Zastosowania równania Bernoullego - zadania z rozwiązaniami, Ćwiczenia z Meccanica dei Fluidi

Pobierz Zastosowania równania Bernoullego - zadania z rozwiązaniami i więcej Ćwiczenia w PDF z Meccanica dei Fluidi tylko na Docsity!

Zadanie 1

Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć

jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji,

gdy strumień objętości wynosi Q = 0,08 m

3

/s.

Rozwiązanie:

Aby w przekroju 2- 2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, ciśnienie musi być większe od ciśnienia

nasycenia ( p

2

> p

V

). Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2:

ଵ

ଵ

ଶ

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

ଶ

Ponieważ z 1

= z 2

, a zrównania ciągłości wynika:

ଶ

ଵ

ଶ

Po podstawieniu otrzymamy:

ଶ

ଵ

ଵ

ଶ

ସ

Jeśli się uwzględni, że:

ଶ

௏

ଵ

ଶ

to:

ଵ

ଶ

ଶ

ସ

ସ

௏

ଵ

௏

ଶ

ଶ

ସ

ସ

Po podstawieniu wartości:

ଵ

ହ

Zadanie 2

Obliczyć średnicę d zwężki Venturiego niezbędną do zassania wody o gęstości ρ = 1000 kg/m

3

, z

naczynia na wysokość h = 0,8 m. Strumień objętości wody w rurociągu Q = 0,12 m

3

/s, średnica

rurociągu D = 0,2 m, nadciśnienie w rurociągu p n

4

N/m

2

Rozwiązanie:

Aby nastąpiło zassanie wody z naczynia, podciśnienie w zwężce musi wynosić:

௪

Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 przybiera postać:

ଵ

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

ଶ

Podstawiając:

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

ଵ

௕

௡

ଶ

௕

௪

Otrzymujemy:

ଶ

ଶ

௡

௪

ଶ

ସ

ర

Po uwzględnieniu ݌

௪

ଶ

ଶ

௡

ଶ

ସ

ర

Dla danych wartości liczbowych:

Zadanie 4

Kanałem prostokątnym szerokości b i głębokości h przepływa woda. Rurka Pitota zanurzona do

połowy głębokości wskazuje spiętrzenie ∆h = 0,2 m. Obliczyć średnią prędkość przepływu w przekroju

kanału przyjmując, że profil prędkości opisany jest równaniem v=c·z

0,

h

h

h

Rozwiązanie:

Prędkość w połowie przekroju

଴

Stałą c w równaniu:

଴

stąd

଴

Średnią prędkość przepływu obliczamy z zależności:

௦௥

௛

଴

଴

௛

଴

଴

௛

଴

଴

௦௥

Zadanie 5

Przewodem o średnicy d = 0,05 m przepływa ciecz idealna o strumieniu Q = 0,01 m

3

/s. Na końcu

przewodu jest umieszczony dyfuzor o średnicy wylotowej D = 0,1 m, którym ciecz wypływa do

atmosfery. Obliczyć wysokość podciśnienia panującego w przekroju wlotowym dyfuzora.

Rozwiązanie:

Równanie Bernoullego dla przekroju wlotowego i wylotowego dyfuzora ma postać:

ଵ

ଵ

ଶ

௕

ଶ

ଶ

௕

ଵ

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

Po oznaczeniu wysokości podciśnienia

௕

ଵ

௪

Uwzględniając, że:

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

Otrzymujemy:

௪

ଶ

ଶ

ସ

ସ

ଶ

ଶ

ସ

ସ

Zadanie 6

Obliczyć prędkość v 1

przepływu powietrza o gęstości ρ = 1,2 kg/m

3

przez dyszę o średnicach d = 0,

m, D = 0,2 m. Manometr różnicowy, wypełniony cieczą o gęstości ρ

m

=780 kg/m

3

wskazuje wychylenie

∆h = 0,3 m.

