Pobierz Zasada zachowania pędu - Notatki - Fizyka - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 9
9. Zasada zachowania pędu
9.1 Środek masy
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bez- wymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postę- powego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
- ciało może wirować lub drgać.
- w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Zajmiemy się ruchem tego punktu. Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka o różnej masie. W jednej mamy n 1 jabłek, każde o masie m 1 , w drugiej n 2 , każde o ma- sie m 2. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
2 1 2
2 1 1 2
1 śred. (^) n n m
n m n n
n m
czyli
1 2
1 1 2 2 śred. (^) n n
nm nm m
To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe. Natomiast środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czyn- nikiem ważącym przy tworzeniu średniej. Np. dla dwóch różnych mas m 1 i m 2
xœrm
m 1 m 2 x (^1) x2 x
y
2 1 2
2 1 1 2
(^1) x m m
m x m m
m xśrm
czyli
1 2
11 2 2 m m
mx mx xśrm
Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
=
= (^) n
i
i
n
i
i i
n
n n śrm m
mx
m m m
mx mx mx x
1
1 1 2
11 2 2 .....
ponieważ suma m M jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
n
i
∑ i =
= 1
=
n
i
Mxś (^) rm mixi 1
Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postę- pując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej. Otrzymamy więc
=
= (^) n
i
i
n
i
i i
n
n n śrm m
mx
m m m
mx mx mx x
1
1 1 2
11 2 2 .....
oraz
=
= (^) n
i
i
n
i
i i
n
n n śrm m
my
m m m
my my m y y
1
1 1 2
1 1 2 2 .....
lub M v śrm = m 1 v 1 + m 2 v 2 +.....+ m n v n
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
t
m t
m t
m t
M śrm n n d
d ...... d
d d
d d
d (^2) 2
1 1
v v v v = + + +
lub M a śrm = m 1 a 1 + m 2 a 2 + .......+ m n a n
czyli M a śrm = F 1 + F 2 + ...........+ F n
Wobec tego możemy napisać
M a śrm = F zew (9.2)
Z równania (9.2) wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały. To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
- Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
- Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Uwaga: Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości. W roz- ważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają. Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob- liczmy Ek mierzone w układzie środka masy.
, , ,
= ∑^ i =^ ∑ i śrm + iwzg śrm + iwzg
kcalkowita
m m E
vi^2 v v v v
gdzie vwzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymamy
= ∑^ + +∑
2 , ,
2 ,
i i wzg śrm śrm i iwzg
i kcalkowita
m m
m E
v v v v
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy pręd- kość środka masy ( M v śrm = m 1 v 1 + m 2 v 2 +.....+ m n v n). W układzie środka masy, w któ- rym mierzymy, v śrm = 0 więc drugi wyraz znika. Zatem
'
2
2 k
śrm kcalkowita E
M
E = +
v
gdzie Ek '^ jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych to równanie przyjmuje postać
'
2 2 rot
śrm kcalkowita E
M
E = +
v
gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obro- tową). Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v.
v
Jaka jest energia kinetyczna obręczy?
2 (^2) rot , wzg kcalkowita
m m E
v v = +
gdzie vrot,wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc vrot,wzg = v. Stąd
2
2 2 2 2
v
v v m
m m E (^) kcalkowita = + =
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).
9.3 Pęd układu punktów materialnych
Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
d t
d p F =
Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n punktów materialnych o masach m 1 , ......, m n. Zakładamy, że masa układu ( M ) pozostaje stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia
między elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był rów- ny zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pę- du ciała A (porusza się w kierunku + x ) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku
- x ). Z zasady zachowania pędu
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = mA v A + mB v B Zatem mB v B = - mA v A lub v A = – mB v B/mA
Np. gdy mA = 2kg i mB = 1kg to v A jest równa połowie v B i ma zwrot przeciwny.
Przykład 4 Ta sama zasada obowiązuje w fizyce jądrowej i atomowej. Jako przykład rozpatrzmy rozpad promieniotwórczy. Cząstka α (jądro atomu helu) emitowana jest z prędkością 1.4·10^7 m/s i z energią kinetyczną 4.1 MeV przez jądro uranu 238, pozostające począt- kowo w spoczynku. Znaleźć prędkość odrzutu powstałego jądra toru 234. Jako układ rozpatrujemy jądro toru 234 + cząstkę α (przed rozpadem po prostu jądro uranu 238). Ze względu na nieobecność sił zewnętrznych pęd układu, który przed roz- padem był równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = M α v α + MThvTh więc vTh = - M α v α /MTh = - 4·1.4·10^7 /234 = -2.4·10^5 m/s
