Pobierz ZB3ZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1981 Seria i więcej Prezentacje w PDF z Mechanika tylko na Docsity!
ZB3ZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1981
Seria: MECHANIKA z. 73 Nr kol. 699
Jan KAŹMIEROZAK
KRYTERIUM NIESTACJONAHNOŚCI SYGNAŁÓW
W BADANIACH KONSTRUKCYJNYCH MASZYN
Streszczenie. Przedstawiono problemy związane z analizą niesta cjonarnych sygnałów, stanowiącyoh nośniki inforraaoji w tzw. bada niach konstrukcyjnych maszyn. Opisano trudnośoi analizy takieb syg nałów i zaproponowano sposób postępowania, wykorzystujący określone cechy sygnałów omawianego typu. Wyniki analizy niestacjonarnego sy gnału emitowanego przez układ maszynowy omówiono na przykładzie e- fektu akustycznego elektrostalowniozyoh pieoów łukowyoh.
1. WPROWADZENIE
W badaniaoh maszyn i układów maszynowych Jako nośniki inTormaoji o ba danym obiekcie mogą być wykorzystywane różnego typu sygnały losowe (aku styczne, drganiowe itp. ). Metodyka analizy takich sygnałów wymaga stwierdzenia, ozy obserwowane cechy tych sygnałów wykazują losową zależność od ozynnika czasu, tzn. ozy w sygnale zawarta Jest składowa systematyczna (trend). Jeżeli przyjmiemy, że w badaniach środka technioznego wyróżniamy ozas "makro" odpowiadaJąoy okresowi życia obiektu badać oraz ozas "mikro" będący czasem bieżąoym ob serwacji tego obiektu, to bardzo często sygnał wykazuje niezależność od oaaeu (staoJonarność) w c/asie "mikro" pomimo ogólnie niestacjonarnego cha rakteru w czasie "makro". Kfekt taki jest zazwyczaj zamierzony przez eksperymentatora, gdyż sta- cjonarność sygnału w istotnym stopniu upraszoza jego analizę. Prowadzący badania dobiera więc ozas obserwaoji w zależnośoi od intensywności trendu w tym sygnale i zakłada, że ma do ozynienia z sygnałem stacjonarnym. Istnieje jednak pewna grupa zagadnień, związanych z wykorzystaniem in formacji zawartej w sygnałach losowyoh, w któryoh założenie staojonarnośoi takiego sygnału wręcz uniemożliwia realizację zadania badawozego. Dzieje się tak np: wtedy, gdy chcemy na drodze analizy sygnału poznać czasową hi storię określonych prooesów zaohodzącyoh w badanym obiekcie. V takich przy padkach uwzględnienie obecności w sygnale składowej systematycznej staje się niezbędne.
2. PODSTAWOWE DEFINICJE I ZALEŻNOŚCI
Sygnały o losowo zmiennych poziomaoh, emitowane przez obiekt badań i rejestrowane przez eksperymentatowa, stanowią pewną podklasę procesów sto- ohastycznyoh (losowyoh). W literaturze spotyka się różne definicje procesu losowego, n p. :
'I. Proces losowy stochastyczny d^a ” 00<t < +°° zbiorem funkcji rzeczywistych lub zespolonych, charakteryzujących się struktu rą probabilistyczną. Zazwyozaj przyjmuje się, Ze zmienna "t" oznaoza ozas. Każdą funkcję z^Ct), gdzie "t" Jest zmienną, a "k" stale,nazywa się funkcją losową prooesu lub realizacją prooesu. II. Proces losowy jest to po prostu oiąg niezależnyoh zmiennych losowyoh. Za realizację prooesu losowego można uważać wyniki obserwaoji pojedyn czego' eksperymentu, w którym badana oecha lub oechy obserwowanego obiektu są losowo zmienne. Przykładowo w badaniaoh sygnału akustyoznego, emitowa nego przez układ maszynowy, realizaoją procesu będzie pojedynczy zapis zmienności w skończonym przedziale czasu poziomu ciśnienia w wybranym punk- cie pomiarowym. Losowo zmiennymi oeohami takiego procesu będą np. chwilo we wartości poziomów sygnału akustyoznego w różnyoh pasmach częstotliwo ści. Rozważmy dowolny prooes losowy -^^(tjJ-. Parametrami tego prooesu są momenty zmiennej losowej <Jla pewnej chwili czasu t (względem wskaźnika k): 1° Moment pierwszego rzędu, ożyli wartość średnia
H j t ) = E [*k (t)] , (i)
gdzie: E [ ....^ ] -^ wartość^ oczekiwana. ¥ ogólnym przypadku wartość średnia przyjmuje różne wartości dla róż nych ohwili czasu, tzn. :
* ^ * 2 ^ ’ 8dy *1 * *2 (2)
2° Moment drugiego rzędu, a więc funkcja kowariancji przy dowolnych war tościach t 1 = t i t 2 = t + r
Cx(t,t + r) = E[(xk(t) - fjx( t)) (xk(t+t) - ^(t+r))] ( 3 )
¥ ogólnym przypadku wartości tej funkcji są różne dla różnych kombina cji ty i 1 2 • >
Zif. J.^ K aźm ierozak
- każda realizacja we właściwy sposób odzwierciedla ewentualny niestacjo narny charakter badanego sygnału losowego;
- każda obserwacja realizacji sygnału jest wystarczająco długa, aby możli we było odróżnienie niestacjonarnych trendów od losowych wahań sygnału. Biorąc pod uwagę powyższe założenia, badamy stacjonarność sygnału loso wego w następujący sposób:
a) obserwowana realizacja sygnału jest dzielona na N jednakowych prze działów czasu o takiej długości, by przebiegi zmienności sygnału w każ dym przedziale mogły być uważane za niezależne; b) dla każdego przedziału jest wyznaczana wartość średnio-kwadratowa (lub osobną średnia i warianoja), a następnie takie wartośoi są uszeregowa ne w ciąg zgodnie z ich kolejnością w czasie; o) oiąg wartości próbek sygnału jest badany ze względu na obeoność trendu lub innyoh czynników powodujących, że oiąg taki nie wykazuje niezależ ności stochastycznej. Jedną z możliwych do zastosowania metod weryfikacji hipotezy o losowej niezależności ciągu wartości liczbowych jest tzw, test serii. Przyjmijmy, że analizowany ciąg próbek sygnału jest zmienną losową X o rozkładzie z dystrybuantą F. Zbiór wartośoi takiej zmiennej dzielimy na dwa rozłąozne podzbiory A i B, przy ozym sposób podziału jest opisany po przez nową zmienną losową Y, gdzie:
Y = -
a , gdy X 6 A
gdy. X 6 B
(u)
Przekształcając wg powyższej reguły oiąg analizowanyoh wartośoi próbek sygnału otrzymujemy nowy oiąg wartości zmiennej losowej. Każdy odcinek ta kiego ciągu, składająoy się z elementów jednego rodzaju (a lub b), które go przedłużenie w prawo lub w lewo oznaozałoby włączenie do tego odcinka elementu innego typu, nazywamy serią. .Liozba wszy- °b el°-
Niech y 1( y2. i .. yN będzie realizacją ciągu stkich oiągów, w któryoh będzie (^) na elementów mentów b wynosi:
[ n 1 N
l “a l “bJ Jeżeli hipoteza o niezależności Jest słuszna,
Y 1«Y
stąpienia każdej realizacji jest jednakowe i wynosi:
Kryterium niestacJonarności sygnałów». (^) 2 1
Rozkład liczby R serii przy tym warunku wyraża się wzorem: /n_ - ^\ , ru. - 1 ^ 2I (^) I r A * , (^) .' I r _ t • dla r = 2k
p (R = r |na ,nb ) = ,
T T T ( 6 ) ,n - 1 , ( *. ) c^ :^ :j^
c - : > ( V i
(!)
— ; dla r = 2k+
k = 0,1,2,...,N/2.
