Pobierz Zadania z ekonometrii - Notatki – Ekonometria i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
Zadanie nr 21
Oszacować liniowy model obrazujący związek między dochodem narodowym a odsetkiem pracujących w rolnictwie w wybranych krajach dawnego układu RWPG w 1990r. Przyjęto następujące oznaczenia: yi - dochód narodowy w USD na 1 mieszkańca i-tego kraju, xi - odsetek pracujących w rolnictwie i-tego kraju. Niezbędne informacje zamieszczono w tablicy poniżej ( tablica posortowana rosnąco względem xi ).
i Kraj^ y^ i xi 1 Czechosłowacja 3400 12 2 Węgry 2600 19 3 Bułgaria 2300 20 4 Polska 1900 27 5 Rumunia 1400 28
Za cel postawiliśmy sobie osiągnięcie modelu, który będzie w jak najlepszym stopniu odpowiadał rzeczywistości. W jego szacowaniu posłużymy się MNK. Przy weryfikacji hipotez istotności zakładamy współczynnik α=0,05.
Graficzna prezentacja danych do zadania
Graficzna prezentacja danych
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
12 19 20 27 28
W celu zaproponowania modelu analitycznego, przeprowadzimy analizę danych po przez :
- funkcję liniową,
- funkcję wykładniczą
Ad.
Parametry funkcji liniowej, przedstawionej poniżej :
y ˆ x a 0 a 1 x
Rozwiązujemy wg MNK, czyli:
aˆ^ (XT^ X) ^1 XT Y
za macierz X podstawiamy odsetek pracujących w rolnictwie, otrzymując macierz X. Macierz Y - to dochód narodowy
X
Y
Macierz XT^ mnożymy przez macierz X :
Obliczamy wyznacznik macierzy: 854. Macierz odwrotna istnieje:
Następnym krokiem jest obliczenie ilorazu XTY:
Ostatnim krokiem w celu obliczenia rozwiązań równania jest obliczenie iloczynu macierzy (XTX) -1^ (XT^ Y), czyli wektor rozwiązań:
- 112,
Powyższa macierz jest macierzą parametrów naszego równania. Nasz model możemy zapisać:
y (^) o blicz. 4705 , 621 112 , 529 X
-tα tα
t 0
oraz t 1 dla a 1
7 , 854 14 , 328
112 , 529 t 1
Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,3 = 3,182.
Wyniki mówią nam, że parametr a 0 dla którego przyjmujemy hipotezę H 0 jest statystycznie różny od zera, parametr a 1 również. Mają one wpływ na wielkość dochodu narodowego. Zapiszemy nasz model w postaci:
y (^) o blicz. 4705 , 621 112 , 529 X Saj : (315,079) (14,328)
t i : (14,935) (-7,854)
Aby sprawdzić dopasowanie oszacowanego modelu do danych rzeczywistych wyznaczamy współczynnik determinacji R^2 oraz odchylenie standardowe składnika resztowego modelu s.
2 s S e
w naszym przypadku wynosi ono 187,24 i mówi nam że przeciętne odchylenie wartości empirycznych od wartości rzeczywistych wynosi 187,25USD na 1 mieszkańca. Współczynnik determinacji obliczamy wg wzoru:
2
2 2 Y Y n(y~ )
aˆ X Y n(y~) R (^) T
T T
n – liczba obserwacji (5) y~^ - średnia z macierzy = 2320
Pozostałe wartości tego równania mamy już obliczone powyżej i po podstawieniu otrzymujemy
0 , 954 29180000 5 *( 2320 )
29074813 5 *( 2320 ) R (^2)
2 2
Model nasz jest więc dobrze dopasowany do danych empirycznych, bo wyjaśnia aż 83,2 % obserwacji. Posiadając obliczony współczynnik determinacji R^2 możemy obliczyć
współczynnik zbieżności 2 , który liczymy jako różnice : 1 - R^2.
^2 1 R^2 1 0 , 954 0 , 046
Niska wartość współczynnik zbieżności mówi nam o bardzo dobrym dopasowaniu modelu do danych empirycznych. Współczynnik korelacji wielorakiej jest - on pierwiastkiem kwadratowym z R^2. Dla naszego modelu:
H 1 H 0 H 1
t (^) j t 1 =-7,854 t0=14,
R R^2 0 , 977
Ostatnią miarą dopasowania modelu jest współczynnik zmienności losowej, czyli
y~
s
V
Dla naszego modelu, uzyskujemy
V
Współczynnik ten jest niższy od umownej wartości 10% co oznacza, że cechy wykazują zróżnicowanie statystycznie nieistotne. Zastosujmy statystykę Durbina-Watsona.
