Wzory Viete'a, Egzaminy z Matematyka

Pobierz Wzory Viete'a i więcej Egzaminy w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Wzory Viete’a

Wprowadzenie

Przeczytaj

Film samouczek

Sprawdź się

Dla nauczyciela

W tym materiale wyprowadzimy i zastosujemy wzory na sumę oraz iloczyn pierwiastków

równania kwadratowego.

Wzory te są wykorzystywane do znajdowania rozwiązań równania kwadratowego, badania

ich znaków oraz do obliczania wartości wyrażeń, które zawierają te pierwiastki.

Wzory te nazwane są wzorami Viete’a od

nazwiska ich autora Francois Viete

• francuskiego matematyka,

z zawodu prawnika. François Viète jako

pierwszy posłużył się oznaczeniami

literowymi do zapisywania niewiadomych

oraz współczynników w równaniach. Dzięki

wprowadzeniu oznaczeń literowych

w równaniach pojawiła się możliwość

opisywania ogólnych własności równań.

Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

(1540 – 1603)

Wzory Viete’a

Przeczytaj

Równanie kwadratowe , dla ma pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy

Jeżeli to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:

Jeżeli wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie:

Twierdzenie: Wzory Viete’a

Jeżeli równanie kwadratowe , gdzie i , ma pierwiastki ,

, to:

oraz

Dowód

Przykład 1

Obliczymy sumę i iloczyn pierwiastków równania (jeżeli równanie ma

pierwiastki).

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

ax

+ bx + c = 0 a ≠ 0

x 1

−b−√Δ

2 a

x 2

−b+√Δ

2 a

x 0

−b

2 a

ax

+ bx + c = 0 a ≠ 0 Δ ≥ 0 x

x 2

x 1

+ x

b

a

x 1

⋅ x

c

a

x 1

+ x

−b−√Δ

2 a

−b+√Δ

2 a

−2b

2 a

b

a

x 1

⋅ x

−b−√Δ

2 a

−b+√Δ

2 a

(−b−√Δ)(−b+√Δ)

4 a

2

b

2

−Δ

4 a

2

b

2

−(b

2

−4ac)

4 a

2

4 ac

4 a

2

c

a

x

+ 2x − 15 = 0

x

+ 2x − 15 = 0

zatem równanie ma dwa pierwiastki i.

Korzystając z wzorów Viete'a obliczymy sumę pierwiastków:

Obliczymy iloczyn pierwiastków:

Przykład 2

Obliczymy sumę i iloczyn rozwiązań równania (jeżeli istnieją).

„Delta” jest liczbą ujemną, zatem równanie nie posiada miejsc zerowych.

Poznane wzory wykorzystamy teraz do określenia znaku pierwiastków równania

kwadratowego.

Przykład 3

Jeśli równanie kwadratowe ma pierwiastki, to określimy ich znaki.

Ponieważ to równanie ma dwa pierwiastki ,.

Ponieważ , to możemy wnioskować, że oba pierwiastki i mają ten sam

znak (oba są ujemne lub oba są dodatnie).

Ponieważ oraz obie liczby mają ten sam znak, zatem i są liczbami

dodatnimi.

Przykład 4

Określimy znaki pierwiastków równania (jeżeli istnieją).

Δ = 2

− 4 ⋅ 1 ⋅ (−15) = 4 + 60 = 64

Δ > 0 x 1

x 2

x 1

• x 2

=

−b

a

=

= −

x 1

⋅ x 2

=

c

a

=

= −

2 x

− 3x + 7 = 0

Δ = (−3)

− 4 ⋅ 2 ⋅ 7 = 9 − 56 = −

x

− 5x + 6 = 0

Δ = (−5)

− 4 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1

Δ > 0 x 1

x 2

x 1

⋅ x 2

=

c

a

=

= 6

x 1

⋅ x 2

0 x 1

x 2

x 1

• x 2

=

−b

a

= −

= 5

x 1

• x 2

0 x 1

x 2

x

• x − 12 = 0

Δ = 1

− 4 ⋅ (−12) = 1 + 48 = 49 > 0

x 1

⋅ x 2

=

c

a

=

= −

Film samouczek

Polecenie 1

Obejrzyj film samouczek przedstawiający wyprowadzenie wzorów Viete’a różnymi metodami.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D15vrw21U

Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Uzasadnij, że jeżeli równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek, to wzory Viete’a

można zapisać w postaci 2 x ,.

0

= −

b

a

x 0

2

=

c

a

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Połącz równanie z wzorami na sumę i iloczyn rozwiązań równania.

2 x

2

− 3x − 7 = 0

x 1

⋅ x 2

x 1

• x 2

3

2

2 x

2

• 3x − 7 = 0

x 1

⋅ x 2

1

2

x 1

• x 2

1

2

x

2

− x − 15 = 0

x 1

⋅ x 2

7

2

x 1

• x 2

3

2

−x

2

− x + 15 = 0

x 1

⋅ x 2

x 1

• x 2

2 x

2

• 3x − 30 = 0

x 1

⋅ x 2

x 1

• x 2

Ćwiczenie 2

Oblicz sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego. Wybierz

poprawną odpowiedź.

oraz

oraz

oraz

Równanie nie posiada pierwiastków, więc nie można podać ich sumy i iloczynu.

3 x

2

• 9x + 15 = 0

x 1

• x 2

= −3 x 1

⋅ x 2

x 1

• x 2

= 3 x 1

⋅ x 2

x 1

• x 2

= −3 x 1

⋅ x 2

Ćwiczenie 7

Czy można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby suma pierwiastków była równa , a iloczyn

Ćwiczenie 8

Korzystając ze wzorów Viete’a oblicz kwadrat różnicy rozwiązań równania kwadratowego

x.

2

• 5x − 6 = 0

難

難

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling

Przedmiot: Matematyka

Temat: Wzory Viete’a

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres rozszerzony.

Uczeń:

3) stosuje wzory Viete’a dla równań kwadratowych.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych,

technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

oblicza sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego

określa znaki pierwiastków równania kwadratowego

oblicza sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego

dobiera model algebraiczny do określonej sytuacji

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

śnieżna kula

burza mózgów

dyskusja

Równanie kwadratowe

Wskazówki metodyczne:

Film samouczek może być wykorzystany do stworzenia prezentacji multimedialnej.