Dla potrzeb analizy staoJonarności sygnału ciąg wartości próbek tago sygnału przetwarzany w ten sposób, Ze wyznaczany medianę analizowanego zbioru próbek, a następnie tworzymy serie wartości większych i równych o- raz wartości mniejszych od mediany. Sposób weryfikaoji hipotezy o losowej niezależności danego ciągu pró bek Jest następująoy:
- ustalamy poziom Łstotmośói hipotezy o staoJonarcośoi analizowanego syg **nału rf;
- znajdujemy dwie krytyczne liozby serii R( i Ej takis, aby**
p (r < R, ) = P(R > Rj ) = ( 7 )
Wartośoi krytycznych liczb serii są podawane w postaci tablio. Dowodzi się takZe, Ze dla duZyob lioznośoi oiągów n wartości statys tyki R mogą być aproksymowane poprzez rozkład normalny o parametrach:
li (^) 7' N ( 8 )
( 9 )
gdzie: N - liozba próbek w analizowanym ciągu.
« 1. NIESTACJONARNY SYGNAŁ AKUSTYCZNY PIECA ŁUKOWEGO JAKO PRZEDMIOT BADAN
Analizę sygnału akustycznego emitowanego przez działający piec łukowy prowadzono przy załoZeniu, Ze jest to niestaoJonarny sygnał losowy. Opracowany został program dla EMC, którego sohemat blokowy podano w pra cy (5]. Program ten wykorzystuje test staoJonarności oparty na ceorii se
Kryterium niestacjonarności sygnałów... (^) 77
Analiza tych wyników wykazuje, że w badanym zakresie zmienności mini malnej szerokości okna czasowego wielkość ta nie wpływa w znaczący sposób na podział realizacji sygnału akustyoznego pieca lukowego na podrealiza- cje '’stacjonarne". Niedostatkiem przedstawionego sposobu postępowania badawczego jest fakt, że umożliwia on analizę stacjonarności jcdno-wymiarowego procesu sygnału losowego. Jeżeli badany sygnał jest opisany większą liczbą cech, zachodzi potrze ba rozbudowania zaproponowanego sposobu analizy stacjonarności dla przy padku wielowymiarowego. Punktem wyjścia będą tu dwa znane twierdzenia: A. "Suma procesów stacjonarnych jest procesem stacjonarnym”. B. "Jeżeli możemy wykazać, że chociaż jedna z realizacji procesu losowego nie spełnia warunków staojonarności, to proces ten jest procesem nie- stac jonarnyra". Możemy więc twierdzić, że jeżeli ohooiaż jedna z badanych składowych sygnału akustyoznego pieca łukowego nie wykazuje cech stacjonarności, to wielowymiarowy sygnał jest także sygnałem niestacjonarnym. V pierwszym kroku analizy sygnału wielowymiarowego badamy więc stacjo- narność jego składowych opisaną powyżej metodą. Jeżeli sygnał jest niesta cjonarny, otrzymujemy odpowiadającą liczbie wyróżnionych składowych syg nału liczbę ciągów staojonarnych podrealizacji tych składowych o różnych licznościach i różnych czasach poszczególnych odcinków. Dla określenia spo sobu podziału na podrealizacje stacjonarne wielowymiarowej realizacji ana lizowanego sygnału wykorzystujemy twierdzenie o sumie sygnałów procesów staojonarnych. Zasadę podziału ilustruje rys. 1.
SKŁADOWA 125 Hz
- • i - 250 Hz
- w - 1 0 0 0 Hz
CZTER0W YM IAR0W A R E A LIZ A C JA SYGNAŁU t[sl
Rys. 1. Zasada podziału wielowymiarowego sygnału na "podrealizaoje" sta cjonarne
J. Kaźmiero zak
Po przekształceniu realizacji sygnału akustyoznego pieca łukowego w se kwencję staojonarnych podrealizacji, w których metodą uśredniania oszaco wano wartości wybranych ocen tego sygnału, można dopatrzyć się pewnego po dobieństwa tak zmodyfikowanej postaci sygnału do szozególnego procesu lo sowego, jakim Jest proces Poissona. ściślej - w grę wchodzi pewien ogólniejszy wariant takiego procesu. 0 ile bowiem prooes Poissona możemy przedstawić jako sekwencję jednakowych zdarzeń typu: skok jednostkowy lub impuls Diraca, następujących kolejno po sobie z losowo zmiennym krokiem czasowym (rys. 2), to badany sygnał cha rakteryzuje się nie tylko losowośoią kroku czasowego (długość stacjonar nych podrealizacji), ale także różnicami amplitudy i znaku zdarzeń eleneo- tarnych (rys. 3)»
Rys. 2. Procerf Poissona
Podobieństwo sygnału akustycznego pieoa łukowego do uogólnionego proce su Poissona stanowiło podstawę dla sformułowania następująoej hipotezy: V analizowanym sygnale wielkością przedziałów cza sowych pomiędzy zdarzenia mi rządzi rozkład wykładni czy prawdopodobieństwa o gęstośoi opisanej zależno ścią [3] :
g. ,(t) = (4)
gdzie X j e s t parametrem roz kładu.
