Zbieżności ciągów, rozkłady- Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne

Pobierz Zbieżności ciągów, rozkłady- Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień zadania domowe 4, 10 grudnia 2012 1. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (Xn), (Yn), gdzie Xn ∼ Cauchy(0, 1n) natomiast Yn ∼ Cauchy(0, n). Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu. 2. Niech X1, X2, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z pa- rametrem λ. Oblicz E( 1 X ), gdzie X = 1 n ∑n i=1Xi. 3. Niech X1, X2, . . . , Xn, . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, 2]. Niech Yn = X1 ·X2 · . . . ·Xn. Która z następujących równości jest prawdziwa? A) limn→∞ P (Yn ≤ 1) = 0, B) limn→∞ P (Yn ≤ 1) = 12 , C) limn→∞ P (Yn ≤ (2e) n) = 0, D) limn→∞ P (Yn ≤ (2e) n) = 1 2 , E) limn→∞ P (Yn ≤ (2e) n) = 1, Wskazówka: Wykorzystaj Centralne Twierdzenie Graniczne. 4. Zmienne losowe U i V są niezależne i mają rozkłady jednostajne na przedziale (0, 2). Niech X = max{U, V } i Y = min{U, V }. Wtedy prawdziwe jest następujące stwierdzenie: A) cov(X, Y ) = 0 B) P (X2 + Y 2 < 4) = 0, 5 C) P (X + Y ≤ 2)) = 0, 75 D) P (X − Y ≥ 1) = 0, 5 E) cov(X, Y ) = 1 9 uwaga: • za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 1 punkt; • przewidziana jest punktacja: 0,1 2 lub 1pkt; • zadania można rozwiązywać w podzespołach dwuosobowych; termin oddania pracy domowej: 8 stycznia 2012; docsity.com