Pobierz Zasada zachowania pędu - Notatki - Fizyka - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 10
10. Zasada zachowania pędu II
10.1 Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się ukła- dami, których masa zmienia się podczas obserwacji. Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek po- niżej).
m
v
vs
dm s
Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością v s względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v , zatem prędkość spalin względem ra- kiety v wzg. jest dana zależnością
v wzg l = v s – v (10.1)
Jeżeli w pewnym przedziale czasowym d t z rakiety wyrzucona zostaje masa d ms z pręd- kością v 0 to masa rakiety maleje o d m a jej prędkość rośnie o d v , przy czym
t
m t
m (^) s d
d d
d = − (10.2)
Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu
t t t
rakiety spalin d
d d
d d
d P p p = +
t
m t
m t s s d
d d
d( ) d
d P = v (^) + v
t
m t
m t
m t
s s (^) d
d d
d d
d d
d v v
v = + +
P
Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ.
Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do po- staci
t
m t
m t
s zew wzgl d
d d
d d
F = d^ p = v^ + v (10.4)
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę siły ciągu. Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne F zew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas F zew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć F zew. Np. rakieta Saturn 5 o masie ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN. Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000 kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów wzglę- dem rakiety jest równa 1500 m/s.
t
M
F (^) wzgl d
d = v
więc F = 1500 m/s·150 kg/s = 2.25·10^5 N
Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skiero- wana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·10 5 N minus ciężar rakiety (1.5·10 5 N). Po zu- życiu paliwa wynosi 2.25·10^5 N - 0.5·10 5 N = 1.75·10 5 N.
10.2 Zderzenia
10.2.1 Wstęp
Co rozumiemy poprzez zderzenie? Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazy- wamy siłami impulsowymi. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "doty- kać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa ( 4 He) z jądrem jakiegoś pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym. Pod zderzenia możemy podciągnąć również reakcje. Proton w trakcie zderzenia z ją- drem może wniknąć do niego. Wreszcie możemy rozszerzyć definicję zderzeń o rozpa- dy cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron: Σ = π-^ + n. Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:
o procesach na
- można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
- prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wie- my o siłach "podczas" zderzenia.
Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy założeniu v 1 ≠ u 1 i v 2 ≠ u 2 )
v 1 + u 1 = v 2 + u 2 a po uporządkowaniu
v 1 - v 2 = u 2 - u 1 (10.9)
Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się czą- stek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu. Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znaleźć u 1 i u 2. Wystarczą więc dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 v^^2 v
m m
m m m
u m m (10.10)
oraz
2 1 2
1 2 1 1 2
2 2 1 v^ v
m m
m m m m
u m (10.11)
Rozpatrzmy kilka interesujących przypadków:
- m 1 = m 2 wtedy u 1 = v 2 oraz u 2 = v 1 czyli cząstki wymieniły się prędkościami.
- v 2 = 0 wtedy
1 1 2
1 2 (^1) v
m m
m m u oraz (^1) 1 2
1 2
v
m m
m u
- jeżeli jeszcze dodatkowo m 1 = m 2 wtedy u 1 = 0 oraz u 2 = v 1 (wymiana prędkości)
- natomiast gdy m 2 >> m 1 to wtedy: u 1 ≅ – v 1 oraz u 2 ≅ 0 Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cząstki lekkiej z bardzo ciężką (spoczywają- cą) np. piłka uderza o ścianę.
- wreszcie sytuacja odwrotna m 2 << m 1. Wtedy u 1 ≅ v 1 oraz u 2 ≅ 2 v 1. Prędkość cząstki ciężkiej (padającej) prawie się nie zmienia. Np. Neutrony w reaktorze muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepie- nia. W tym celu zderzamy je z sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie
tracąc nic z prędkości. Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie np. elektro- ny to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości. Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutro- nów. Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana. Różnica pomiędzy energią kinetyczną początkową i końcową przechodzi np. w ciepło lub energię potencjalną deformacji. Przykład 1 Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron ( m 1 ) w zderzeniu centralnym z jądrem atomowym ( m 2 ) będącym w spoczynku?
Początkowa energia kinetyczna: 2
2 1 1 1
m v E (^) k =
Końcowa energia kinetyczna: 2
2 11 2
m u E (^) k =
Względne zmniejszenie energii kinetycznej:
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1 1
v v
v u u E
E E
k
k − k = − = −
Ponieważ dla takiego zderzenia:
1 1 2
1 2 (^1) v
m m
m m u
więc
2 1 2
1 2
2
1 2
1 2 1
1 2 ( )
m m
mm m m
m m E
E E
k
k k
- dla ołowiu m 2 = 206 m 1 więc 0. 02 ( 2 %) 1
k
k k E
E E
- dla węgla m 2 = 12 m 1 więc 0. 28 ( 28 %) 1
k
k k E
E E
- dla wodoru m 2 = m 1 więc 1 ( 100 %) 1
k
k k E
E E
Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal- niaczem (a nie ołów). Przykład 2 Wahadło balistyczne. Służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się z bloku drewnianego o masie M , wi- szącego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m , mający prędkość poziomą v , wbija się w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiącym w nim pociskiem) wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h.
