Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów ..., Schematy z Trygonometria

Pobierz Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów ... i więcej Schematy w PDF z Trygonometria tylko na Docsity!

Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania

miar kątów w wielokątach

Wprowadzenie Przeczytaj Infografika Sprawdź się Dla nauczyciela

Pod pojęciem rozwiązywania trójkątów mieści się niemal wszystko, co dotyczy związków miarowych w danym trójkącie. Tym samym, rozwiązując trójkąt obliczamy długości boków, które nie są podane i wyznaczamy miary jego kątów. Ale pod tym pojęciem możemy rozumieć także obliczanie długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt, czy wyznaczanie jego pola. W celu rozwiązania trójkąta posługujemy się znanymi „narzędziami”, np. twierdzeniem Snelliusa, Carnota, a także mniej znanymi, np. twierdzeniem Regiomontana. Przez fakt, iż każdy wielokąt można poddać triangulacji, czyli podziałowi na trójkąty, te same reguły (twierdzenia) stosuje się do badania związków miarowych także w wielokątach, które nie są trójkątami. Nie chemy jeszcze korzystać z wielu narzędzi geometrycznych, np. z twierdzenia cosinusów, ale już samo twierdzenie sinusów „pozwala na wiele”. Tym razem uwagę skoncentrujemy na badaniu miar kątów.

Twoje cele

Wyznaczysz miary kątów trójkąta o danych bokach. Zbadasz zależności między bokami i kątami w trójkącie z zastosowaniem twierdzenia sinusów. Wyznaczysz przybliżone miary kątów w trójkącie z zastosowaniem tablic funkcji trygonometrycznych.

Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar

kątów w wielokątach

Zagadnienie opisane w Przykładzie 1. pokazuje, że potrafimy wiele dokonać bez osiągnięcia Snelliusa, któremu przypisuje się sformułowanie twierdzenia sinusów. Ale nie jest trudno wskazać prosty model, w którym zastosowanie tego twierdzenia istotnie ułatwia rozwiązanie problemu, choć jak zobaczymy, dalej nie będzie niezbędne.

Przykład 2

Rozważmy trójkąt, którego dwa boki mają długości: , , a kąt leżący między tymi bokami ma miarę. Te informacje w sposób jednoznaczny wyznaczają trójkąt, o czym mówi cecha przystawania trójkątów. Przypuśćmy jednak, że znamy także długość trzeciego boku tego trójkąta i jest ona równa. Naszym zadaniem jest wyznaczenie miar pozostałych kątów tego trójkąta.

Na wstępie zauważmy, że mając trzy dane boki trójkąta, moglibyśmy postąpić analogicznie do sposobu zastosowanego w Przykładzie 1., czyli rozwiązać układ trzech równań z trzema niewiadomymi, w którym dwa równania są stopnia drugiego. Znów uniknęlibyśmy stosowania twierdzenia sinusów, ale byłoby to nieracjonalne, bo jak za moment zobaczymy, twierdzenie sinusów „od razu” rozwiązuje nasz problem. Mamy bowiem. Stąd i oraz

i. Tym samym rozwiązanie problemu sprowadziło się do podstawienia wielkości do wzoru Snelliusa, krótko i elegancko.

A teraz coś dla czworokąta.

Przykład 3

Punkt jest ortocentrum trójkąta ostrokątnego , w którym , ,. Na trójkącie opisano okrąg. Odcinek jest krótszą podstawą trapezu wpisanego w okrąg. Oblicz miary kątów tego trapezu.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Punkty i są spodkami odpowiednich wysokości.

|AB| = 6 |AC| = 8

kbk

|BC| = 2√ 13

|BC|

sin 60° =^

|AC|

sin β =^

|AB|

sin γ sin^ β^ =^

8⋅ √ 23

2√ 13 =^

2√ 39

13 ≈ 0, 9608^ β^ ≈ 74°

sin γ = 6⋅^

√ 3 2

2√ 13 =^

3√ 39

26 ≈ 0, 7206^ γ^ ≈ 46°

O ABC |∡ABC| = 60°

|AB| = 10 |AC| = 6√ 3 ABO AO

ADBO

P Q

Oznaczmy kąty przy wierzchołkach , , odpowiednio przez , ,. Wtedy

. Stąd. Oznacza to, że. Z bilansu kątów w trójkącie otrzymujemy, że. Pozostaje zauważyć, że przy przyjętych oznaczeniach, kąt ma miarę i jest to kąt rozwarty trapezu równoramiennego (co wynika z faktu, że jest on wpisany w okrąg). Zatem kąt rozwarty ma miarę w przybliżeniu równą , a kąt ostry tego trapezu ma miarę.

