Zastosowanie zasady Cavalieriego, Schematy z Historia

Pobierz Zastosowanie zasady Cavalieriego i więcej Schematy w PDF z Historia tylko na Docsity! Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: Nauczycielska Bartłomiej Czerkas Zastosowanie zasady Cavalieriego Praca magisterska napisana pod kierunkiem Profesora Jacka Świątkowskiego Wrocław 2013 Oświadczam, że pracę magisterską wykonałem samodzielnie i zgłaszam ją do oceny. Data:………………….. Podpis autora pracy:………………… Oświadczam, że praca jest gotowa do oceny przez recenzenta. Data: …………………. Podpis opiekuna pracy:……………… 2 Zasadę Cavalieriego 2.1 możemy rozszerzyć do dowolnej liczby brył. Pole figury będącej przekrojem bryły G płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h (0 ≤ h ≤ k) możemy przedstawić w postaci kombinacji liniowej n pól figur będących przekrojami brył G1, G2, … ,Gn na tejże wysokości: PG(h) =a1 ∙PG1(h) + a2∙PG2(h) + … + an ∙PGn(h), gdzie PGi(h) ≥ 0 , ai є R (1 ≤ i ≤ n). Wobec tego prawdą jest, że: VG = a1∙VG1 +a2 ∙VG2 + … + an∙VGn . Powyższy zapis skłania nas do następującego uogólnienia: 2.2. Uogólniona zasada Cavalieriego: Niech dane będzie n+1 brył G oraz G1, G2, … ,Gn, leżących pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami oddalonymi o k. Jeśli przekrój bryły G dowolną płaszczyzną równoległą do danych, odległą od jednej z nich o h (gdzie 0 ≤ h ≤ k) ma pole równe kombinacji liniowej o rzeczywistych współczynnikach pól będących przekrojami brył G1, G2, …, Gn tą samą płaszczyzną, to objętość bryły G jest kombinacją liniową objętości brył G1, G2, …,Gn o tych samych rzeczywistych współczynnikach. 5 3. Objętości wybranych brył. W poniższym rozdziale stosując zasadę Cavalieriego dotyczącą objętości brył udowadniam, że objętości skomplikowanych figur przestrzennych mogą być wyznaczone w oparciu o bryły, których objętości potrafimy bez problemu wyznaczyć. Uwagą do każdego podrozdziału jest jawny wzór na objętość omawianej w nim figury przestrzennej. 3.1. Kula. W tym podrozdziale celem będzie udowodnienie objętość oparciu o zasadę Cavalieriego, że objętość kuli można wyrazić za pomocą różnicy objętości innych brył obrotowych: walca i podwojonego stożka. Poniższy przykład jest jednym z najpopularniejszych i najbardziej elementarnych przykładów zastosowania owej zasady (czytelników odsyłam do pozycji drugiej w bibliografii). 3.1.1. Twierdzenie: Objętość kuli o promieniu R jest równa różnicy objętości walca o wysokości 2R i promieniu podstawy R oraz podwojonego stożka o wysokości R i promieniu podstawy R. Dowód: Aby znaleźć objętość kuli sprawdzam, jaka jest zależność pomiędzy wysokością płaszczyzny przekroju a polem przekroju ową płaszczyzną dla kuli, walca i podwojonego stożka (Rys.3.1.2). Po ustaleniu dowolnego h (0 ≤ h ≤ 2R) przyjmijmy następujące oznaczenia: • rk(h) – promień koła będącego przekrojem kuli płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rw(h) – promień koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rps(h) – promień koła będącego przekrojem podwojonego stożka płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pk(h) – pole koła będącego przekrojem kuli płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pw(h) – pole koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pps(h) – pole koła będącego przekrojem podwojonego stożka płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h. Zauważmy, że rk(h) wyznaczone jest z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa, a rps(h) z wykorzystaniem twierdzenia Talesa. Wyliczenie wyżej wymienionych promieni oraz pól przedstawione jest na Rys.3.1.2 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. 6 Następnie porównujemy różnicę pól przekrojów (poprowadzonych na wysokości h) walca i podwojonego stożka z polem przekroju kuli poprowadzonym na wysokości h. ∙ Zatem, zgodnie z Uogólnioną Zasadą Cavalieriego (Zasada 2.2) objętość kuli jest różnicą objętości walca i podwojonego stożka. ∙ □ 3.1.3. Uwaga: Twierdzenie 3.1.1 pozwala na wyznaczenie wzoru na objętość kuli w oparciu o znajomość wzorów na objętość stożka i walca. ∙ 7 3.3. Hiperboloida jednopowłokowa. Następnie rozważmy bryłę ograniczoną wykresem hiperboloidy jednopowłokowej: z2+a=x2+y2 oraz płaszczyznami: z=0 i z=c, gdzie a, c ≥0. Pole przekroju owej bryły płaszczyzną z=h, równoległą do płaszczyzn z=0 i z=c, gdzie 0 ≤ h ≤ c okaże się sumą pól przekrojów stożka oraz walca. 3.3.1. Twierdzenie: Objętość fragmentu hiperboloidy jednopowłokowej ograniczonej płaszczyznami z=0 i z=c jest równa sumie objętości stożka o promieniu c i wysokości c oraz walca o promieniu i wysokości c. Dowód: Po ustaleniu dowolnego h (0 ≤ h ≤ c) przyjmijmy następujące oznaczenia: • rhj(h) – promień koła będącego przekrojem hiperboloidy jednopowłokowej płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rs(h) – promień koła będącego przekrojem stożka płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rw(h) – promień koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Phj(h) – pole koła będącego przekrojem hiperboloidy jednopowłokowej płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Ps(h) – pole koła będącego przekrojem stożka płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pw(h) – pole koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h. Zauważmy, że rs(h) wyznaczamy z wykorzystaniem twierdzenia Talesa. Wyliczenie wyżej wymienionych wielkości przedstawione jest na Rys.3.3.2 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. 10 Następnie porównujemy sumę pól przekrojów stożka i walca z polem przekroju fragmentu hiperboloidy jednopowłokowej (poprowadzonych na wysokości h): ∙ Zatem, zgodnie z Uogólnioną Zasadą Cavalieriego (Zasada 2.2) objętość fragmentu hiperboloidy jednopowłokowej jest równa sumie objętości stożka i walca: ∙ □ 3.3.3. Uwaga: Twierdzenie 3.3.1 pozwala na wyznaczenie wzoru na objętość fragmentu hiperboloidy jednopowłokowej w oparciu o znajomość wzorów na objętość stożka i walca: ∙ 11 3.4. Hiperboloida dwupowłokowa. Kolejnym przykładem wykorzystania zasady Cavalieriego jest bryła ograniczona wykresem hiperboloidy dwupowłokowej: z2-a=x2+y2 (a>0) oraz płaszczyznami: z=c (c>0), z= (to naturalne, gdyż wierzchołek hiperboloidy dwupowłokowej jest w punkcie (0,0, ) . Tym razem pole przekroju płaszczyzną z=h, równoległą do płaszczyzn z= i z=c, gdzie ≤h≤c okaże się różnicą pól przekrojów ściętego stożka oraz walca. 3.4.1. Twierdzenie: Objętość fragmentu hiperboloidy dwupowłokowej ograniczonej płaszczyznami z=0 i z=c jest równa sumie objętości ściętego stożka o promieniu c i wysokości c oraz walca o promieniu podstawy i wysokości c - . Dowód: Po ustaleniu dowolnego h ( ≤ h ≤ c - ) przyjmijmy następujące oznaczenia: • rhd(h) – promień koła będącego przekrojem hiperboloidy dwupowłokowej płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rśs(h) – promień koła będącego przekrojem ściętego stożka płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rw(h) – promień koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Phd(h) – pole koła będącego przekrojem hiperboloidy dwupowłokowej płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pśs(h) – pole koła będącego przekrojem ściętego stożka płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pw(h) – pole koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h. Zauważmy, że rśs(h) wyznaczamy z wykorzystaniem twierdzenia Talesa, a rhd(h) z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa. Wyliczenie wyżej wymienionych wielkości przedstawione jest na Rys.3.4.2 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. 12 3.5.2.Twierdzenie: Objętość połowy wrzeciona (o wspomnianych wyżej parametrach α i R) jest równa sumie objętości półkuli o promieniu R ściętej na wysokości Rsinα i walca o promieniu Rcosα i o wysokości Rsinα pomniejszonej o objętość połowy poziomego walca o promieniuR i wysokości πRcosα ściętego płaszczyzną równoległą do osi obrotu i oddaloną od niej o Rsinα (Rys.3.5.3). Dowód: Po ustaleniu dowolnego h (0 ≤ h ≤ Rsinα) przyjmijmy następujące oznaczenia: • rśp(h) – promień koła będącego przekrojem ściętej półkuli płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • rw(h) – promień koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • xśw(h) – bok prostokąta będącego przekrojem ściętej połowy poziomego walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pśp(h) – pole koła będącego przekrojem ściętej półkuli płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pw(h) – pole koła będącego przekrojem walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h; • Pśw(h) – pole prostokąta będącego przekrojem ściętej połowy poziomego walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h. Zauważmy, że rśp(h) i xśw(h) wyznaczamy z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa. Wyliczenie wyżej wymienionych wielkości przedstawione jest na Rys.3.5.3 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. 15 Następnie porównujemy sumę pól przekrojów ściętej półkuli i walca pomniejszoną o pole przekroju ściętej połowy poziomego walca z polem przekroju połowy wrzeciona (poprowadzonych na wysokości h): ∙ Zatem, zgodnie z zasadą Cavalieriego (Zasada 2.2) objętość połowy wrzeciona jest równa sumie objętości ściętej półkuli i walca pomniejszonej o objętość ściętej połowy poziomego walca: ∙ □ 3.5.4. Uwaga: Twierdzenie 3.5.2 pozwala na wyznaczenie wzoru na objętość połowy wrzeciona w oparciu o znajomość wzorów na objętość ściętej półkuli, walca i ściętej połowy poziomego walca: ∙ 16 3.6. Bryła powstała przez obrót wokół cięciwy dłuższego łuku okręgu o końcach wspólnych z tą cięciwą – jabłko. Naturalną konsekwencją poprzedniego przykładu jest próba wyznaczenia objętości bryły powstałej przez obrót dłuższego łuku (fragmentu okręgu o promieniu R) wokół cięciwy mającej wspólne końce z owym łukiem. Swoim kształtem bryła przypomina jabłko (rys.3.6.0) i w tenże sposób będzie przeze mnie nazywana. Długość obracanego łuku, a więc wielkość jabłka, uzależniamy od kąta środkowego 2π - 2α. W poniższych rozważaniach ograniczę się wyłącznie do połowy omawianej bryły (o kącie środkowym π - α). Przecinając bryłę płaszczyznami prostopadłymi do osi obrotu na wysokości h (0 ≤ h ≤ R) w przekrojach otrzymujemy koła (dla 0 ≤ h ≤ Rsinα) bądź pierścienie (Rsinα ≤ h ≤ R). Połowę jabłka dzielę na dwie bryły płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu