Zbior-zadan-z-matematyki-2.pdf, Schematy z Geometria

Pobierz Zbior-zadan-z-matematyki-2.pdf i więcej Schematy w PDF z Geometria tylko na Docsity!

Matura z matematyki

Matura z matematyki

Materiały pomocnicze

dla nauczycieli i uczniów

opracowane przez

Centralny Zespół

Ekspertów Matematycznych

Centralna Komisja Egzaminacyjna

Warszawa 2014

Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Publikacja jest rozprowadzana bezpłatnie.

Publikacja opracowana przez Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych działający w ramach projektu: „Pilotaż nowych egzaminów maturalnych” realizowanego przez Centralną Komisję Egzaminacyjną pod kierunkiem Agnieszki Sułowskiej:

Henryk Dąbrowski Elżbieta Dittmajer Mieczysław Fałat Wojciech Guzicki Halina Kałek Piotr Ludwikowski Edyta Marczewska Anna Olechnowicz Marian Pacholak Maria Pająk-Majewska Waldemar Rożek Elżbieta Sepko-Guzicka Agata Siwik Leszek Sochański Edward Stachowski

Skład: Jakub Pochrybniak

Wydawca: Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa 2014

ISBN 978-83-940902-0-

• Słowo wstępne
  • nierówności 1. O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych
  • 1.1. Zastosowania pierwszej nierówności
    • 1.1.1. Zadania wprowadzające
    • 1.1.2. Nierówność 1.
    • 1.1.3. Przykłady zastosowań
  • 1.2. Zastosowania drugiej nierówności
    • 1.2.1. Zadanie wprowadzające
    • 1.2.2. Nierówność 2.
    • 1.2.3. Przykłady zastosowań
  • 1.3. Zastosowania trzeciej nierówności
    • 1.3.1. Zadania wprowadzające
    • 1.3.2. Nierówność 3.
    • 1.3.3. Przykłady zastosowań
• 2. Zadania na dowodzenie. Geometria, cz. I
  • 2.1. Zadania z rozwiązaniami
    • 2.1.1. Rachunek kątów
    • 2.1.2. Nierówność trójkąta
    • 2.1.3. Przystawanie trójkątów
• 3. Zadania na dowodzenie. Geometria, cz. II
  • 3.1. Zadania z rozwiązaniami
    • 3.1.1. Twierdzenie Pitagorasa
    • 3.1.2. Geometria okręgu
    • 3.1.3. Okręgi styczne
    • 3.1.4. Twierdzenie Pitagorasa i okręgi
• 4. Zadania na dowodzenie. Geometria, cz. III
• 5. Zadania z kombinatoryki, czyli o sztuce zliczania
  • 5.1. Podstawowe oznaczenia i terminologia
  • 5.2. Zasada równoliczności
  • 5.3. Reguła dodawania
  • 5.4. Reguła mnożenia
  • 5.5. Reguły dodawania i mnożenia razem
  • 5.6. Współczynniki dwumianowe i dowody kombinatoryczne.
  • 5.7. Wzory arytmetyczne
  • 5.8. Dodatki
    • 5.8.1. Zasada włączeń i wyłączeń
    • 5.8.2. Wzór dwumianowy Newtona
• 6. O rozwiązywaniu zadań z rachunku prawdopodobieństwa
  • 6.1. Zakres podstawowy
  • 6.2. Zakres rozszerzony
• 7. Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
  • 7.1. Podstawowe własności prawdopodobieństwa warunkowego
  • 7.2. Ciekawostki
  • 7.3. Paradoksy
  • 7.4. Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu
  • 7.5. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym)
• 8. Elementy analizy matematycznej w zadaniach na egzaminie maturalnym
  • 8.1. Przykłady
• A. Zestaw zadań I Dodatek — zestawy zadań
• B. Zestaw zadań II
  • B.1. Szereg geometryczny
  • B.2. Granice ciągów
  • B.3. Granica ciągu (z parametrem)
  • B.4. Granice funkcji

