Pobierz Zasada zachowania energii - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wstęp
Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że
W = ∆ Ek
Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypad- kową: F = F 1 + F 2 + F 3 +.......+ F n. Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykona- nych przez poszczególne siły: W = W 1 + W 2 + W 3 +...........+ W n. Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać
W 1 + W 2 + W 3 +...........+ W n =∆ Ek
Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają różne siły, pozwoli to na de- finiowanie różnych rodzajów energii.
8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozważmy przykładów dwóch rodzajów sił: sił zachowawczych i sił nie- zachowawczych.
V
Najpierw rozpatrzmy sprężynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu. Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku. Założenia:
- ruch na płaszczyźnie odbywa się bez tarcia,
- sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a: F = - kx , gdzie F jest siłą wy- wieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość x ,
- masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała ener-
a maleje aż
gia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele. Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczn do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania pracy kosztem jego ruchu (kosztem Ek ). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Siła sprężysta wywiera- na przez idealną sprężynę jest zachowawcza. Inne siły, działają także w ten sposób, np.
siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą samą prędkością i energią kinetyczną. Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początko-
alnie gładka, że
ać zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje ta s z tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy spr
y tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia jest m mate-
siłami niezachowawczy-
W AB ,1 + W BA ,2 = 0
o droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej
W (^) AB ,1 = - W (^) BA ,
le gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to, ponieważ
wego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to, że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą. Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest ide mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podob- nie) są niezachowawcze. Możemy przeanalizow iła nad punktem materialnym. W pierwszym przykładzie (be ężyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemiesz- czenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą się praca jest dodatnia (siła i przemiesz- czenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprę- żystą (siłę wypadkową) jest równa zero. W drugim przykładzie (uwzględniam ujemna dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi). Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punkte rialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest nie- zachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który po- rusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru. Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między
A
B
A
B
mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z B do A po innej (2) (patrz rysunek). Jeżeli siła jest zachowawcza to
b
A
Stąd
x
x
Ep W F x x 0
( )d (8.2)
Możemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną
x
F x p d
d E ( x ) (8.3)
rzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć ∆ Ep a nie Ep samą. Po-
x
unkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby
T
nieważ ∆ Ep = EpB – EpA. Żeby znaleźć EpB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość EpA
pA x
E pB = ∆ Ep + EpA =−∫ F x x + E
0
( )d
P
Ep było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).
Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych
F ( y ) = - mg
jest stała. Przyjmujemy, że dla y = 0, Ep (0) = 0.
y y
Sprawdzenie
- grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi) Ruch wzdłuż osi y
F
Wtedy
Ep y = − ∫ F y y + Ep =−∫ − mg y = mgy
0 0
( ) ( )d ( 0 ) ( )d
mg y y
F = − p^ =− =− d d
d E ( y ) d( mgy )
energia potencjalna sprężyny
F ( x ) = - kx
rzyjmujemy dla x = 0, Ep (0) = 0.
Ruch wzdłuż osi x
P
Wtedy
( )d
2
0
kx E kx x
x
p =^ −∫ − =
Sprawdzenie:
kx x
kx
x
E x F p^ =−
d
d
d
d ( )
2
8.3.1 Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego
W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawita- cyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała. Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną masy m znajdującej się w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi. Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu A do stanu B możemy zapisać jako
∆ E (^) p = EpB − EpA =− W AB
skąd E (^) pB =− WAB + E pB
Żeby policzyć energię potencjalną w punkcie B musimy znać energię potencjalną w punkcie odniesienia A i policzyć pracę WAB. Dla masy m znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, że Ziemia i masa m znajdują się od siebie w nieskończonej odległości. Temu położeniu ( r Æ ∞) przypisujemy zerową ener- gię potencjalną, EpA = 0. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odnie- sienia
Ep ( r )= − W ∞ r + 0
Musimy teraz obliczyć pracę − W ∞ r. Ponieważ znamy siłę
r^2
M m F = − G Z
to możemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)
Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału dostatecznie dużej energii kinetycz- nej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna będzie malała w trakcie oddalania się, a potencjalna rosła. Przykład 2 Teraz spróbujemy obliczyć jaką prędkość należy nadać obiektowi na Ziemi aby uciekł on z Ziemi na zawsze. Praca potrzebna na przeniesieni ciała o masie m z powierzchni Ziemi do nieskończono- ści wynosi Ep ( RZ ) = - GMZm / RZ
Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału energii kinetycznej większej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna będzie malała w trakcie oddala- nia się ciała, a potencjalna rosła. Krytyczna prędkość początkowa v 0 (prędkość uciecz- ki) dana jest wzorem
km s R
M
czyli G R
M m m G Z
Z Z
Z , 2 11. 2
0
2 v 0 = v = ≅
Oczywiście pominęliśmy inne siły jak siły grawitacyjne wywierane przez Księżyc czy Słońce itp. Ta prędkość ucieczki nosi nazwę drugiej prędkości kosmicznej. Natomiast pierwszą prędkością kosmiczną nazywamy najmniejszą możliwą prędkość jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół Ziemi. Na poruszający się po orbicie obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodko- wa. Siły te mają przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równoważą się
r^2
M m G r
m (^) Z
v^2
i stąd znajdujemy
r
GM Z
v =
Pierwszej prędkości kosmicznej odpowiada orbita o promieniu r równym w przybliże- niu promieniowi Ziemi R. Dla r = R otrzymujemy wartość v = 7.9 km/s.