poprowadzoną na wysokości Rsinα (na część dolną: 0 ≤ h ≤ Rsinα i część górną: Rsinα ≤ h ≤ R). Zajmijmy się przypadkiem, gdy 0 ≤ h ≤ Rsinα. Aby w pełni zrozumieć i wywnioskować, jaką bryłę (a wręcz bryły) należy porównywać z połową jabłka lepiej jest najpierw przyjrzeć się, jak wygląda zależność pomiędzy wysokością płaszczyzny przekroju a polem przekroju (rys.3.6.1). Po ustaleniu dowolnego h (0 ≤ h ≤ Rsinα) przyjmijmy następujące oznaczenia: • rj/2(h) – promień koła będącego przekrojem połowy jabłka płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h; • P’j/2(h) – pole koła będącego przekrojem połowy jabłka płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h. 17 Następnie porównujemy pola przekrojów opisywanych brył płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h: ∙ Zatem, zgodnie z Zasadą Cavalieriego (Zasada 2.1) objętości brył są równe: ∙ □ 20 3.6.6. Uwaga: Twierdzenie 3.6.4 pozwala na wyznaczenie wzoru na objętość części (górnej) połowy jabłka w oparciu o znajomość wzorów na objętość części ściętego poziomego walca: ∙ 3.6.7.Uwaga: Ostatecznie objętość połowy jabłka jest sumą objętości części (dolnej) połowy jabłka dla 0 ≤ h ≤ Rsinα oraz objętości części (górnej) połowy jabłka dla Rsinα ≤ h ≤ R. ∙ 21 3.7. Torus Kolejną omawianą bryłą jest torus – to dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa, powstała przez obrót okręgu o promieniu R wokół prostej s leżącej w tej samej płaszczyźnie odległej o d od środka okręgu i nieprzecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). Celem tego podrozdziału jest udowodnienie, że objętość torusa jest równa objętości odpowiedniego walca. W poniższych rozważaniach ograniczę się wyłącznie do połowy omawianej bryły. 3.7.1. Twierdzenie: Objętość połowy torusa o promieniu R oddalonego od osi obrotu o d jest równa objętości połowy poziomego walca o promieniu R i wysokości 2πd. Po ustaleniu dowolnego h (0 ≤ h ≤ R) przyjmijmy następujące oznaczenia: • r’t/2(h) – promień większego koła będącego przekrojem połowy torusa płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h; • r’’t/2(h) – promień mniejszego koła będącego przekrojem połowy torusa płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h; • Pt/2(h) – pole pierścienia (różnicy kół o promieniach r’t/2(h) i r’’t/2(h) ) będącego przekrojem połowy torusa płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h; • xpw(h) – bok prostokąta będącego przekrojem połowy poziomego walca płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h; • Ppw(h) – pole prostokąta będącego przekrojem połowy poziomego walca płaszczyzną poprowadzoną na dowolnej wysokości h. Zauważmy, że r’t/2(h), r’’t/2(h) i xpw(h) wyznaczamy z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa. Wyliczenie wyżej wymienionych wielkości przedstawione jest na Rys.3.7.2 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. Długość drugiego boku prostokąta będącego przekrojem połowy poziomego walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h (0 ≤ h ≤ R ) jest stała i ma długość 2πd. 22 Następnie porównujemy sumę obwodów przekrojów dwóch stożków płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h i obwód przekroju walca płaszczyzną poprowadzoną na wysokości h: ∙ Zatem, zgodnie z zasadą Cavalieriego (Twierdzenie 4.1.1) pola powierzchni bocznych brył są równe: ∙ W tym momencie dochodzimy do sprzeczności – znajomość wzorów na obliczenie pola powierzchni bocznych stożków i walca pozwala nam to w pełni zobaczyć: ∙ 4.1.4. Wniosek: Należy na nowo sformułować zasadę Cavalieriego dotyczącą wyznaczania pól powierzchni obrotowych na podstawie obwodów przekrojów brył płaszczyznami poprowadzonymi na danej wysokości. 