Słowo wstępne

Rok 2015 staje się rokiem przełomowym dla maturzystów i ich nauczycieli, ponieważ egza- min maturalny istotnie się zmienia. Modyfikacja stała się konieczna, gdyż nastąpiły zmia- ny w podstawie programowej nauczania matematyki. Właśnie w 2015 roku do egzaminu maturalnego przystąpią po raz pierwszy ci absolwenci szkół ponadgimnazjalnych, którzy przygotowywali się do tego egzaminu w oparciu o nową podstawę programową. Wybór przedmiotów realizowanych na poziomie rozszerzonym na początku drugiej klasy w istotny sposób wpływa na wybory egzaminacyjne. Na te wybory wpływa również zmiana w for- mule egzaminu maturalnego — zdający obowiązkowo przystępuje do jednego egzaminu na poziomie rozszerzonym. Bardzo dobre recenzje ewolucji, która dokonała się w strukturze arkusza egzaminacyjnego na poziomie podstawowym, wskazały kierunek, który powinno się uwzględnić w konstrukcji arkusza na poziomie rozszerzonym.

W Komentarzu do podstawy programowej przedmiotu matematyka autorzy — Zbigniew Semadeni, Marcin Karpiński, Krystyna Sawicka, Marta Jucewicz, Anna Dubiecka, Wojciech Guzicki, Edward Tutaj napisali:

„O tym, jaka będzie wykładnia podstawy programowej, zadecyduje praktyka na- uczania i praktyka egzaminów maturalnych. Po kilku latach funkcjonowania nowej podstawy programowej, w wyniku współdziałania szkoły, komisji egzaminacyjnych i uczelni wyższych, ustali się pewien poziom interpretowania i realizowania obo- wiązujących wymagań .”

Aby zrealizować ten zapis, w 2011 roku, przed Centralnym Zespołem Ekspertów Matema- tycznych postawiono nowe zadania. Wśród tych zadań, między innymi, było zapropono- wanie zmian w strukturze egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie rozszerzonym i przedstawienie poziomu interpretowania i realizowania wymagań zapisanych w podstawie programowej. Przez prawie trzy lata Zespół opracowywał propozycję zmian. Testowane by- ły różne koncepcje struktury egzaminu i różne rodzaje zadań. W wyniku analiz opracowań wyników testowania i wielogodzinnych dyskusji zaproponowano koncepcję egzaminu, która znalazła odzwierciedlenie w „Informatorze o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 2014/2015”.

Równolegle z kształtowaniem się struktury egzaminu, środowisko nauczycieli matematyki na bieżąco było informowane o efektach pracy Zespołu, w trakcie cyklicznie organizowanych konferencji dla doradców metodycznych i konsultantów. Podczas pracy nad formułą egzami- nu powstawały również materiały dydaktyczne pomocne w interpretacji oraz realizacji nowej podstawy programowej. Dobre przyjęcie przez uczestników treści wykładów i materiałów konferencyjnych zachęciło nas do opublikowania ich w zwartej publikacji.

Kolejne roczniki maturzystów, w tym absolwentów techników, będą zdawały egzamin ma- turalny w nowej formule. Publikacja, którą Państwu proponujemy, dotyczy głównie tych

Rozdział 1

O trzech elementarnych nierównościach

i ich zastosowaniach przy dowodzeniu

innych nierówności Edward Stachowski

Przy dowodzeniu nierówności stosujemy elementarne przejścia równoważne , przeprowadza- my rozumowanie typu:

jeżeli a > 0 oraz b > 0, to:

i) a b jest równoważne a^2 b^2 , ii) a b jest równoważne

a

b,

albo stosujemy przejścia, które nie są równoważne.

Korzystamy wtedy

 z relacji przechodniości: jeżeli a b oraz b c, to a c,

albo

 z możliwości dodawania stronami zgodnie skierowanych nierówności: jeżeli a b oraz c d, to a + b c + d,

albo

 z możliwości mnożenia stronami zgodnie skierowanych nierówności dla liczb dodatnich: jeżeli a b 0 oraz c d 0 , to a · c b · d, gdyż ac − bd = a(c − d) + (a − b)d 0.

