Pobierz Zasada zachowania energii mechanicznej i jej zastosowanie i więcej Schematy w PDF z Analiza danych tylko na Docsity!
Zasada zachowania energii mechanicznej i jej
zastosowanie
Ciało znajdujące się na wysokości 10 m ma względem poziomu, od którego liczona jest ta wysokość, pewną energię potencjalną. Gdy ciało zacznie spadać, energia ta będzie malała. Ale jednocześnie zauważymy, że ciało to będzie poruszało się coraz szybciej. To znaczy, że jego energia kinetyczna będzie rosła. A czy wiesz, co stanie się z energią mechaniczną, czyli sumą energii potencjalnej i kinetycznej?
Spadające ciało traci na wysokości, a zyskuje na prędkości. Czy więc dochodzi w nim do zamiany energii potencjalnej na kinetyczną? Czy da się proces takiej przemiany obliczyć w prosty sposób dla dowolnego przedmiotu? Odpowiedzi na te pytania doprowadzą cię do jednego z najważniejszych praw przyrody o nieograniczonych wręcz zastosowaniach
Już potrafisz
podać definicję energii jako wielkości fizycznej opisującej stan ciała lub układu ciał, które są zdolne do wykonania pracy; przedstawiać energię mechaniczną jako sumę energii potencjalnej i kinetycznej; podać definicję jednostki energii; podać definicję energii potencjalnej; obliczać energię potencjalną grawitacji względem wybranego poziomu oraz pracę potrzebną do zmiany tej energii; obliczać energię potencjalną sprężystości;
analizować zmiany energii potencjalnej w różnych zjawiskach; obliczać energię kinetyczną ciała.
Nauczysz się
formułować zasadę zachowania energii mechanicznej; analizować przemiany energii z jednej formy w drugą w spadku swobodnym i innych zjawiskach związanych ze zmianą wysokości ciała; wskazywać w swoim otoczeniu zjawiska, w których następuje przemiana energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie; stosować zasadę zachowania energii w obliczeniach.
Często obserwujesz sytuację, w której z pewnej wysokości spada piłka. Uderza ona w ziemię, odbija się i zaczyna poruszać się w górę. Jak podczas tego zjawiska zmieniają się energia potencjalna i kinetyczna?
Podczas spadania piłki maleje jej wysokość nad ziemią, zatem maleje energia potencjalna. Piłka porusza się coraz szybciej, ponieważ działa na nią siłą grawitacji – rośnie zatem energia kinetyczna. W chwili uderzenia w powierzchnię ziemi energia potencjalna jest równa zero, a kinetyczna osiąga maksymalną wartość. Po odbiciu się piłki rośnie jej wysokość nad powierzchnią ziemi, a zatem energia potencjalna. Wiesz już, że dzieje się tak, gdy wykonujesz pracę podczas podnoszenia. Ale na piłkę działa siła zwrócona w dół, a nie w górę. Piłka porusza się w górę, ponieważ ma ona energię kinetyczną i to jej kosztem następuje wzrost energii potencjalnej. Sama energia kinetyczna maleje i w punkcie osiągnięcia maksymalnej wysokości jest równa zero (piłka dalej się nie wznosi). Podczas ruchu w dół i w górę następują przemiany energii: potencjalna zamienia się w kinetyczną, a kinetyczna w potencjalną. Wysokość osiągnięta po odbiciu jest mniejsza niż wysokość początkowa. Piłka przy każdym kolejnym odbiciu osiąga coraz mniejsze wysokości.
Oznacza to, że stopniowo energia mechaniczna maleje. Podczas ruchu piłka napotyka na opór powietrza, zarówno podczas ruchu w dół, jak i w górę. Siły oporu wykonują pracę. Część energii tracona jest także w momencie odbicia.
Przeanalizujmy dokładniej zmiany energii pomiędzy dwoma wybranymi fazami ruchu. Dla uproszczenia rozważań pominiemy zmiany kształtu piłki podczas uderzenia o ziemię i odbicia.