25 4.2. Zasada Cavalieriego (i jej uogólnienie) dotycząca pól powierzchni obrotowych. W poniższym podrozdziale zamierzam sformułować zasadę Cavalieriego dla powierzchni obrotowych a następnie uogólnić ją (analogicznie jak w przypadku zasady Cavalieriego dla brył). 4.2.1. Zasada Cavalieriego dotycząca pól powierzchni obrotowych: Niech dane będą dwie powierzchnie obrotowe, obie powstałe przez obrót krzywych o takich samych długościach k. Niech pierwsza krzywa ma początek w punkcie A1, a druga w punkcie A2. Każdy punkt na krzywej wyznacza, przez obracanie, okrąg zawarty w powierzchni obrotowej, który nazwijmy równoleżnikiem. Równoleżniki pokrywają całą powierzchnie. Jeśli dla dowolnego h z przedziału [0,k] dla punktu X1 oddalonego od A1 o h na pierwszej krzywej oraz dla punktu X2 oddalonego od A2 o h na drugiej krzywej, równoleżniki odpowiadające punktom X1 i X2 mają równe długości, to powierzchnie obrotowe mają równe pola. Wielkość h oznacza tu odległość między punktami na krzywej/krzywych, wysokość nie wysokość – litera ta została wybrana nieprzypadkowo, z powodu analogii do zasady Cavalieriego dotyczącej objętości brył. 4.2.2.Uogólnienie zasady Cavalieriego dotyczącej pól powierzchni obrotowych: Niech dane będzie n+1 powierzchni obrotowych powstałych przez obrót krzywych o takich samych długościach k. Niech pierwsza krzywa ma początek w punkcie A, druga w A1, …, ostatnia w An. Jeśli istnieją rzeczywiste współczynniki a1, a2, …, an takie, że dla dowolnego h z przedziału [0,k] dla punktu X oddalonego od A o h na pierwszej krzywej, dla punktu X1 oddalonego od A1 o h na drugiej krzywej, … , dla punktu Xn oddalonego od An o h od ostatniej krzywej, równoleżnik odpowiadający punktowi X o długości L(X) możemy przedstawić w postaci kombinacji liniowej równoleżników odpowiadającym punktom X1, …,Xn (o długościach odpowiednio: L(X1), …, L(Xn)): L(x) = a1∙L(X1) + a2∙L(X2) + … + an∙L(Xn) to pierwsza powierzchnia obrotowa ma pole będące kombinacją liniową pozostałych n powierzchni z tymi samymi rzeczywistymi współczynnikami: P = a1∙P1 + a2∙P2 + … + an∙Pn . 4.3. Torus 26 Aby zasada Cavalieriego dla pól powierzchni obrotowych była przez czytelników w pełni zrozumiała, posłużymy się najpierw przykładem torusa. Torus to dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa, powstała przez obrót okręgu o promieniu R wokół prostej s leżącej w tej samej płaszczyźnie odległej o d od środka okregu i nieprzecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów). W tym podrozdziale celem będzie udowodnienie, że pole powierzchni torusa jest równe polu powierzchni bocznej pewnego walca. 4.3.1. Twierdzenie: Pole powierzchni torusa, powstałego przez obrót okręgu o promieniu R wokół prostej s leżącej w tej samej płaszczyźnie odległej o d od środka okręgu (i nieprzecinającej go) jest równe polu powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy 2d i wysokości πR (Rys. 4.3.2). Dowód: Powierzchnia torusa traktuję jako sumę powierzchni powstałej przez obrót półokręgu p1 będącego dalej od osi obrotu s oraz powierzchni powstałej przez obrót półokręgu p2 będącego bliżej od osi obrotu. Oba półokręgi mają długość πR (Rys.4.3.1’). Skoro dwie powyżej opisane powierzchnie obrotowe porównuję do powierzchni bocznej walca to znaczy, że mamy do czynienia z trzema powierzchniami obrotowymi, każda powstała przez obrót krzywej o długości πR. Punkty A1, A2 i A2’ wybieram zgodnie z Rys.4.3.2. Punkt A1 jest wspólnym punktem początkowym półokręgów p1 i p2 (Rys. 4.3.1’). Dla dowolnego h (0 ≤ h ≤ πR) wybieram punkty o h odległe od A1 – są to punty X1 i X2. 