzie Fk : Ω → R jest k−tą współrzędną), określamy
div F =
∑^ n
k=
∂Fk ∂xk
Powyższą funkcję skalarną nazywamy dywergencją pola wektorowego F. Dywergencja mówi o tym, czy potok pola wektorowego rozszerza (zwiększa objętość), czy też ścieśnia (zmniejsza objętość), wynika to z wzoru LF dvol = ÷F · dvol, gdzie LF jest pochodną Liego zaś dvol formą objętości. Przypuśćmy teraz, że Ω jest obszarem ograniczonym w Rn^ o brzegu klasy C^1. W punkcie x ∈ ∂Ω określamy nx jako wektor normalny do ∂Ω o długości 1 skierowany na zewnątrz Ω. Jeśli Ω = {x : g(x) > 0 } i ∇g nie znika na ∂Ω, to nx = − (^) ||∇g^1 (x)|| ∇g(x).
Twierdzenie 1 (wzór Greena). Dla funkcji F klasy C^1 zachodzi wzór ∫
Ω
div F =
∂Ω
F · n dvol(∂Ω),
gdzie całka po prawej stronie jest całką powierzchniową.
Uwaga 1. Całka
S F^ ·^ n dvol(S)^ interpretuje się jako^ strumień pola wektorowego przechodzącego przez powierzchnię S. 1
1.2. Całki powierzchniowe. Warto przypomnieć pokrótce (zob [Birkholc, Rozdział 5]), jak obliczać całki powierzchniowe (ogólnie, całki po pod- rozmaitościach w Rn). Wystarczy się ograniczyć do podrozmaitości spa- rametryzowanych. Niech więc M ⊂ Rn^ będzie podrozmaitością k−wymiarową, U ⊂ Rk^ podzbiorem otwartym, zaś F : U → M parametryzacją (gład- ka bijekcja, której różniczka ma w każdym punkcie rząd k). Niech g : M → R będzie funkcją całkowalną. Wtedy określamy
(1)
M
g dvol(M ) =
U
g(F (x))
det DF (x)T^ · DF (x) dx,
gdzie DF jest pochodną, DF T^ · DF jest macierzą Gramma macierzy DF. W szczególności, jeśli k = n − 1 , zaś M jest wykresem funkcji, czyli M = {x 1 ,... , xn− 1 , f (x 1 ,... , xn− 1 ) : (x 1 ,... , xn− 1 ) ∈ U }, to ∫
M
g dvol(M ) =
U
g(x 1 ,... , xn− 1 , f (x 1 ,... , xn− 1 ))·
1 + f 1 ′^2 + · · · + f (^) n′− 12 dx 1... dxn,
gdzie f (^) k′ oznacza (^) ∂x∂fk.
Z drugiej strony, jeśli k = 1, zaś M = {(x 1 (t),... , xn(t)) ∈ Rn^ : t ∈ (a, b)}, mamy
M
g dvol(M ) =
∫ (^) b
a
g(x 1 (t),... , xn(t))
x ˙^21 + · · · + ˙x^2 n dt.
Tutaj x˙k oznacza pochodną dx dtk.
Uwaga 2. W literaturze spotyka się oznaczenia dvol(M ), dM dS (je- śli M jest powierzchnią), dlk(M ). My preferujemy tutaj oznaczenie^1 dvol(M ), które podkreśla, iż całkujemy względem miary objętościowej na rozmaitości M. Jeśli rozmaitość M jest jasna z kontekstu, będzie- my pisali po prostu dvol. Czasami, jeśli będziemy chcieli podkreślić, że całkujemy względem konkretnej zmiennej, będziemy pisali dvol(y).^2
1.3. Formy różniczkowe. Przedstawimy pokrótce metodę całkowa- nia, która używa form różniczkowych. O ile ścisłą definicję formy, moż- na znaleźć w innych źródłach (najlepiej [Arnold, Część 7] lub [Schwartz, Rozdział 6]), tu podajemy najważniejsze wyniki i definicje.
(^1) [MB]: Można je oczywiście zmienić (^2) [MB] Jest to potrzebne we wzorze (7). Nie upieram się przy tym oznaczeniu,
sam uważam, że jest dość drętwe.