W początkowej fazie ruchu, na wysokości energia potencjalna wynosi
. Energia kinetyczna wynosi zero (piłka się jeszcze nie porusza), a zatem
h 1 = 5 m
E 1 = m ⋅ g ⋅ h 1
Przed skokiem z wieży do wody zawodnik wspina się na wieżę, wykonując przy tym pracę. Praca ta nie znika bez śladu – dzięki niej rośnie energia potencjalna grawitacji zawodnika. Jeśli masa zawodnika wynosi i wszedł on na wysokość (nad powierzchnię wody w basenie), to jego energia potencjalna wynosi (względem tej powierzchni):
Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Źródło: Tomorrow Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Basen, woda w basenie prawie równa z krawędzią basenu. Na brzegu wieża do skoków 3 razy wyższa od zawodnika. Drabinka z wieży schodzi do wody. Zawodnik w basenie trzyma się drabinki i jest do połowy wynurzony. Zaznaczony środek masy (punkt kolorowy) zawodnika jest na poziomie wody. Po prawej stronie wieży dwa słupki. Nad słupkami napisy Ep i Ek. Zawodnik wolno zaczyna wchodzić po drabince na wieżę. Wraz ze wzrostem wysokości zawodnika nad wodą rośnie słupek Ep. Zawodnik znalazł się na szczycie wieży skoków. Słupek Ep osiąga największą wysokość (sięga do poziomu środka masy skoczka). Ek dalej zero. Nad słupkiem Ep pojawia się migający napis Ep maksymalne. Nad słupkiem Ek pojawia się napis Ek minimalne. Skoczek przechyla się przez krawędź platformy wieży i zaczyna leciec w dół, najpierw obracając się głową w dół. Słupek Ep maleje (obniża się środek masy – cały czas widoczny). Słupek Ek rośnie. Nad słupkami pojawia się napis: E = Ep + Ek = const. Skoczek jest w połowie drogi. Oba słupki są takiej samej wysokości równej połowie maksymalnej. Stopklatka. Skoczek dalej spada. Słupek Ep maleje, odpowiednio rośnie słupek Ek. Skoczek osiąga punkt, że wyciągniętymi rękami dotyka już wody. Słupek Ek prawie maksymalny, słupek Ep mały. Skoczek do połowy zanurzony, jego środek masy na poziomie wody (wystają tylko nogi). Słupek Ek maksymalny, słupek Ep zerowy. Skoczek nurkuje, zanurza się na znaczną głębokość i wypływa na powierzchnię w pewnej odległości od brzegu.
50 kg 4 m
E pot = m ⋅ g ⋅ h = 50 kg ⋅ 10 kgN ⋅ 4 m = 2 000 J
Jest to jednocześnie wartość całkowitej energii mechanicznej, ponieważ zawodnik stoi, czyli jego energia kinetyczna jest równa zero. Wartość tej energii pozostanie stała podczas całego lotu skoczka w dół. Gdy zawodnik przechyli się i zacznie spadać, jego energia potencjalna będzie maleć (maleje wysokość nad wodą). Jednocześnie rośnie prędkość, z jaką porusza się zawodnik, co oznacza, że rośnie jego energia kinetyczna. Przyrost energii kinetycznej jest w każdej chwili jego lotu równy ubytkowi energii potencjalnej. Obliczmy energię kinetyczną skoczka znajdującego się 1 metr nad powierzchnią wody. Energia potencjalna na wysokości wynosi:
Zatem energia potencjalna zmalała o i o tyle przyrosła energia kinetyczna zawodnika. Gdyby do ciała zawodnika przypięty był szybkościomierz, to ile wskazywałby on w chwili, gdy zawodnik znajdowałby się nad powierzchnią wody? Wiemy, że energia kinetyczna zawodnika wynosiła wtedy , więc korzystając ze wzoru na energię kinetyczną, możesz obliczyć:
A teraz oblicz wartość prędkości, jaką osiągnie zawodnik na chwilę przed kontaktem z wodą. Tuż nad wodą energia potencjalna skoczka zmalała do zera i zgodnie z zasadą zachowania energii energię całkowitą stanowi teraz energia kinetyczna, która w tym momencie osiąga wartość. Powtórz zatem poprzednie obliczenia, zmieniając wartość energii kinetycznej:
A co dzieje się z energią zawodnika, który zanurza się w wodzie? Na tym etapie nie jest już spełniona zasada zachowania energii mechanicznej – opór, jaki stawia woda, jest nie do pominięcia. Tym niemniej energia zawodnika nie znika bez śladu. Jej kosztem ciało zawodnika wykonuje pracę, „rozgarniając” wodę, a część tej energii zamienia się w inne rodzaje energii – energię dźwiękową (wszak słyszymy plusk) oraz energię wewnętrzną, o której będzie mowa dalej.