27 4.4. Powierzchnia obrotowa - wrzeciono. Jedną z brył omawianych w poprzednim rozdziale dotyczącym objętości było wrzeciono (podrozdział 3.5). Teraz postarajmy się, w oparciu o nową zasadę Cavalieriego dla powierzchni obrotowych, wyznaczyć pole owej powierzchni. Powierzchnia obrotowa, którą będziemy teraz omawiać powstała z obrotu łuku (fragment okręgu o kącie środkowym 2α) wokół cięciwy mającej wspólne punktu z owym łukiem. W poniższych rozważaniach ograniczę się wyłącznie do połowy omawianej powierzchni (kąt środkowy α). Naszym celem jest udowodnienie, że pole powierzchni połowy wrzeciona jest różnicą pól innych powierzchni obrotowych: odcinka sfery i powierzchni bocznej walca. Twierdzenie 4.4.1. Pole powierzchni połowy wrzeciona (o wspomnianych wyżej parametrach α i R) jest różnicą pola odcinka sfery o promieniu R (powstałego z półsfery przez odcięcie górnej czaszy na wysokości Rsinα) oraz pola powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy Rcosα i wysokości αR. Dowód: Mamy do czynienia z trzema powierzchniami obrotowymi, każda powstała przez obrót krzywej o długości αR. Punkty A1, A2 i A2’ wybieram zgodnie z Rys.4.4.2. Po ustaleniu dowolnego h (0 ≤ h ≤ αR) przyjmijmy następujące oznaczenia: • rw/2(X1) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni połowy wrzeciona, przechodzącego przez punkt X1 (oddalony od punktu A1 o h); • rśp(X2) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni odcinka sfery, przechodzącego przez punkt X2 (oddalony od punktu A2 o h); • rbw(X2’) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni bocznej walca, przechodzącego przez punkt X2’ (oddalony od punktu A2’ o h); • Lw/2(X1) – długość okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni połowy wrzeciona, przechodzącego przez punkt X1 (oddalony od punktu A1 o h); • Lśp(X2) – długość okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni odcinka sfery, przechodzącego przez punkt X2 (oddalony od punktu A2 o h); • Lbw(X2’) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni bocznej walca, przechodzącego przez punkt X2’(oddalony od punktu A2’ o h). Wybór punktów X1, X2 utożsamiamy z wyborem kąta β (0 ≤ β ≤ α). Miara kąta β wyraża się wzorem β = h/R w przypadku połowy wrzeciona oraz odcinka sfery. Wyliczenie wyżej wymienionych promieni oraz długości równoleżników przedstawione jest na Rys.4.4.2 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. 30 Następnie porównujemy długość równoleżnika odcinka sfery (oddalonego od punktu A2 o h) pomniejszoną o długość równoleżnika powierzchni bocznej walca (oddalonego od punktu A2’ o h) z długością równoleżnika połowy wrzeciona (oddalonego od punktu A1 o h): ∙ Zatem, zgodnie z wersją zasady Cavalieriego dla powierzchni obrotowych (Zasada 4.2.2): ∙ □ 4.4.5. Uwaga: Twierdzenie 4.4.1 pozwala nam wyznaczyć pole powierzchni połowy wrzeciona w oparciu o znajomość wzoru na pole powierzchni ściętej półsfery i pole powierzchni bocznej walca: ∙ 31 4.5. Powierzchnia obrotowa – jabłko Korzystając z ulepszonej wersji zasady Cavalieriego dotyczącej pól powierzchni obrotowych możemy