4.Różniczka zewnętrzna. Różniczka formy f dxi 1 ∧ · · · ∧ dxik jest k + 1 formą postaci df ∧ dxi 1 ∧... dxik. Różniczka kombinacji liniowej (o współczynnikach niezależnych od punktu x) form postaci f dxi 1 ∧ · · · ∧ dxik jest sumą różniczek. 5.Całka z n−formy po podzbiorze otwartym Rn. Jeśli ω = f (x) dx 1 ∧ · · · ∧ dxn jest n−formą określoną na podzbiorze otwartym U ⊂ Rn, to określamy
(4)
U
ω =
U
f (x 1 ,... , xn) dx 1 dx 2... dxn.
6.Zamiana zmiennych w całce. Jeśli F : U → V jest dyfeomorfizmem podzbiorów otwartych Rn, zaś ω jest n−formą na V , to
U F^
∗ω = ∫ V ω. Jest to wzór na zamianę zmiennych w całce z formy. 7.Całka z formy po rozmaitości. Niech M będzie k−wymiarową pod-
rozmaitością w Rn, U ⊂ Rk^ zbiorem otwartym, F : U → Rn^ parame- tryzuje zbiór∫ M. Wtedy, dla dowolnej k−formy ω na M określamy
M ω^ =^
U F^
∗ω. Z punktu (6) wynika, iż całka ∫ M ω^ nie zależy od wyboru parametryzacji F : U → M. Najważniejszym twierdzeniem rachunku form różniczkowych jest twier- dzenie Stokesa, które uogólnia twierdzenie Gaussa–Greena–Ostrogradzkiego.
Twierdzenie 2. Niech M ⊂ Rn^ będzie k + 1 wymiarową podrozmaito- ścią zorientowaną z brzegiem ∂M. Niech ω będzie k−formą określoną na pewnym otoczeniu U zbioru M. Wtedy
(5)
∂M
ω =
M
dω.
Aby zobaczyć, że twierdzenie Stokesa jest uogólnieniem twierdzenia Greena, podajmy kilka prostych w dowodzie faktów.
Lemat 1. Jeśli M ⊂ Rn^ jest rozmaitością (n − 1)−wymiarową, zaś v = (v 1 ,... , vn) jest polem wektorowym na Rn. Określmy formę ωv wzorem
ωv = v 1 dx 2 ∧ · · · ∧ dxn − v 2 dx 1 ∧ dx 3 ∧ · · · ∧ dxn+
- v 3 dx 1 ∧ dx 2 ∧ dx 4 ∧ · · · ∧ dxn + · · · + (−1)n−^1 dx 1 ∧ · · · ∧ dxn.
Wtedy (^) ∫
M
ωv =
M
v · ~n dvol(M ).
Lemat 2. Jeśli v = (v 1 ,... , vn) i ωv jest określona jak w Lemacie 1, to
dωv = div v dx 1 ∧ · · · ∧ dxn.
- Całkowanie przez części. Zadania
2.1. Manipulacje wzorami.
Zadanie 1. Wykazać, że jeśli u jest funkcją, a X polem wektorowym, to div(uX) = u div(X) + Xu, gdzie Xu oznacza pochodną kierunkową funkcji u w kierunku X.
Zadanie 2. Udowodnić następujący analog wzoru Leibniza. Jeśli f, g : Ω → R są klasy C^1 , to
∇(f g) = f ∇g + g∇f.
Zadanie 3. Wyprowadź pierwszy wzór Greena:
Ω
u ∆v =
Ω
〈∇u, ∇v〉 −
∂Ω
u
∂v ∂n
gdzie (^) ∂n∂v oznacza pochodną kierunkową funkcji v w kierunku wektora normalnego do brzegu (tzn. prostopadłego) skierowanego na zewnątrz.
Zadanie 4. Wykazać, że jeśli funkcja f : Ω → R jest klasy C^2 to
div ∇f = ∆f,
gdzie ∆ jest operatorem Laplace’a (zob. (6)).
Zadanie 5. Wyprowadzić drugi wzór Greena:
∫
Ω
u ∆v +
Ω
∆u v =
∂Ω
[(
∂u ∂n
v − u
∂v ∂n
)]
Zadanie 6. Niech Ω ⊂ Rn^ otwarty, zaś u : Ω → R harmoniczna (speł- nia ∆u = 0, zob. część 3). Niech U ⊂ Ω będzie obszarem o gładkim brzegu, zaś v : U → R będzie klasy C^1 a ponadto
∀x ∈ ∂U u(x) = v(x).