1 m
E pot = m ⋅ g ⋅ h = 50 kg ⋅ 10 kgN ⋅ 1 m = 500 J
1 500 J
1 500 J
E kin 1 = 12 m ⋅ v^21
1 500 J = 12 50 kg ⋅ v^21
v^21 = 60 kg^ J
v 1 = 60 m s 22 ≈ 7,
√ m s
2 000 J
E kin 1 =^12 m^ ⋅ v^21
2000 J = 12 50 kg ⋅ v^21
v^21 = 80 kg^ J
v 1 = 80 m ≈ 8,
2 s^2
√ m s
Taki skok możemy podzielić na 5 etapów:
- Etap magazynowania energii kosztem pracy: aby podskoczyć na sprężystej siatce batutu, musisz się od niego odbić. Podczas tego odbijania (naciskania na siatkę) twoje mięśnie wykonują pracę, a batut zostaje odkształcony. Dochodzi wówczas do zgromadzenia w odkształconej siatce energii w postaci energii potencjalnej sprężystości. Jest to całkowita energia mechaniczna, jaką zgromadził układ (składający się z ciebie i batutu), z którą rozpoczynasz skok.
- Etap zamiany energii potencjalnej sprężystości na energię kinetyczną: wracający do stanu równowagi batut pcha cię w górę i kosztem jego energii potencjalnej sprężystości rośnie twoja energia kinetyczna. Z chwilą gdy twoje stopy odrywają się od siatki, energia potencjalna sprężystości maleje do zera, a energia kinetyczna ma największą wartość, równą całkowitej energii mechanicznej. W rozważaniach tych dla uproszczenia opisu możesz pominąć niewielkie zmiany energii potencjalnej grawitacji podczas odbijania.
- Etap zamiany energii kinetycznej w potencjalną grawitacji: dalszy nasz lot w górę odbywa się teraz kosztem energii kinetycznej. Rośnie twoja energia potencjalna grawitacji, a energia kinetyczna maleje. W najwyższym punkcie toru lotu energia kinetyczna maleje do zera, z kolei energia potencjalna grawitacji osiąga swoją maksymalną wartość równą całkowitej energii mechanicznej.
- Etap zamiany energii grawitacyjnej w energię kinetyczną: od tego momentu rozpoczyna się twój ruch w dół. Energia grawitacji maleje, a jej kosztem rośnie energia kinetyczna.
- Etap zamiany energii kinetycznej w energię sprężystości: spadając na siatkę batutu, powodujesz jej odkształcenie – twoja energia kinetyczna przekształca się w energię potencjalną sprężystości batutu i cały proces zaczyna się od nowa.
Jeśli pominiesz opory ruchu, to przez cały ten czas suma energii kinetycznej i potencjalnej była taka sama, choć poszczególne składniki tej energii zmieniały się. Jeśli chcesz, żeby twój kolejny skok był wyższy od poprzedniego, musisz zwiększyć bilans energii mechanicznej układu, wykonując dodatkową pracę. Osiągniesz to „dokładając” energię poprzez odpowiednio zsynchronizowane, dodatkowe ruchy mięśni mające na celu silniejsze odbicie się od siatki.
