Przygotuj się do egzaminów
Zdobądź punkty
Informacje i wskazówki

Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity

Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium

Informacje i wskazówki

Sprzedaj na Docsity

Zaloguj się Zarejestruj się

Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity

Znajdź dokumenty

Przygotuj się do egzaminów dzięki dokumentom udostępnionym na Docsity przez studentów, takich jak ty

Szukaj dokumentów Store

Najlepsze dokumenty w sprzedaży, umieszczone przez studentów, którzy ukończyli studia

Przeszukaj wszystkie materiały do nauki

Docsity AINEW

Streszczaj swoje dokumenty, zadawaj im pytania, przekształcaj je w quizy i mapy myśl

Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium

Udostępniaj dokumenty

20 Punktów

Za każdy zamieszczony dokument

Wszystkie sposoby na zdobycie darmowych punktów

Zdobądź punkty już teraz

Wybierz plan Premium z odpowiednią dla Ciebie ilością punktów

Możliwości studiowania

Wybierz swój przyszły program studiów

Dotrzyj do najlepszych uniwersytetów na świecie już teraz. Szukaj wśród tysięcy uczelni i oficjalnych partnerów

Społeczność

Ranking uczelni

Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity

Bezpłatne poradniki

Nasze e-booki ratujące uczniów i studentów!

Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań z Matematyki, Publikacje z Matematyka

Państwowa Wyższa Szkoła Techniczno-Ekonomiczna im. ks. Bronisława Markiewicza w Jarosławiu Matematyka

Egzamin maturalny z matematyki. ... osób ze stwierdzoną dyskalkulią – matura z matematyki, poziom podstawowy, termin główny 2022.

Typologia: Publikacje

2022/2023

Załadowany 24.02.2023

Misio_88 🇵🇱

4.7

(136)

367 dokumenty

1 / 34

Ta strona nie jest widoczna w podglądzie

Nie przegap ważnych części!

Rodzaj dokumentu:

Zasady oceniania rozwiązań

zadań

Egzamin:

Egzamin maturalny

Przedmiot:

Matematyka

Poziom:

Poziom podstawowy

Formy arkusza:

EMAP-P0-100-2205 (wersje arkusza: A i B),

EMAP-P0-200-2205, EMAP-P0-300-2205,

EMAP-P0-400-2205, EMAP-P0-600-2205,

EMAP-P0-700-2205, EMAP-P0-Q00-2205

Termin egzaminu:

5 maja 2022 r.

Data publikacji

dokumentu:

28 czerwca 2022 r.

Dokumenty powiązane

Zasady oceniania rozwiązań zadań

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań Maturalnych z Biologii Poziomu Rozszerzonego

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań z Języka Polskiego na Egzaminie Ósmoklasisty

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań z Języka Francuskiego na Egzaminie Ósmoklasisty

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań z Języka Angielskiego na Próbnym Egzaminie Ósmoklasisty

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań Maturalnych z Języka Polskiego - Poziom Podstawowy

Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań z Biologii na Poziomie Rozszerzonym - Matura 2016

Język polski, poziom podstwowy - zasady oceniania zadań

Egzamin matematyka z matematyki. Zadania nie rozwiązane

Matura z chemii, poziom rozszerzony, rok 2018

Język kaszubski, poziom rozszerzony - egzamin maturalny

Ffilozofia, poziom rozszerzony - egzamin maturalny

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Zasady Oceniania Rozwiązań Zadań z Matematyki i więcej Publikacje w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Rodzaj dokumentu:

Zasady oceniania rozwiązań

zadań

Egzamin: Egzamin maturalny

Przedmiot: Matematyka

Poziom: Poziom podstawowy

Formy arkusza:

EMAP-P0- 100 - 2205 (wersje arkusza: A i B),

EMAP-P0- 200 - 2205 , EMAP-P0- 300 - 2205 ,

EMAP-P0- 400 - 2205 , EMAP-P0- 600 - 2205 ,

EMAP-P0- 700 - 2205 , EMAP-P0-Q 00 - 2205

Termin egzaminu: 5 maja 2022 r.

Data publikacji dokumentu:

28 czerwca 2022 r.

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r. Uwaga: Gdy wymaganie egzaminacyjne dotyczy treści z III etapu edukacyjnego – dopisano „G”. ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022^1 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 1.3) posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A B Zadanie 2. (0–1) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: G1. 6 ) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B D (^1) Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID- 19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r. Zadanie 5. (0–1) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 1.4) oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A A Zadanie 6. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: G7.6) rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C Zadanie 7. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:

3 ) rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C B

Zasady oceniania rozwiązań zadań Zadanie 8. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający:

6 ) korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań […]. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C D Zadanie 9. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: G8. 3 ) odczytuje z wykresu funkcji: wartość funkcji dla danego argumentu […]. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C Zadanie 10. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 4.4) na podstawie wykresu funkcji

𝑦 = 𝑓(𝑥)^ szkicuje wykresy funkcji

𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎), 𝑦 = 𝑓(𝑥)^ + 𝑎 […].

Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Zasady oceniania rozwiązań zadań Zadanie 13. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: 5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D B Zadanie 14. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Modelowanie matematyczne. Zdający:

5.3) stosuje wzór na 𝑛–ty wyraz […] ciągu

arytmetycznego. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D Zadanie 15. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe III. Modelowanie matematyczne. Zdający:

5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu

geometrycznego. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A A

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r. Zadanie 16. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 6.3) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:

sin^2 𝛼 + cos^2 𝛼 = 1 […] oraz

sin(90° − 𝛼)^ = cos 𝛼.

Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D A Zadanie 17. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający: 7.1) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B D

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r. Zadanie 21. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 8.1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty […]. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B C Zadanie 22. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 8.2) bada […] prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B C C Zadanie 23. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A B

Zasady oceniania rozwiązań zadań Zadanie 24. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 8.6) oblicza odległość dwóch punktów. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B A D Zadanie 25. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: G11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa prostego […]. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B B A Zadanie 26. (0– 1 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Zdający: G11.2) oblicza pole powierzchni […] ostrosłupa. Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Rozwiązanie – wersja A Rozwiązanie – wersja B D C

Zasady oceniania rozwiązań zadań ZADANIA OTWARTE Uwagi ogólne:

Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania.
Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym zapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę punktów.
Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może

otrzymać co najwyżej (𝑛 − 1 ) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do

uzyskania liczbą punktów za dane zadanie). Zadanie 29. (0– 2 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający: 3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą. Zasady oceniania Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.

Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 16.

Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 16 ≥ 0.

Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt gdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu

kwadratowego 3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 16 : 𝑥 1 = − 2 oraz 𝑥 2 =

Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 2 pkt gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi etap rozwiązania, tj.:

zapisze zbiór rozwiązań nierówności: (−∞, − 2 ⟩^ ∪ ⟨

, +∞)^ lub

𝑥 ∈ (−∞, − 2 ⟩^ ∪ ⟨

ALBO

przedstawi zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r. Uwagi:

Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie

obliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe

rozwiązanie.

Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.

3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 9 ) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 9 ≥ 0 ), to

oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎 + 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są

liczbami wymiernymi.

Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi

końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥 ∈ (−∞, − 2 ) ∪ (

, +∞), to otrzymuje 1 punkt za

całe rozwiązanie. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności

w postaci (−∞,

⟩ ∪ ⟨− 2 , −∞), to otrzymuje 2 punkty.

Przykładowe pełne rozwiązanie Pierwszy etap rozwiązania

Zapisujemy nierówność w postaci 3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 16 ≥ 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu

3 𝑥^2 − 2 𝑥 − 16.

Obliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 196 i stąd 𝑥 1 = − 2 oraz 𝑥 2 =

ALBO

podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:

𝑥 1 = − 2 oraz 𝑥 2 =

Drugi etap rozwiązania

Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (−∞, − 2 ⟩ ∪ ⟨

, +∞) lub 𝑥 ∈ (−∞, − 2 ⟩ ∪ ⟨

lub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r. Sposób 2.

Korzystamy ze wzoru na 𝑛 −ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty

wyraz tego ciągu:

gdzie 𝑟 oznacza różnicę ciągu.

Podstawiamy 𝑎 1 = − 1 oraz 𝑎 4 = 8 i otrzymujemy równanie 8 = − 1 + 3 𝑟, skąd 𝑟 = 3.

Sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru

Obliczamy setny wyraz ciągu (𝑎𝑛):

Zatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 31. (0– 2 ) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymaganie szczegółowe V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający:

1 ) używa wzorów skróconego mnożenia na (𝑎 ± 𝑏)^2 […]. Zasady oceniania Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt gdy:

przekształci nierówność

𝑎^2 +𝑏

do postaci równoważnej (𝑎 − 𝑏)^2 > 0

lub 𝑎^2 + 𝑏^2 > 2 𝑎𝑏 (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci

wyciągnie wniosek ALBO

wykorzysta założenie 𝑎 ≠ 𝑏 (lub równoważnie (𝑎 − 𝑏)^2 > 0 ) i zapisze

𝑎^2 + 𝑏^2 > 2 𝑎𝑏 (dla sposobu 2.),

ALBO

wykorzysta założenie 𝑎 ≠ 𝑏 oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi: kwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.). Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn.
spełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz sformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie

Zasady oceniania rozwiązań zadań ALBO

spełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz doprowadzi nierówność do postaci tezy, ALBO
w sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią arytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności

𝑎^2 +𝑏

2 dla każdych liczb

rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎 ≠ 𝑏.