Wykazać, że ∫
U
||∇u(x)||^2 ≤
V
||∇v(x)||^2.
Zadanie 7. Udowodnić twierdzenie o wartości średniej (zob. część 3.1), korzystając z wzorów Greena.
Wtedy
DF T^ · DF =
r^2 0 (R + r cos φ)^2
W związku z tym pozostaje nam do policzenia całka ∫ (^2) π
0
dθ
∫ (^2) π
0
dφ(r sin φ)n·r(R+r cos φ) = 2πrn+
∫ (^2) π
0
sinn^ φ(R+r cos φ)dφ.
Dla n = 2k+1 całka znika, natomiast dla n = 2k mamy
∫ (^) π 0 sin
2 k (^) φ cos φ =
−
∫ (^2) π π sin
2 k (^) φ cos φ. Pozostaje więc do policzenia wyrażenie
2 πr^2 k+1R
∫ (^2) π
0
sin^2 k^ φ dφ = 8r^2 k+1R
∫ (^) π/ 2
0
sin^2 k^ φ, dφ.
Teraz (^) ∫ π/ 2
0
sin^2 k^ φ dφ =
B(
n + 1 2
π 22 k+
2 k k
Ostatecznie uzyskujemy odpowiedź ∫
T
zn^ =
0 : n = 2k + 1 8 π^2 R
( (^) r 2
) 2 k+1 ( 2 k k
: n = 2k. ¤
Zadanie 12. Obliczyć średnią wartość funkcji xk 1 po sferze {x^21 + · · · + x^2 n = 1} ⊂ Rn^ dla całkowitych dodatnich k i n.
Zadanie 13. Obliczyć pole powierzchni bocznej stożka {x^2 + y^2 = z^2 , z ∈ [0, 1]}, całkując funkcję 1 po odpowiedniej powierzchni.
Zadanie 14. Obliczyć długość krzywej zadanej parametrycznie przez x = t cos t, y = t sin t, gdzie t ∈ [0, 2 π].
Zadanie 15. Niech γ będzie krzywą w R^3 zadaną parametrycznie przez s → (s, s^2 , s^3 ), gdy s ∈ [0, 1]. Każdy punkt γ łączymy odcinkiem z punktem (0, 0 , 0). Obliczyć objętość tak uzyskanego zbioru.
Zadanie 16. Obliczyć całkowity strumień pola (x^2 +y^2 , y^2 +z^2 , z^2 +x^2 ) przez brzeg sześcianu V = {|x| ≤ a, |y| ≤ a, |z| ≤ a}.
Zadanie 17. Obliczyć całkowity strumień pola ( x √ x^2 + y^2 + z^2
y √ x^2 + y^2 + z^2
z √ x^2 + y^2 + z^2
przez powierzchnię elipsoidy E = {x^2 + 14 y^2 + 19 z^2 = 4}.
Rozwiązanie. Zamiast liczyć brutalnie, zastosujemy wzór Greena. Za- uważmy, że pole wektorowe
v =
x √ x^2 + y^2 + z^2
y √ x^2 + y^2 + z^2
z √ x^2 + y^2 + z^2
ma znikającą dywergencję w R^3 \ {(0, 0 , 0)}. Gdyby E było brzegiem obszaru w R^3 \ {(0, 0 , 0)}, pierwszy wzór Greena powiedziałby, że cał- kowity strumień jest zero. Tak jednak nie jest i musimy postępować w inny sposób. Niech V będzie obszarem zadanym przez
V = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≥ 1 , x^2 +
y^2 +
z^2 ≤ 4 }.
Wtedy div v = 0 na V , ponadto ∂V = E∪−S, gdzie S = {x^2 +y^2 +z^2 = 1 }, a znak „−” oznacza, że bierzemy przeciwną orientację. Ze wzoru Greena (Twierdzenie 1): ∫
−S
v · n +
E
v · n =
V
div v = 0.
