Równania ró»niczkowe
Lista 0
Zasady Dynamiki Newtona
Zasada I
Je»eli na ciaªo nie dziaªa »adna siªa lub dziaªaj¡ce siªy równowa»¡ si¦, to ciaªo pozostaje w
spoczynku lub porusza si¦ ruchem jednostajnym prostoliniowym, czyli innymi sªowy
a= 0
gdzie
a
jest warto±ci¡ przy±pieszenia ciaªa.
Zasada II
Gdy siªy dziaªaj¡ce na ciaªo nie równowa»¡ si¦, to ciaªo porusza si¦ ruchem zmiennym.
Kierunek i zwrot przyspieszenia
~a
s¡ zgodne z kierunkiem siªy wypadkowej
~
F
, a warto±¢
a
jest wprost proporcjonalna do warto±ci siªy
F
i odwrotnie proporcjonalna do masy
m
ciaªa:
a=F
m
Zasada III
Je±li ciaªo
A
dziaªa na ciaªo
B
siª¡
~
F
, to ciaªo
B
dziaªa na ciaªo
A
siª¡
−~
F
(tj. siª¡ o takiej
samej warto±ci i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie).
Zad 1.
Niech
x=x(t)
oznacza poªo»enie punktu materialnego
M
na prostej
Ox
w czasie
t
. Korzystaj¡c z drugiej zasady dynamiki Newtona wyznaczy¢ ró»niczkowe równanie ruchu
dla punktu
M
o masie
m
, który porusza si¦ pod dziaªaniem siªy, której miar¡ na osi
Ox
jest
warto±¢
F=F(t)
.
Zad 2.
Znale¹¢ równanie ró»niczkowe opisuj¡ce zale»no±¢ mi¦dzy czasem
t
a pr¦dko±ci¡
v
swobodnie spadaj¡cego ciaªa o masie
m
, przyjmuj¡c »e opór powietrza jest wprost propor-
cjonalny do kwadratu pr¦dko±ci.
Zad 3.
W my±l prawa odkrytego przez Newtona pr¦dko±¢ stygni¦cia ciaªa jest wprost pro-
porcjonalna do ró»nicy mi¦dzy temperatur¡ ciaªa
T
a temperatur¡ otoczenia
T0
. Znale¹¢
równanie ró»niczkowe opisuj¡ce zale»no±¢
T
od czasu
t
.
Zad 4.
Rozpatrzmy reakcj¦ chemiczn¡ zachodz¡c¡ mi¦dzy substancjami
A
i
B
, których
ilo±ci pocz¡tkowe oznaczymy przez
a
i
b
. Zakªadaj¡c, »e w skutek reakcji chemicznej po
czasie
t
spalana jest taka sama ilo±¢
x
substancji
A
i
B
oraz przyjmuj¡c, »e pr¦dko±¢ reakcji
chemicznej jest wprost proporcjonalna do iloczynu obu wchodz¡cych w reakcj¦ substancji
wyznaczy¢ równanie ró»niczkowe na
x
.
Zad 5.
Wyznaczy¢ równanie ró»niczkowe opisuj¡ce rodzin¦ krzywych, w których tangens
k¡ta mi¦dzy styczn¡ a dodatnim kierunkiem osi
Ox
jest odwrotnie proporcjonalny do rz¦dnej
punktu styczno±ci.
Zad 6.
Wyznaczy¢ równanie ró»niczkowe opisuj¡ce rodzin¦ krzywych, których suma dªugo-
±ci odcinków stycznej i podstycznej jest proporcjonalna do iloczynu wspóªrz¦dnych punktu
styczno±ci.
Obja±nienie: Je±li
l
oznacza prost¡ styczn¡ do danej krzywej w punkcie
(x, y)
, to przez
odcinek stycznej
rozumiemy odcinek ª¡cz¡cy punkt
(x, y)
z punktem przeci¦cia prostej
l
z
osi¡
Ox
.
Podstyczn¡
, lub te»
odcinkiem podstycznej
nazywamy odcinek ª¡cz¡cy punkt
(x, 0)
z punktem przeci¦cia si¦
l
z osi¡
Ox
.
docsity.com