Słownik

cechy przystawania trójkątów

cechy przystawania trójkątów to warunki konieczne i wystarczające na to, by dwa trójkąty były przystające; najczęściej mówi się o cechach: (bok‐bok‐bok), (bok‐kąt‐bok); (kąt‐bok‐kąt)

A B C α β γ

|AB|

sin γ =^

|AC|

sin β sin^ γ^ =^

|AB|⋅sin β

|AC| =^

10⋅ √ 23

6√ 3 =^

5

6 γ^ ≈ 56°

AOB |∡AOB| = 180° − (90° − α) − (90° − β) = α + β

bbb bkb

kbk

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia: 輸 醙 難

Ćwiczenie 1

W trójkącie ABC dane są: , oraz. Wskaż zdania prawdziwe.

Kąt ma miarę.

Miara jednego z kątów tego trójkąta jest średnią arytmetyczną miar dwóch pozostałych jego kątów.

Bok jest najdłuższy.

Kąt ma miarę.

|AB| = √24 |AC| = 6 |∡ABC| = 60°

BAC 45°

AC

ACB 45°

Ćwiczenie 2

Dany jest trójkąt, w którym , i w którym kąt , leżący naprzeciw boku , ma miarę. Kąt leży naprzeciwko boku. Wskaż zdania prawdziwe.

Z danych wynika, że kąt ma miarę lub.

Z danych wynika, że sinus kąta jest równy.

Z danych wynika, że spośród kątów tego trójkąta największą miarę ma kąt.

Z danych wynika, że kąt ma miarę.

a = 12 b = 12√ 2 α a

30° β b

β √ 22

β

Ćwiczenie 3

Dany jest trapez , w którym. Jego przekątna ma długość dwa razy krótszą niż każdy z promieni okręgów opisanych na trójkątach i. Wyznacz miary kątów trapezu.

ABCD AB ∥ CD BD

ABD BCD

Ćwiczenie 4

Punkt jest środkiem boku prostokąta. Bok ma długość. Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy , a środek tego okręgu leży na zewnątrz tego prostokąta. Wyznacz przybliżoną miarę kąta, pod jakim przecinają się przekątne prostokąta.

E AB ABCD AB 48

CDE 25

Ćwiczenie 5

W trójkącie dane są: , oraz , gdzie jest kątem leżącym naprzeciwko boku. Oblicz sinus kąta , leżącego naprzeciwko boku. Uporządkuj zapisy prowadzące do rozwiązania zadania.

ABC |BC| = 14 |AC| = 13 cos α = − 1213 α

BC β AC

Ponieważ sin^13 β = sin^14 α, zatem

Ponieważ cos α = − 1213 , więc sin^2 α = 1 − (− 1213 )^2 = 1 − 144169 = 16925.

Stąd sin β = 13⋅1413⋅5 = 145.

Oczywiście, dla kątów w trójkącie, sinus nie może przyjmować wartości ujemnych,

więc sin α = 135.

sin^13 β =^145.

13

Zatem |sin α| = 135.

醙

醙

Dla nauczyciela

Autor: Jacek Człapiński

Temat: Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów w wielokątach

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony, klasa II lub III

Podstawa programowa:

VII. Trygonometria PP

2. znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

3. stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta ;

4. oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty)

VII. Trygonometria PR

5. korzysta z wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji; kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii kompetencje cyfrowe kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

bada zależności między bokami i kątami w trójkącie i formułuje hipotezy dotyczące tych zależności stosuje twierdzenie sinusów do wyznaczania zależności miarowych w trójkącie

Strategie nauczania:

konstruktywizm

PΔ = 12 ab ⋅ sin γ

konektywizm

Metody i techniki nauczania:

dyskusja rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy pracy:

praca indywidualna praca w grupach praca całego zespołu

Środki dydaktyczne:

komputery z dostępem do internetu, projektor multimedialny,

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

Nauczyciel pyta uczniów, czy spotkali się z pojęciem rozwiązywania trójkątów. Prowadzi rozmowę, co należy rozumieć pod tym pojęciem. Wspomina o różnych twierdzeniach, które mogą być użyteczne i wyjaśnia, że na lekcji będzie się korzystać tylko z twierdzeń Pitagorasa i Snelliusa i z funkcji trygonometrycznych. Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie twierdzenia sinusów i cech przystawania trójkątów. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1.Nauczyciel formułuje problem opisany w Przykładzie 1. i prosi o zaproponowanie strategii jego rozwiązania. Uczniowie pod kierunkiem nauczyciela budują układ równań i poznają sposoby jego rozwiązania.

2. Uczniowie, pracując w parach, wykorzystują Infografikę Obliczanie miar kątów z zastosowaniem twierdzenia sinusów i wykonują polecenia do niej dołączone. Nauczyciel informuje, że metody wykorzystujące twierdzenie Carnota okażą się niebawem jednym z podstawowych narzędzi w rozwiązywaniu trójkątów, ale na razie doskonali się umiejętność wykorzystania przede wszystkim twierdzenia sinusów i reguł poznanych wcześniej.
3. Nauczyciel formułuje problemy podane w kolejnych przykładach. Wskazane jest, by uczniowie mieli czas na samodzielne rozwiązanie Problemu 2. Następnie nauczyciel prosi, by uczniowie omówili metodę rozwiązania. Jeśli są tacy, którzy zbudowali układ równań, to