Przykład 3
Ile energii potencjalnej sprężystości trzeba było zmagazynować w siatce batutu, aby dziecko o masie 30 kg podskoczyło na wysokość 0,5 m? Oblicz wartość prędkości dziecka w momencie, gdy jego stopy odrywały się od siatki. Analiza zadania i rozwiązanie:
W najwyższym punkcie toru lotu, czyli na wysokości , cała energia mechaniczna dziecka skupiona była w postaci energii grawitacyjnej i miała wartość:
m = 30 kg
h = 0,5 m
0,5 m
E pot. graw. = m ⋅ g ⋅ h = 30 kg ⋅ 10 (^) kgN ⋅ 0,5 m = 150 J = Zgłoś problem E mech^
Tyle samo wynosiła wartość całkowitej energii mechanicznej w czasie całego skoku. Oznacza to, że w chwili maksymalnego odkształcenia siatki, gdy cała energia była zgromadzona w postaci energii sprężystości, jej wartość też wynosiła dżuli. W chwili gdy stopy dziecka odrywały się od siatki, cała energia mechaniczna skupiona była w formie energii kinetycznej i też miała wartość. Korzystając ze wzoru na energię kinetyczną, możesz obliczyć prędkość dziecka:
Odpowiedź: Aby dziecko podskoczyło na wysokość , energia potencjalna sprężystości batutu musiała wynosić co najmniej. W chwili gdy dziecko odrywało stopy od siatki, jego prędkość miała wartość około. Była to największa wartość prędkości podczas tego skoku.
150 J
E kin 1 = 12 m ⋅ v^21
150J = 12 30kg ⋅ v^21
v^21 = 10 kg^ J
v 1 = 10 m s 22 ≈ 3,
√ m s
0,5 m
150 J
3,1 m s
Zwróćmy uwagę, że wiedzę o energii i prędkości dziecka czerpiemy tylko z informacji, ile miało ono energii na pewnym etapie skoku i stosując zasadę zachowania energii mechanicznej. Oczywiście możemy tak zrobić, jeśli pominiemy opory ruchu.
- W rozważanych przykładach zawsze podkreślamy, że należy pominąć opory ruchu, bo tylko wtedy spełniona jest zasada zachowania energii.
Na początku tego rozdziału, we fragmencie poświęconym wykonywaniu pracy, mogłeś przeczytać, że fizycy stosują pojęcie pracy w innym znaczeniu niż to, z którym spotykasz się na co dzień.
Praca w rozumieniu fizyki związana jest ze zmianami składników energii mechanicznej układu. Podrzucając pionowo do góry piłkę, wykonujesz pracę przeciwko siłom grawitacji, energia potencjalna piłki rośnie, a kinetyczna maleje. Gdy piłka opada, siły grawitacji wykonują pracę nad piłką. Jej energia potencjalna maleje, a energia kinetyczna rośnie. Czy jednak jest możliwe, aby na ciało działała siła i mimo to energia nie ulegała zmianie?
Przeanalizujmy przykład, w którym dziecko ciągnie pionowo w dół linkę balonika, nie pozwalając mu zmienić wysokości, na której się znajduje, i jednocześnie przesuwa się poziomo.
Czy zmienia się energia potencjalna balonu? Jeśli balonik ciągle pozostaje na tej samej wysokości w stosunku do powierzchni ziemi, to jego energia potencjalna jest cały czas taka sama. Mówimy, że zmiana energii potencjalnej jest równa zero. Siła naciągu linki skierowana jest pionowo, a zatem prostopadle do prostej, po której przesuwa się balonik.
Uważny obserwator znajdzie wiele podobnych przykładów. Niosąc ciężką walizkę, nie podnosisz jej w górę i nie opuszczasz, dzięki temu unikasz dodatkowego nakładu pracy wykonywanego Zgłoś problem^
Aby podnieść ciało na pewną wysokość i uzyskać wzrost energii potencjalnej, musimy wykonać pracę. Wiesz już, że praca ta będzie równa zmianie energii potencjalnej, czyli i. Jeżeli energia potencjalna ciała będzie rosła, to praca będzie dodatnia, a gdy ta energia będzie malała – praca będzie ujemna. Z punktu widzenia fizyka praca jest różna od zera, gdy następuje zmiana energii kinetycznej bądź potencjalnej ciała. Wynosi ona zero wtedy, gdy zmiana energii nie następuje. Czyli praca dla fizyka jest równa zmianie energii potencjalnej, kinetycznej lub ogólnie zmianie energii mechanicznej. To, co zapisaliśmy powyżej, w pełni uzasadnia sformułowane na początku rozdziału zasady zachowania energii mechanicznej. Jeżeli na ciało lub układ ciał nie działa siła zewnętrzna bądź praca jest równa zero, to energia mechaniczna ciała albo układu ciał nie zmienia się.