Rys. 3. Uogólniony prooes Poissona
80 J.^ Kąźmierczak
li p r z y s t a j e b a d a n y sygnał, s t a n o w i p r z e k a z i n f o r m a c j i o i l o ś c i o w y m c h a r a k t e r z e t r e n d ó w c z a s o w y c h w tym sygnale. A n a l i z a p r z e d s t a w i o n y c h w y n i k ó w w t a b l i c y 2 w y r a ź n i e w s k a z u j e na s i l n e z r ó ż n i c o w a n i e z g o d n o ś c i j a d a n e g o p o d z i a ł u z h i p o t e t y c z n y m r o z k ł a d e m w z a l e ż n o ś c i od s k ł a d o w e j c z ę s t o t l i w o ś c i s y g n a ł u. N a j w i ę k s z ą z g o d n o ś ć z h i p o t e t y c z n y m r o z k ł a d e m w y k a z u j e p o d z i a ł na p o d r e a l i z a c j e s t a c j o n a r n e z m i e n n o ś c i w c z a s i e p o z i o m u s y g n a ł u w o k t a w o w y m p a ś m i e c z ę s t o t l i w o ś c i 2 3 0 Hz, n a j m n i e j s z ą z g o d n o ś ć - p o z i o m w p a ś m i e 1000 Hz. W d a l s z y c h b a d a n i a c h s t w i e r d z o n o , że s k ł a d o w e s y g n a ł u , m n i e j po d a t n e n a a p r o k s y m a c j ę r o z k ł a d e m w y k ł a d n i c z y m , z n a c z n i e e f e k t y w n i e j m o g ą b y ć w y k o r z y s t a n e j ako n o ś n i k i i n f o r m a c j i o c z a s o w y c h z m i a n a c h ź r ó d ł a t ego s y g n ału. W w y n i k u prób u z y s k a n i a na p o d s t a w i e a n a l i z y e f e k t u a k u s t y c z n e g o p i e c a ł u k o w e g o d a n y c h o p r o c e s i e r o z t a p i a n i a w s a d u w t y m p i e c u s t w i e r d z o n o , że n a j b a r d z i e j 'efektywnym w b a d a n y m z a k r e s i e w i d m a s y g n a ł u n o ś n i k i e m i n f o r m a c ji o o b s e r w o w a n y m p r o c e s i e jest s k ł a d o w a 1000 Hz, a n a j m n i e j e f e k t y w n y m - s k ł a d o w a 2 5 0 Hz. O p i s a n e p o w y ż e j r e z u l t a t y p rac b a d a w c z y c h s t a n o w i ą p o d s t a w ę do s f o r m u ł o w a n i a n a s t ę p u j ą c y c h w n i o s k ó w :
1. W y n i k p o d z i a ł u w g z a p r o p o n o w a n e g o s p o s o b u r e a l i z a c j i n i e s t a c j o n a r n e g o s y g n a ł u l o s o w e g o na p o d r e a l i z a c j e " s t a c j o n a r n e " u m o ż l i w i a o s z a c o w a n i e **i n t e n s y w n o ś c i s k ł a d o w e j s y s t e m a t y c z n e j w t ym s y gnale.
- T r e n d w sy g n a l e , d o b r z e p o d d a j ą c y się a p r o k s y m a c j i m o d e l e m losowym,jest** m a ł o e f e k t y w n y m n o ś n i k i e m i n f o r m a c j i o c z a s o w e j z m i e n n o ś c i z j a w i s k g e **n e r u j ą c y c h ten sygnał.