A zatem
−
S
v · n +
E
v · n = 0,
gdyż strumień pola przez −S jest równy (−1)· strumień pola przez S. Czyli strumienie pola przez S i przez E są równe. Natomiast na S pole v jest równe polu w = (x, y, z), gdyż
x^2 + y^2 + z^2 = 1. A zatem ∫
S
v · n =
S
w · n =
x^2 +y^2 +z^2 ≤ 1
div w =
x^2 +y^2 +z^2 ≤ 1
π · 3 = 4π,
gdzie ponownie użyliśmy wzoru Greena. ¤
2.4. Formy różniczkowe.
Zadanie 18. Dla form ω = 2xdx + y^2 zdy + 3xydz i η = (x^3 + y^5 )dx ∧ dy + 2yzdy ∧ dz + 3ydx ∧ dz obliczyć dω, dη oraz ω ∧ η.
Rozwiązanie. Zauważmy, że d(2xdx) = 0. Istotnie, d(2xdx) = d(2x) ∧ dx = 2dx ∧ dx = 0. Jako, że d(y^2 z) ∧ dy = y^2 dz ∧ dy = −y^2 dy ∧ dz oraz d(3xy) ∧ dz = 3ydx ∧ dz + 3xdy ∧ dz, otrzymujemy
dω = (−y^2 + 3x)dy ∧ dz + 3ydx ∧ dz.
Przy obliczaniu dη obserwujemy, że d((x^3 + y^5 )dx ∧ dy) = d(2yzdy ∧ dz) = 0. Istotnie, w pierwszym przypadku funkcja x^3 + y^5 zależy tylko od x i y , zatem d(x^3 +y^5 ) będzie zawierało wyrazy tylko z dx i dy, które
Zadanie 23. Niech ω będzie formą określoną wzorem
ω =
(y − 2)dx − (x + 2)dy x^2 + y^2 + 4x − 4 y + 8
(y − 1)dx − (x + 1)dy x^2 + y^2 + 2x − 2 y + 2
zaś krzywa γ ⊂ R^2 zadana równaniem
γ = {(x, y) : |x|^4 /^3 + |y|^5 /^4 = 2.
Oblicz
γ ω.
Zadanie 24. Niech M ⊂ Rn^ będzie hiperpowierzchnią zadaną przez f = 0, gdzie ∇f nie równa się zero w żadnym punkcie M. Określamy
ωf =
||∇f ||
∑^ n
k=
(−1)kf (^) k′dx 1 ∧ · · · ∧ dx̂ k ∧ · · · ∧ dxn.
Wykazać, że dla dowolnej funkcji g : M → R całkowalnej na M zacho- dzi (^) ∫
M
g · ωf =
M
g dvol(M ),
gdzie po lewej stronie stoi całka z (n − 1)-formy, zaś po prawej całka z funkcji względem miary.
Zadanie 25. Wyprowadzić wzór Greena (Twierdzenie 1) z Twierdzenia Stokesa.
Zadanie 26. Udowodnić, że spośród wszystkich krzywych zamknię- tych γ ⊂ R^2 , największe pole ogranicza okrąg.
Wskazówka: postępuj według następującego schematu.
- Rozpatrzmy wszystkie krzywe γ = (x(t), y(t)), t ∈ [0, 1], klasy C^2 , takie że x(0) = x(1) = y(0) = y(1) = 0. Wykaż, że każdą taką krzywą można przeparametryzować tak, aby x˙^2 + ˙y^2 ≡ l^2 , gdzie l jest długością krzywej.
- Zauważ, że dla krzywej γ, funkcjonał L(x, y) =
0 x(t) ˙y(t)dt przyjmuje wartość równą polu obszaru ograniczonego przez γ.
- Rozważ zagadnienie ekstremalne dla L(γ) z mnożnikiem La- grange’a F (x, y) =
0
x˙^2 + ˙y^2 dt: napisz równanie Eulera– Lagrange’a dla L(x, y) − λF (x, y). Zagadnienie jest dwuwymiarowe, więc będą dwa równania: jed- no pochodzące od zaburzenia x → x + δx, drugie od y → y + δy. Dzięki wyborowi parametryzacji (punkt 1.) te równania mają stosunkowo prostą postać.
- Rozwiąż otrzymane równania. Jako, że wiadomo, jaki ma wyjść wynik, rozwiązanie nie powinno być trudne.