E pot = E pot końcowa – E pot początkowa W = E pot
Ćwiczenie 1
Źródło: Helena Nazarenko-Fogt [email protected], licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2
Źródło: Helena Nazarenko-Fogt [email protected], licencja: CC BY 3.0.
Przykład 4
Kulkę wyrzucono pionowo w górę z prędkością początkową o wartości. Obliczamy
maksymalną wysokość, na jaką może wznieść się kulka. Analiza danych:
W tym zadaniu nie interesuje nas sam proces wyrzucania kulki, tylko jej lot od momentu, kiedy straciła kontakt z ręką rzucającego.
Dla uproszczenia opisu przyjmujemy, że w momencie startu energia potencjalna kulki wynosiła zero. Jest to dopuszczalne, jeżeli punkt, na którym znajdowała się ręka rzucającego, uznamy za wysokość zerową. W takiej sytuacji w momencie startu kulka miała jedynie energię kinetyczną, co oznacza, że całkowita energia początkowa kulki wynosiła:
Lecąca w górę kulka traciła energię kinetyczną, ale zyskiwała potencjalną grawitacji. W najwyższym punkcie lotu energia kinetyczna zmalała do zera, a całkowita energia końcowa zgromadziła się w postaci energii potencjalnej, czyli:
2 m s
v = 2 m s
h max =?
( E pot + E kin )pocz. = 0 + 12 m ⋅ v^2 = 12 m ⋅ v^2
( E pot + E kin )końc. = m ⋅ g ⋅ h max + 0 = m ⋅ g ⋅ h max
Jeśli pominiemy opór powietrza, to spełniona jest zasada zachowania energii, czyli:
Odpowiedź: Maksymalna wysokość, na jaką może się wznieść się kulka, wynosi.
( E pot + E kin )pocz. =( E pot + E kin )końc.
0 + 12 m ⋅ v^2 = m ⋅ g ⋅ h max+ 0
12 m ⋅ v 2 = m ⋅ g ⋅ h max/ m
12 v 2 = g ⋅ h max/ g
h max = v = = 0,2 m
2 2 g
( 2 m s)^2 2⋅10 (^) sm 2
20 cm
Zwróćmy uwagę, że do rozwiązania tego zadania niepotrzebna jest znajomość masy kulki. Oznacza to, że dowolne ciało wyrzucone do góry z prędkością wzniesie się na wysokość
. Słowo „dowolne” zawiera jednak pewne ograniczenia. Dotyczy to ciał, w przypadku których możemy pominąć opór powietrza.
2 m s
20 cm
Podsumowanie
Zasada zachowania energii mechanicznej ma charakter empiryczny, to znaczy, że została sformułowana jako wniosek z bardzo wielu doświadczeń. Zasada zachowania energii mechanicznej głosi, że jeśli siły zewnętrzne nie wykonują pracy nad układem ciał i na składniki układu nie działają siły tarcia lub oporu ośrodka, to energia mechaniczna układu pozostaje stała. To znaczy, że energia kinetyczna i potencjalna składników układu mogą się zmieniać, ale ich suma pozostaje niezmieniona. Można to zapisać równaniem:
Zasada zachowania energii mechanicznej ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala w łatwy i prosty sposób obliczyć lub przynajmniej oszacować niektóre wielkości opisujące układ ciał w różnych procesach.
( E pot + E kin )pocz. =( E pot + E kin )końc.
Praca domowa
Polecenie 2
Doniczka o masie spada z wysokości. Oblicz wartość energii kinetycznej doniczki na wysokości 1 metra.
2 kg 6 metrów
Polecenie 3
Opisz przemiany energii zachodzące przy wypuszczeniu strzały z łuku pionowo do góry. Podziel całe zjawisko na etapy, zaczynając od naciągnięcia cięciwy łuku, a kończąc na etapie powrotu strzały na poziom, z którego została wystrzelona.
Ćwiczenie 3
Źródło: Helena Nazarenko-Fogt [email protected], licencja: CC BY 3.0.