Uwaga :

Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to

otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób 1. Przekształcamy równoważnie nierówność

𝑎^2 +𝑏

2 :

𝑎^2 + 𝑏^2

𝑎^2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏^2

2 𝑎^2 + 2 𝑏^2 > 𝑎^2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏^2

𝑎^2 − 2 𝑎𝑏 + 𝑏^2 > 0

(𝑎 − 𝑏)^2 > 0

Z założenia wiadomo, że 𝑏 ≠ 𝑎, więc (𝑎 − 𝑏)^2 jest liczbą dodatnią jako kwadrat liczby

rzeczywistej 𝑎 − 𝑏 różnej od zera. Ponieważ nierówność (𝑎 − 𝑏)^2 > 0 jest prawdziwa,

więc nierówność

𝑎^2 +𝑏

2 również jest prawdziwa. To należało pokazać. Sposób 2. (od założenia do tezy)

Z założenia wiadomo, że 𝑎 ≠ 𝑏, zatem różnica 𝑎 − 𝑏 ≠ 0. Stąd wynika, że (𝑎 − 𝑏)^2 jest

liczbą dodatnią. Nierówność (𝑎 − 𝑏)^2 > 0 jest równoważna nierówności

𝑎^2 + 𝑏^2 > 2 𝑎𝑏

Zauważmy teraz, że tożsamość (𝑎 + 𝑏)^2 = 𝑎^2 + 2 𝑎𝑏 + 𝑏^2 można zapisać w równoważnej

postaci

(𝑎 + 𝑏)^2 − (𝑎^2 + 𝑏^2 ) = 2 𝑎𝑏

Nierówność 𝑎^2 + 𝑏^2 > 2 𝑎𝑏 zapisujemy więc w postaci

𝑎^2 + 𝑏^2 > (𝑎 + 𝑏)^2 − (𝑎^2 + 𝑏^2 )

Zasady oceniania rozwiązań zadań

𝑎 + 𝑏 = 0 , to wtedy prawa strona tej nierówności jest równa zero, natomiast lewa strona jest

dodatnia – zerem byłaby tylko wtedy, gdyby 𝑎 = 𝑏 = 0 , co jest sprzeczne z założeniem

Zadanie 32. (0–2) Wymagania egzaminacyjne 2022 Wymaganie ogólne Wymagania szczegółowe IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający: 6.3) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi […]; 6.4) znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta. Zasady oceniania Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 1 pkt gdy:

zapisze układ równań

sin 𝛼

cos 𝛼

= 2 i sin^2 𝛼 + cos^2 𝛼 = 1 (lub jedno równanie

równoważne temu układowi, np. ( 2 cos 𝛼)^2 + cos^2 𝛼 = 1 , sin^2 𝛼 + (

sin 𝛼)

sin^2 𝛼 = 4 ( 1 − sin^2 𝛼))

ALBO

narysuje trójkąt prostokątny, zaznaczy na rysunku kąt 𝛼 (lub z rozwiązania wynika, że poprawnie go interpretuje) i zapisze relację między przyprostokątnymi tego trójkąta wynikającą z warunku zadania oraz relację między długościami boków trójkąta wynikającą z twierdzenia Pitagorasa. Zdający otrzymuje ..................................................................................................... 2 pkt

gdy spełni kryterium za 1 punkt z zasad oceniania i obliczy wartość wyrażenia sin^2 𝛼:

sin^2 𝛼 =

Uwaga :

Jeśli zdający odczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼 = 2 (𝛼 = 63° lub

𝛼 = 64°) i na tej podstawie oblicza sin^2 𝛼, stosując poprawnie regułę zaokrąglania, to

otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Przykładowe pełne rozwiązania Sposób 1.

Ponieważ tg 𝛼 = 2 , więc

sin 𝛼

cos 𝛼

= 2 i stąd sin 𝛼 = 2 cos 𝛼. Korzystając z tego związku

i tożsamości sin^2 𝛼 + cos^2 𝛼 = 1 , otrzymujemy

Egzamin maturalny z matematyki. Poziom podstawowy – termin główny 202 2 r.

( 2 cos 𝛼)^2 + cos^2 𝛼 = 1

5cos^2 𝛼 = 1

cos^2 𝛼 =

Ponownie korzystamy z tożsamości sin^2 𝛼 + cos^2 𝛼 = 1 i obliczamy sin^2 𝛼:

sin^2 𝛼 + cos^2 𝛼 = 1

sin^2 𝛼 +

sin^2 𝛼 =

Sposób 2.