- P O D S U M O W A N I E**
W y n i k i b a d a ń p o t w i e r d z i ł y m o ż l i w o ś ć a n a l i z y n i e s t a c j o n a r n o ś c i s y g n a ł ó w l o s o w y c h z w y k o r z y s t a n i e m p o d z i a ł u r e a l i z a c j i s y g n a ł u n i e s t a c j o n a r n e g o na c iąg s t a c j o n a r n y c h p o d r e a l i z a c j i. T a k ż e s t o s o w a n i e w t a k i m p o s t ę p o w a n i u "okna c z a s o w e g o " o z m i e n n e j s z e r o k o ś c i o k a z a ł o się u z a s a d n i o n e. S t w i e r d z o n o r ó w n o c z e ś n i e , że w y n i k i a n a l i z y s t a c j o n a r n o ś c i ,mogą s t a n o w i ć p o d s t a w ę do w s t ę p n e g o w n i o s k o w a n i a o t a k i c h c e c h a c h b a d a n e g o s y gnału, jak z d o l n o ś ć s k ł a d o w y c h tego s y g n a ł u d o p r z e n o s z e n i a i n f o r m a c j i o k r e ś l o n e go ro d z a j u.
L I T E R A T U R A
[1] D e a u c h a m p K. G. : P r z e t w a r z a n i e s y g n a ł ó w m e t o d a m i a n a l o g o w y m i i c y f r o w y m i. WNT, W a r s z a w a 1978. ✓ [2] H e n d a t J.S., P i e r s o l A.G. : M e t o d y a n a l i z y i p o m i a r u s y g n a ł ó w losowych. PWN, W a r s z a w a 1976.
Kryterium niestacjonarności sygnałów. 81
[ 3 ] Benjamin J.R., Cornell A.C.: Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i teorii decyzji dla inżynierów. WNT, Warszawa 1977, [ł] Franks L.E. : Teoria sygnałów. PWN, Warszawa 1975 |5l Kaźmierczak J. : The possibilities of controlling non-stationarny ran dom processes by means of acoustic methods. Lectures of the 7th Collo quium on Acoustics, Budapest 26-30.03.1979, OMKDK-TECHNOINFORM Buda pest 1979, ss. 9-15. [6] Kaźmierczak J. : Some aspects of the non-stationarity of acoustic sig nals in the case of elektric arc furnaces, Proceedings of Inter - Noi se 79, Warsaw 11.-13.09.1979, PP. 333-336. [ 7 ] Zieliński R. : Generatory liczb losowych. WNT, Warszawa 1979.
Recenzent: Prof. zw. dr inż. Janusz Kacprowski
Wpłynęło do Redakcji 20.11.1980 r.
KPIIIEPi?,! HEJT AIflOHAPHOCIH CHIUAJIOB B KOHCTP/rCaiOHilciX HCCJUflOBAHHflX MAfifflii
P e 3 10 M e
IIpeflOTaBiieHu npoS^ewM aHajiH3a HecTaRHOHapHHX cnrHajiOB,npen,cTa3jiHioimix o o - 6oit HOCHTeJIH HH(J)OpMaiflIH B TaK Ha3HBaeM!iX KOHCIpyKUHOHHHX HCCJieflOBaHHHX w a- uihh* OnaoaHH Tpy^HOCTz aHaJin3a TaKHX carH anoB a apew osieH cnocofi noBeaeHHH, HcnojiB3yioqnii oiipeqeJieHHue cBogoTBa carH ajioB , oBcyxqaeM oro T an a. Pe3yjiBiaThi aHaJiH3a H ecianaoH apH oro BMaTapoBaHHOro cHcieMOft ManuHU caraajx a oScyjsmeHH Ha npaMepe aK y ciaaeo K o ro ajxJeKTa sjieKTpocTanen.naBHJibHux qyroB ux n e a e a.
THE CRITERION OF THE NON *• 3TATI0NARITY O F SIGNALS
IN CONSTRUCTIONAL RESEARCHES OF MACHINES
S u m m a r y I The paper reports some problems connected with the analysis of non stationary signals which are used as carriers of information in the so - called constructional tests of machines. The difficulties of the analy sing such signals are described and the procedure is proposed which is ba sed on some particular features of signals of the discussed kir^d. The results of analysing of the non - stationary signal emitted by a machine complex are presented in*this paper using as an example the accou- stic signal of electric arc furnaces.