wyznaczyć pole kolejnej bryły omawianej w poprzednim rozdziale – jabłka (podrozdział 3.6). Powierzchnia obrotowa, którą będziemy teraz omawiać powstała w wyniku obrotu łuku (fragmentu okręgu o promieniu R odpowiadającego kątowi środkowemu 2π – 2α) wokół cięciwy mającej dwa wspólne punkty z owym łukiem. W poniższych rozważaniach ograniczę się wyłącznie do połowy omawianej powierzchni obrotowej (kąt środkowy π – α). W celu dokonania wyliczenia pola powierzchni połowy jabłka dzielimy opisywany łuk na dwa fragmenty prostą s równoległą do osi obrotu jabłka przechodzącą przez środek okręgu, którego fragmentem jest owy łuk. Oba fragmenty łuku (oddzielone punktem A1) obracając się wokół osi obrotu jabłka tworzą powierzchnie obrotowe (Rys.4.5.1). Pierwsza z nich powstaje przez obrót łuku (dłuższego) o długości πR/2 wokół osi obrotu jabłka. Powierzchnie tą porównuję z sumą pola powierzchni bocznej pewnego walca i pewnej półsfery. Wyznaczanie pola powierzchni fragmentu jabłka będzie bardzo podobnie jak w przypadku pola wrzeciona opisanego w poprzednim podrozdziale. Twierdzenie 4.5.2. Pole powierzchni części jabłka powstałej przez obrót (dłuższego) łuku o długości πR/2 wokół osi obrotu jabłka jest równe sumie pola półsfery oraz pola powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy Rcosα i wysokości πR/2. Dowód: Mamy do czynienia z trzema powierzchniami obrotowymi, każda powstała przez obrót krzywej o długości πR/2. Punkty A1, A2 i A2’ wybieram zgodnie z Rys.4.5.3. 32 • rbw(X2’) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni bocznej walca, przechodzącego przez punkt X2’ (oddalony od punktu A2’ o h2); • rp(X2) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni czaszy sfery, przechodzącego przez punkt X2’’ (oddalony od punktu A2’’ o h2); • L’’j/2(X1) – długość okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni części połowy jabłka, przechodzącego przez punkt X2 (oddalony od punktu A1 o h2); • Lbw(X2’) – promień okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni bocznej walca, przechodzącego przez punkt X2’(oddalony od punktu A2’ o h2). • Lc(X2’’) – długość okręgu (równoleżnika) zawartego w powierzchni czaszy sfery, przechodzącego przez punkt X2’’ (oddalony od punktu A2’’ o h2); Wybór punktu X2 i X2’’ utożsamiamy z wyborem kąta β ( α ≤ β ≤ π/2). Miara kąta β wyraża się wzorem β = (πR/2 – h2)/R w przypadku części połowy jabłka oraz czaszy sfery. Wyliczenie wyżej wymienionych promieni oraz długości równoleżników przedstawione jest na Rys.4.5.6 – sprawdzenie, czy poniższe wyniki są poprawne pozostawiam czytelnikom. 35 Następnie porównujemy różnicę długości równoleżnika powierzchni bocznej walca (oddalonego od punktu A2’ o h2) i długości równoleżnika powierzchni czaszy sfery (oddalonego od punktu A2’’ o h2) z długością równoleżnika części połowy jabłka (oddalonego od punktu A1 o h2): ∙ Zatem, zgodnie z wersją zasady Cavalieriego dla powierzchni obrotowych (Zasada 4.2.2): ∙ 36 □ 4.5.7. Uwaga: Twierdzenie 4.5.5 pozwala nam wyznaczyć pole powierzchni części połowy jabłka w oparciu o znajomość wzoru na pole powierzchni półsfery i pole powierzchni bocznej walca: ∙ 4.5.8. Uwaga: Ostatecznie pole powierzchni połowy jabłka jest sumą pól opisywanych powierzchni: ∙ 5. Literatura [1] A.P. Juszkiewicz, Historia Matematyki, PWN, Warszawa 1976. [2] J.Mioduszewki, Ciągłość – Szkice z Historii Matematyki, WSIP, Warszawa 1996. [3] Encyklopedia szkolna. Matematyka, WSiP, Warszawa 1989. . 37