- Funkcje harmoniczne. Teoria
3.1. Definicje. Niech Ω ⊂ Rn^ będzie podzbiorem otwartym (w ogól- ności rozmaitością riemannowską). Funkcję f : Ω → R nazwiemy har- moniczną, jeśli jest dwukrotnie różniczkowalna oraz spełnia równanie Laplace’a
∆f = 0,
gdzie
(6) ∆f =
∑^ n
k=
∂^2 f ∂x^2 k
Wiadomo, że każda taka funkcja musi być analityczna. Poza tym ma szereg interesujących własności.
- Pierwszą z nich jest twierdzenie o wartości średniej. Stanowi ono, że jeśli kula B(x, r) jest zawarta w Ω, to
f (x) =
B ∫(x,r) f^ (y)^ dy B(x,r) 1 dy^
S ∫(x,r) f^ (y)^ dS B(x,r) 1 dS^
- Ponadto mamy zasadę maksimum, która mówi, że funkcja har- moniczna nie ma maksimów lokalnych. W szczególności, jeśli Ω jest ograniczony, to
sup{f (x) : x ∈ Ω} = sup{f (x) : x ∈ ∂Ω}.
- Funkcja harmoniczna na Ω jest ponadto analityczna w Ω. Twierdzenie o wartości średniej sugeruje wprowadzenie następującej definicji
Definicja 1. Niech Ω ⊂ Rn^ będzie podzbiorem otwartym.
(a) O funkcji lokalnie całkowalnej^4 (całkowalnej po zbiorach zwar- tych) f : Ω → R powiemy, że spełnia twierdzenie o wartości średniej dla kuli, jeśli ∀x ∈ Ω i ∀r > 0 takich, że kula B(x, r) ⊂ Ω zachodzi
f (x) =
B ∫(x,r) f^ (y)^ dy B(x,r) 1 dy^
(b) O funkcji ciągłej^5 f : Ω → R powiemy, że spełnia twierdzenie o wartości średniej dla sfery, jeśli ∀x ∈ Ω i ∀r > 0 takich, że kula
(^4) [MB] Czy bawić się w takie definicje? (^5) [MB] Chciałoby się powiedzieć, lokalnie w jakiejś przestrzeni Sobolewa, takiej,
że ślad jest całkowalny, ale to chyba bez sensu
spełnia zagadnienie Poissona dla Ω z funkcjami g i h. Tutaj (^) ∂n∂y oznacza
pochodną kierunkową Φ w kierunku wektora normalnego, przy czym różniczkowanie jest po zmiennej y.
Kładąc h = 0 w (7) uzyskujemy rozwiązanie zagadnienia Dirichleta.
(8) f (x) = −
∂Ω
g(y)
∂ny
dvol(y).
Definicja 5. Funkcję P (x, y) : Ω × ∂Ω → R określoną wzorem
P (x, y) =
∂ny
(x, y)
nazywamy jądrem Poissona dla obszaru Ω. Wzór (8), który można zapisać jako
f (x) = −
∂Ω
g(y)P (x, y) dvol(y).
nazywamy wzorem Poissona.
W wyznaczaniu funkcji Greena dla różnych obszarów przydatna mo- że być interpretacja elektrostatyczna: przy ustalonym x funkcja Greena to jest potencjał elektrostatyczny wyznaczony przez ładunek jednost- kowy znajdujący się w punkcie x oraz przez, być może, inne ładunki znajdujące się poza Ω, ale tak, by potencjał na ∂Ω był stale równy 0.
3.3. Funkcje harmoniczne i funkcje holomorficzne. W przypad- ku n = 2, a więc funkcji określonych na podzbiorach otwartych U ⊂ R^2 mamy piękne i głębokie związki pomiędzy funkcjami harmonicznymi a funkcjami holomorficznymi (zob. [Rudin, Rozdział 10nn]). Przypomnij- my definicję.
Definicja 6. Niech U ⊂ C. Funkcję F : U → C nazwiemy holomorficz- ną, jeśli ∀z 0 ∈ U spełniony jest jeden z następujących, równoważnych warunków.