8.4 Zasada zachowania energii
Gdy działają siły zachowawcze to
W = ∆ Ek = EkB – EkA oraz W = -∆ Ep = - ( EpB – EpA ) więc
- ( EpB – EpA ) = EkB – EkA czyli EkA + EpA = EkB + EpB (8.7)
Równania (8.1, 8.4) nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej. Mówi ona, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia potencjalna jest równa Ep, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie działają inne siły).
Przykład 3 Asekuracja wspinacza w górach. Wspinacz dobiera sobie linę, której wytrzymałość na zerwanie jest 25 razy większa niż jego własny ciężar ( Fliny = 25 mg ). Lina (nylonowa) podlega prawu Hooke'a aż do zerwania, które następuje gdy lina wydłuży się o 25% w stosunku do długości początkowej. Czy wyposażony w taką linę wspinacz przeżyje spadek (niezależnie od wysokości)?
pnkt. ubezpieczenia
ubezpieczaj¹ cy
wspinacz
l
h
W
S
Ponieważ Fliny = k (0.25 l ) więc 25 mg = k (0.25 l ) skąd k = 25 mg /0.25 l czyli k = 100 mg / l
Przed spadkiem (punkt W)
Epw = mg ( h + l )
Po spadku (punkt S)
Eps = mg ( h - l - y ) + ky^2 /
Fwyp = Fzew + FZ + FNZ
Z twierdzenia o pracy i energii wynika, że praca wykonana przez siłę wypadkową jest równa zmianie energii kinetycznej.
Wzew + WZ + WNZ =∆ E k
co jest równoważne Wzew - ∆ Ep - ∆ U = ∆ Ek czyli Wzew = ∆ Ek + ∆ Ep + ∆ U (8.8)
Z równania (8.5) wynika, że każda praca wykonana na ciele przez czynnik zewnętrzny równa się wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost energii wewnętrznej. Cała energia została zarejestrowana. Mamy obejmujące wszystko zachowanie energii (całkowitej). Wynika z niego, że energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie mo- że być wytwarzana ani niszczona ; energia całkowita jest wielkością stałą. Przykład 4 Energia i biologia. Przykładowo, na wykładzie z fizyki osoby śpiące zużywają energię w tempie około 80 J/s, a osoby uważające ok. 150W. Łagodne ćwiczenia 500 W intensywne 1000 W ale tylko 100 W na zewnątrz ciała jako energia mechaniczna (Człowiek może wykonywać pracę mechaniczną tylko z mocą 100 W). Jak długo trzeba ćwiczyć (np. gimnastyka łagodna 500W) aby stracić (spalić) 500 g tłuszczu? Tłuszcz zawiera ok. 40000 J/g. Stąd 500 g tłuszczu zawiera 2·10^7 J. Ponieważ P = E / t więc t = E / P = 2·10^7 J/ 500W = 11 h Ile kalorii musi zawierać pożywienie aby utrzymać się przy życiu? Minimalna moc 80 W (sen), 150 W gdy się nie śpi, średnio 110 W. E = Pt = 110W·24·3600s = 9.5·10^6 J Ponieważ 1 kilokaloria = 4180 J więc E = 2260 kcal (często mylona z cal). Przykład 5 Energia i samochód. Samochód jedzie z prędkością 100 km/h i zużywa 8 litrów benzyny na 100 km. Jaka moc jest potrzebna do utrzymania tej stałej prędkości? 1 litr benzyny - 3.7·10^7 J więc P = (8·3.7·10^7 J)/(3600s) = 7·10^4 W = 70 kW. Dla porównania w mieszkaniu zużywamy około 1 - 1.5 kW energii elektrycznej. Samochód zużywa kilkadziesiąt razy więcej.