Rozwiązanie:

Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać:

ଵ

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

ଶ

Prawo naczyń połączonych dla punktów A i B, po pominięciu ciężaru słupa powietrza w stosunku do

słupa rtęci, wyrażone jest równaniem:

ଵ

ଶ

ଶ

ଶ

௠

Z obu równań wynika, że:

ଵ

௠

Zadanie 8

Woda przepływa ze zbiornika A do zbiornika B za pomocą lewara. Obliczyć średnicę lewara d

niezbędną do uzyskania strumienia objętości Q=4· 10

• 3

m

3

/s, dla różnicy poziomów ∆h = 3m. Obliczyć

także podciśnienie w kolanie lewara, gdy znajduje się ono na wysokości h = 2 m nad zwierciadłem

zbiornika A.

d

A B

p

b

v

Rozwiązanie:

Napiszmy równanie Bernoullego przyjmując przekrój 1-1 na poziomie zwierciadła cieczy w zbiorniku A

oraz przekrój 2-2 na wylocie z lewara

௕

௕

ଶ

ଶ

ି ଷ

Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 3-3 przez punkt szczytowy lewara będzie miało postać:

௣

௕

௪

ଶ

stąd

௪

ଶ

Zadanie 9

Z zamkniętego zbiornika, w którym panuje nadciśnienie p n

= 0, 5 105 N/m

2

wypływa ciecz doskonała

przez przewód o średnicy D = 0, 08 m, konfuzor o długości l=0, 2 m i przewód o średnicy d=0, 04 m.

Obliczyć rozkład ciśnienia w konfuzorze, gdy H = 2 m, a do atmosfery wpływa ciecz o ciśnieniu P b

5

N/m

2

Rozwiązanie:

Prędkość wypływu płynu ze zbiornika:

ଶ

௡

Natomiast ciśnienie

ଶ

௕

Równanie Bernoullego dla przekroju x-x i przekroju 2-2 będzie miało postać

௫

௫

ଶ

௕

ଶ

ଶ

Stąd

௫

௕

ଶ

ଶ

௫

ଶ

Z równania ciągłości otrzymamy:

௫

ଶ

௫

ଶ

Gdzie

௫

Po podstawieniach i redukcji równanie opisujące rozkład ciśnienia w konfuzorze przybiera postać:

௫

௕

௡

ସ

Ciśnienie w przekroju wlotowym 1-1:

ଵ

௕

௡

ସ

Dla danych wartości:

ଵ

ହ

Zadanie 11

Obliczyć prędkość v z jaką ciecz doskonała będzie wypływać z fontanny Herona oraz wysokość H, na

jaką podniesie się struga, jeśli h

1

= 25 m, h

2

= 5 m, h

3

= 1 m.

h

1

h

2

h

3

H

Rozwiązanie:

Z prawa naczyń połączonych wynika, że na powierzchnię cieczy z zbiorniku III działają nadciśnienie

h 1

. Ponieważ zbiornik II jest połączony ze zbiornikiem III przewodem C, więc na powierzchnię cieczy w

zbiorniku II działa to samo nadciśnienie co w zbiorniku III. Na podstawie prawa naczyń połączonych

otrzymuje się równanie:

ଵ

ଶ

ଷ

Skąd:

ଵ

ଶ

ଶ

Prędkość w przekroju wylotowym można obliczyć ze wzoru Torricellego:

Zadanie 12

Zbiornik hydroforowy jest wypełniony cieczą idealną o gęstości ρ = 1000 kg/m

3

do wysokości H = 2 m.

Na zwierciadło wody działa nadciśnienie p

n

5

N/m

2

. W pewnym momencie w zbiorniku został

wykonany mały otwór na wysokości H 1

=1,5 m. Obliczyć w jakiej odległości s od zbiornika nastąpi

zetknięcie strumienia z poziomem dna.

Rozwiązanie:

Drogę przebytą przez strumień można obliczyć w dwu kierunkach: poziomym i pionowym. Ponieważ w

kierunku poziomym ruch jest jednostajny, więc w czasie t zostanie przebyta droga :

௫

Natomiast w kierunku pionowym dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:

ଵ

ଶ

Ponieważ czas ruchu strumienia w obu kierunkach jest jednakowy i parametr t można z obu równań

wyeliminować, więc:

௫

ଵ

Jeśli się uwzględni, że:

௫

௡

ଵ

To:

௡

ଵ

ଵ

ହ