- Istnieje granica lim w→ 0 ,w∈C
F (z 0 +w)−F (z 0 ) w ;
- Pochodna funkcji F (traktowanej jako funkcja z R^2 do R^2 ) ma postać
a −b b a
dla pewnych a, b ∈ R;
- Jeśli zapiszemy z = x + iy zaś F (z) = u(x, y) + iv(x, y), to ∂u ∂x =^
∂v ∂y oraz^
∂u ∂y =^ −
∂u ∂v ;
- Forma różniczkowa F (z)dz = F (z)dx+iF (z)dy jest zamknięta.
Mamy następujące fakty.
Lemat 3 (uproszczony wzór całkowy Cauchy’ego). Jeśli f : U → C jest holomorficzna, zaś koło B(z 0 , r) ⊂ U , to ∫
∂B(z 0 ,r)
f (z) z − z 0
dz = 2πif (z 0 ).
Całkę po prawej stronie można rozumieć albo w sensie funkcji anali- tycznych (ob. Rudin... ), albo jako całkę z 1 −formy.
Parametryzując brzeg ∂B(z 0 , r) przez z = z 0 + reit, gdzie t ∈ [0, 2 π], uzyskujemy (wstawiając dz = ireitdt) ∫
∂B(z 0 ,r)
∫ (^2) π
0
f (z 0 + reit) reit^
ireitdt = i
∫ (^2) π
0
f (z 0 + reit)dt =
i r
∂B(z 0 ,r)
f (z) dvol.
Całka po prawej stronie jest całką względem miary na okręgu. W takim wypadku ze wzoru całkowego Cauchy’ego uzyskujemy
2 πr
∂B(z 0 ,r)
f (z) dvol = f (z 0 ),
inaczej mówiąc, wartość funkcji holomorficznej w punkcie z 0 jest średnią z jej wartości po okręgu ∂B(z 0 , r).
3.4. Funkcje subharmoniczne. Przypomnijmy następującą defini- cję
Definicja 7. Niech Ω ⊂ Rn. Funkcję f : Ω → R ∪ {−∞} nazwiemy półciągłą z góry, jeśli dla każdego a ∈ R, zbiór {x ⊂ Ω : f (x) < a} jest otwarty w Ω, bądź, równoważnie, jeśli dla każdego x 0 ∈ Ω zachodzi
lim sup x→x 0
f (x) ≤ f (x 0 ).
Tutaj ograniczymy się do podania definicji funkcji subharmonicznej (zob [Krantz, Rozdział 2]).
Definicja 8. Funkcję f : Ω → R ∪ {−∞}, półciągłą z góry nazwie- my subharmoniczną jeśli dla każdego x ∈ Ω i każdego r takiego, że B(x, r) ⊂ Ω oraz dla dowolnej funkcji harmonicznej h : B(x, r) → R ciągłej na B(x, r), warunek
f (x) ≤ h(x) dla wszystkich x ∈ ∂B(x, r)
implikuje warunek
f (x) ≤ h(x) dla wszystkich x ∈ B(x, r).
Zadanie 34. Udowodnić, że granica niemal jednostajnego ciągu funk- cji harmonicznych jest harmoniczna. Wskazówka: Zadanie 33.
Zadanie 35. Niech Ω ⊂ Rn^ otwarty, zaś f : Ω → R będzie harmoniczna i ograniczona przez M. Wykaż, że istnieje taka stała C > 0 zależąca jedynie od n, że dla dowolnych dwóch punktów x, y ∈ Ω, jeśli r > 0 będzie takie, że B(x, r) ⊂ Ω i B(y, r) ⊂ Ω, to
|f (x) − f (y)| ≤
CM
r
Zadanie 36. Wykazać, że funkcja harmoniczna na Rn^ ograniczona jest stała. Wskazówka: zadanie 35.
Zadanie 37. Niech B = B(0, 2 r) ⊂ Rn^ będzie kulą o promieniu 3 r > 0 , zaś u : B → R będzie funkcją harmoniczną w B, taką, że u(x) ≥ 0 dla wszystkich x ∈ B(0, r). Wykazać, że dla dowolnych x, y ∈ B(0, r) zachodzi u(x) ≤ 33 nu(y). Wskazówka. Połączyć x i y odcinkiem i weź punkty w, z odpowiednio w 1 / 3 i 2 / 3 tego odcinka. Następnie zastosować twierdzenie o wartości średniej, aby wykazać, że u(x) ≤ 3 nu(w) i dalej u(w) ≤ 3 nu(z), u(z) ≤ 3 nu(x).