Musimy wykonać obliczenia pomocnicze
x yt Yt e (^) t e (^) t^2 e (^) t-1 e (^) t-1^2 e (^) t -e (^) t-1 e (^) t e (^) t-1 (e (^) t -e (^) t-1) 2
12 3400 3355,27 44,73 2000,50 - - - - -
19 2600 2567,57 32,43 1051,70 44,73 2000,50 -12,30 1450,50 151,
20 2300 2455,04 -155,04 24037,71 32,43 1051,70 -187,47 -5027,98 35145,
27 1900 1667,34 232,66 54131,61 -155,04 24037,71 387,70 -36072,15 150313,
28 1400 1554,81 -154,81 23965,83 232,66 54131,61 -387,47 -36018,17 150133,
- 105187,35 - 81221,53 - -75667,80 335743,
Dla zastosowania tej statystyki musimy zastosować poniższe wzory
- Estymator współczynnika autokorelacji
n
t
t
n
t
t
n
t
t t
e e
ee
r
2
2 1 1
2
2
1
co po podstawieniu naszych danych z tabeli daje nam r = -0,819 (jeśli występuje autokorelacja, to jest ona ujemna)
- Statystyka Durbina-Watsona
n
t
t
n
t
t t
e
e e
d
1
2
2
2 1
po podstawieniu danych z tabeli pomocniczej otrzymujemy d =3,192. Współczynnik d>2, musimy wprowadzić d*^ =4-d, dla naszego przypadku d *^ =0,
Ad.2 Model z funkcją wykładniczą
a x oblicz. 0 y a e^1
Aby zastosować MNK, musimy dokonać pewnych podstawień: y’ =ln(y (^) oblicz) oraz a’=ln(a 0 )
y' a' a 1 x
X
Y
Model ten po dokonanych podstawieniach, tak jak i poprzedni możemy obliczyć MNK, czyli wg wzoru:
aˆ^ (X X) X Y
T 1 T
Wynik naszej operacji na macierzach (XTX) -1^ , jest macierz:
- 0,1241218 0,
2,8313817 -0,
Macierz XTY:
808,
38,
Po wymnożeniu naszych macierzy, uzyskujemy wektor rozwiązań naszego modelu, czyli aˆ^ :
- 0,
Aby wstawić dane naszego rozwiązania do wzoru musimy wykonać jeszcze jedną operację. Mianowicie a 0 musimy obliczyć odwrotność do ln() czyli e(a 0 )^. Model nasz możemy zapisać w postaci:
0 , 0489 * x
yoblicz 6261 , 656 *e
Kolejnym krokiem będzie obliczenie wariancji resztowej S e^2 :
Y Y aˆ X Y n k
S (^) e T T T
2 1
gdzie: n - liczba obserwacji (dla naszego przykładu 5), k - liczba parametrów modelu (dla naszego przypadku 2).
Iloczyn macierzy YTY wynosi: 297,3461 , natomiast iloczyn aˆ^ T^ XTY : 297,3095. Po obliczeniu
wg powyższego wzoru uzyskujemy, więc S e^2 =0,012.
Możemy już teraz przejść do obliczenia średnich błędów szacunku modelu, które liczymy wg wzoru:
Saj Sec ji ^2
gdzie cji to elementy stojące na przekątnej macierzy (XT^ X) -
Obliczamy średnie błędy szacunku dla poszczególnych parametrów strukturalnych modelu:
dla a 0 S (^) a 0 0 , 012 *2,8313817 0 , 184 dla a 1
S a 1 0 , 012 *0,0058548 0 , 00838
Zapiszmy nasz model (postać liniową) :
y' 8 , 7422 0 , 0489 * x Saj : (0,184) (0,00838)
W celu zbadania istotności parametrów strukturalnych modelu weryfikujemy hipotezę
H 0 : i 0
wobec alternatywnej
H 1 : i 0
W tym celu wyznaczamy ze statystyki
aj
j i
S
a
t
t 0 dla a 0 , które wynosi :
t 0
oraz t 1 dla a 1
5 , 835 0 , 00838
0 , 0489 t 1
Z tablic rozkładu t-Studenta dla n-k stopni swobody i α = 0,05 odczytujemy: t0,05,3 = 3,182.
H 1 H 0 H 1
t t^ j 1 =-5,835^ t0=47,
Zastosujmy statystykę Durbina-Watsona. Musimy wykonać obliczenia pomocnicze, które prezentujemy w tabeli poniżej.
x yt Yt e (^) t e (^) t^2 e (^) t-1 e (^) t-1^2 e (^) t -e (^) t-1 e (^) t e (^) t-1 (e (^) t -e (^) t-1) 2 12 3400 3482,13 -82,13 6745,63 - - - - - 19 2600 2472,78 127,22 16183,88 -82,13 6745,63 209,35 -10448,47 43826, 20 2300 2354,77 -54,77 3000,17 127,22 16183,88 -181,99 -6968,10 33120, 27 1900 1672,21 227,79 51889,36 -54,77 3000,17 282,57 -12477,06 79843, 28 1400 1592,40 -192,40 37019,22 227,79 51889,36 -420,20 -43828,11 176564,
- 114838,26 - 77819,05 - -73721,74 333355,
Dla obliczenia tej statystyki musimy zastosować prezentowane już powyżej wzory
Estymator współczynnika autokorelacji r = -0,78 liczony wg wzoru:
n
t
t
n
t
t
n
t
t t
e e
ee r
2
2 1 1
2
2
1
Statystyka Durbina-Watsona d = 2,903 liczony wg wzoru:
n
t
t
n
t
t t
e
e e
d
1
2
2
2 1
Współczynnik d>2, musimy wprowadzić d^ =4-d, dla naszego przypadku d^ =0, Z tablic wartości krytycznych statystyki Durbina-Watsona, jak poprzednio dla α=0,05 oraz n= i k=2 odczytujemy odpowiednie statystyki dL =0,467 oraz du =1,897.
Testujemy hipotezę
H 0 : 0
wobec hipotezy alternatywnej
H 1 : 0
Nanieśmy nasze dane na wykres.
Z powyższego wynika, że nie możemy przyjąć żadnych z hipotez, gdyż d*^ =0,903 znajduje się w obszarze nieokreśloności, Liczebność próby jest zbyt mała, by odpowiedzieć na pytania o autokorelację Przede wszystkim w modelu tym nie występuje autokorelacja co jest również bardzo ważne przy wyborze odpowiedniej postaci funkcji analitycznej. Poniżej przedstawiamy graficzną prezentację danych oryginalnych i danych obliczonych za pomocą naszego wzoru:
Wartości orginalne Wartośći estymowane