Zadanie 38. Posłużyć się powyższym zadaniem do dowodu nierów- ności Harnacka: dla dowolnego obszaru Ω ⊂ Rn^ ograniczonego, i pod- zbioru otwartego U ⊂ Ω takiego, że U ⊂ Ω, istnieje stała C > 0 o tej własności, że jeśli u : Ω → R jest harmoniczna oraz u(x) ≥ 0 , to
sup x∈U
u(x) ≤ C inf x∈U u(x).
Zadanie 39. Niech U ⊂ Rn, n > 1 będzie otwarty, zaś x 0 ∈ U. Przy- puśćmy, że dana jest funkcja F : U \ {x 0 } → R harmoniczna i ograni- czona. Wykazać, że F przedłuża się do funkcji ciągłej F˜ : U → R i F˜ jest harmoniczna.
Zadanie 40. Scharakteryzować funkcje harmoniczne w R^1. Znaleźć funkcję Greena dla warunków d’Alemberta dla odcinka [a, b]. Przedys- kutować sytuację dla warunków von Neumanna.
Zadanie 41. Niech f : Ω → R będzie funkcją harmoniczną, której wszystkie punkty krytyczne (miejsca takie, że ∇f = 0) mają niezdege- nerowany hessjan (macierz drugich pochodnych). Wykazać, że równanie Laplace’a nie pozwala na to, aby hessjan był dodatnio (ani też ujem- nie) określony, więc takie f nie może mieć lokalnych maksimów ani minimów.
Zadanie 42. Rozważmy torus S^1 × S^1 , na którym współrzędne ozna- czymy przez x i y. Znaleźć wartości własne operatora Laplace’a ∆ = ∂xx + ∂yy.
Zadanie 43. Zbadać zagadnienie własne operatora Laplace’a ∆ = ∂xx + ∂yy z tym, że na prostokącie L = [0, a] × [0, b] z warunkiem brzegowym u|∂L = 0.
4.1. Laplasjan w różnych układach współrzędnych.
Zadanie 44. Niech ∆ = ∂ xx^2 + ∂^2 yy będzie dwuwymiarowym laplasja- nem. Znaleźć jego postać we współrzędnych biegunowych (r, φ).
Zadanie 45. Wykonać trochę żmudniejsze rachunki, aby wyznaczyć postać trójwymiarowego laplasjanu we współrzędnych sferycznych (r, ψ, φ),
x = r sin φ sin ψ, y = r sin φ cos ψ, z = r cos φ.
Zadanie 46. Wykazać, możliwie najprościej, że laplasjan jest niezmien- niczy przy ortogonalnej zamianie zmiennych, to znaczy, że przy przej- ściu do układu ortogonalnego, postać laplasjanu nie zmienia się.
Zadanie 47. Znaleźć postać Laplasjanu we współrzędnych walcowych x = r sin φ, y = r cos φ, z = z.
Zadanie 48. Znaleźć postać laplasjanu we współrzędnych sferycznych w R^4 zadanych przez
x = r cos α cos β cos γ y = r cos α cos β sin γ z = r cos α sin β u = r sin α.
Rozwiązanie. Na tym przykładzie pokażemy pewien uniwersalny spo- sób postępowania, wykorzystujący fakt, iż ∆F = div ∇F = ∗d ∗ dF , gdzie d jest różniczkowaniem form zaś ∗ jest operatorem gwiazdki Hod- ge’a. Zauważmy, że w zadanym punkcie przestrzeni, wektory styczne
∂ ∂x
∂y
∂z
∂u
oraz
∂r
∂α
∂β
∂γ
∗e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 = 1. A zatem
∗dr = r^3 cos^2 α cos βdα ∧ dβ ∧ dγ ∗dα = −r cos^2 α cos βdβ ∧ dγ ∧ dr ∗dβ = r cos βdγ ∧ dr ∧ dα
∗dγ = −
r cos β
dr ∧ dα ∧ dβ
∗dr ∧ dα ∧ dβ ∧ dγ =
r^3 cos^2 α cos β
Mamy
dF =
∂F
∂r
dr +
∂F
∂α
dα +
∂F
∂β
dβ +
∂F
∂γ
dγ.
A zatem
∗dF =
∂F
∂r
r^3 cos^2 α cos βdα ∧ dβ ∧ dγ−
∂F
∂α
r cos^2 α cos βdβ ∧ dγ ∧ dr+
∂F
∂β
r cos βdγ ∧ dr ∧ dα−
∂F
∂γ
r cos β
dr ∧ dα ∧ dβ.
Policzenie d ∗ dF jest de facto jedynym miejscem, gdzie pojawiają się nieco bardziej złożone rachunki.
d ∗ dF =
[
∂^2 F
∂r^2
r^3 cos^2 α cos β +
∂F
∂r
3 r^2 cos^2 α cos β +
∂^2 F
∂α^2
r cos^2 α cos β −
∂F
∂α
2 r sin α cos α cos β+
∂^2 F
∂β^2
r cos β −
∂F
∂β
r sin β+
r cos β
∂^2 F
∂γ^2
]
dr ∧ dα ∧ dβ ∧ dγ.
Stąd uzyskujemy
∆F = ∗d ∗ dF =
∂^2 F
∂r^2
r^2
∂^2 F
∂α^2
r^2 cos^2 α
∂^2 F
∂β^2
r^2 cos^2 α cos^2 β
∂F
∂γ^2
r
∂F
∂r
2 tg α r^2
∂F
∂α
− tg β r^2 cos^2 α
∂F
∂β
Uwaga 3. Powyższa metoda jest skuteczna, dzięki temu, że macierz
DF pochodnej zamiany zmiennych (r, α, β, γ) F → (x, y, z, u) ma taką własność, że DF · DF T^ jest diagonalna. Dzięki temu wektory (^) ∂r∂ , (^) ∂α∂ , ∂ ∂β i^
∂ ∂γ były ortogonalne i gwiazdka Hodge’a miała stosunkowo prostą postać.
Zadanie 49. Niech R > r 0 > 0. Udowodnić, że wzór
x = (R + r cos φ) cos θ y = (R + r cos φ) sin θ z = r sin φ
dla φ, θ ∈ [0, 2 π] oraz r bliskich r 0 zadaje lokalny układ współrzędnych w R^3 w otoczeniu torusa {(x^2 + y^2 + z^2 − R^2 − r 02 )^2 + 4R^2 z^2 = 4r 02 R^2 }. Wyrazić ∆f we współrzędnych r, φ, θ.
4.2. Funkcje Greena.
Zadanie 50. Wyznaczyć funkcję Greena dla obszaru
{(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 : x 1 > 0 }.
Rozwiązanie. Jeśli położymy Φ(x, y) = (^41) π |x − y|−^1 (funkcja Greena dla R^3 ), nie będzie spełniony warunek, żeby Φ znikała dla y 1 = 0. Z pomocą przychodzi nam interpretacja fizyczna, jako potencjału. Sugeruje to, że trzeba dołożyć gdzieś w R^3 taki ładunek, aby zrównoważyć potencjał na płaszczyźnie y 1 = 0. To jest bardzo proste: musimy umieścić go symetrycznie po drugiej stronie płaszczyzny i dać mu znak przeciwny. Powyższe rozważania sugerują (ale nie dowodzą), że funkcja
G(x, y) = Φ((x 1 , x 2 , x 3 ), y) − Φ((−x 1 , x 2 , x 3 ), y).
powinna być funkcją Greena dla półpłaszczyzny. Pozostawiamy czytel- nikowi sprawdzenie, że tak jest w istocie. ¤
Zadanie 51. Znaleźć funkcję Greena dla koła B(0, 1) ⊂ Rn.
Rozwiązanie. Spróbujemy postąpić podobnie, to znaczy, umieścić sy- metrycznie drugi ładunek tak, aby się zniosły na brzegu koła. Tutaj symetrią będzie inwersja względem koła, a więc przekształcenie
x → i(x) =
x |x|^2
Pokazanie, że to działa wymaga trochę pracy. Zauważmy, że jeśli Φ(x, y) jest funkcją Greena dla Rn, to funkcja
Φ(^ ˜ x, y) = Φ(|x|i(x), |x|y)