Zapowiadane w tytule trzy elementarne nierówności są następujące (z podanej numeracji będziemy korzystali w przedstawianych rozwiązaniach przykładowych zadań):

1. Dla każdych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność

a^2 + b^2 2ab,

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b.

Dowód Przekształcamy nierówność równoważnie:

a^2 + b^2 2ab, a^2 − 2ab + b^2 0, (a − b)^2 0.

Ostatnia nierówność jest oczywista.

10 1. O trzech elementarnych nierównościach...

2. Nierówność dla średniej arytmetycznej i geometrycznej. Średnią geometryczną dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych a, b nazywamy licz- bę

ab. Dla każdych nieujemnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność

a + b 2

ab,

którą często zapisujemy w postaci

a + b 2

ab,

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b.

Dowód Przekształcamy nierówność równoważnie:

a + b 2

ab,

a + b 2

ab, a − 2

ab + b 0, ( √ a −

b

Ostatnia nierówność jest oczywista.

3. Dla każdych liczb rzeczywistych a, b, takich, że ab > 0, prawdziwa jest nierówność a b

b a

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b. Jeżeli ab < 0, to a b

• b a

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = −b.

Dowód a) Ponieważ ab > 0, to mnożąc obie strony nierówności przez ab otrzymujemy nierów- ność a^2 + b^2 2ab, równoważną z oczywistą nierównością (a − b)^2 . Równość ma miejsce, gdy a = b. b) Ponieważ ab < 0, to mnożąc obie strony nierówności przez ab otrzymujemy nierów- ność a^2 + b^2 −2ab, równoważną z oczywistą nierównością (a + b)^2 . Równość ma miejsce, gdy a = −b.

12 1. O trzech elementarnych nierównościach...

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność równoważnie:

(x + a)^2 4ax, x^2 + 2ax + a^2 4ax, x^2 − 2ax + a^2 0, (x − a)^2 0.

Ostatnia nierówność jest oczywista.

Równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x = a.

Przykład 2.

Wykaż, że jeżeli a, b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oraz c jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta, to a + b ¬ c

Rozwiązanie

Jest wiele dowodów geometrycznych tej nierówności, my przedstawimy dowód algebraicz- ny, ale oczywiście nie obejdzie się bez zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Pokażemy, że (a + b)^2 ¬ 2c^2 , co jest równoważne z tezą.

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ¬ a^2 +

a^2 + b^2

• b^2 = 2

a^2 + b^2

= 2c^2.

Równość ma miejsce, gdy trójkąt jest równoramienny, czyli jest „połową kwadratu”.

Uwaga

Zauważmy, że „przy okazji” udowodniliśmy nierówność o związku między średnią arytme- tyczną i średnią kwadratową.

Średnia kwadratowa liczb a, b jest równa

a^2 + b^2

Wykazaliśmy, że dla dowolnych liczb a, b prawdziwa jest nierówność

a + b 2

a^2 + b^2 2

i gdy a 0, b 0 , to równość zachodzi dla a = b.

Przykład 3.

Wykaż, że jeżeli w prostopadłościanie a, b, c są długościami krawędzi wychodzącymi z jed- nego wierzchołka oraz d jest długością przekątnej tego prostopadłościanu, to a+b+c ¬ d

Rozwiązanie

Jest wiele dowodów geometrycznych tej nierówności, my przedstawimy dowód algebraiczny, korzystając z wzoru na długość przekątnej prostopadłościanu: a^2 + b^2 + c^2 = d^2.

1.1. Zastosowania pierwszej nierówności 13

Pokażemy, że (a + b + c)^2 ¬ 3d^2 , co jest równoważne z tezą.

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc ¬ ¬ a^2 + b^2 + c^2 +

a^2 + b^2

a^2 + c^2

b^2 + c^2

a^2 + b^2 + c^2

= 3d^2.

Równość ma miejsce dla a = b = c, czyli gdy prostopadłościan jest sześcianem.

Uwaga

Średnia arytmetyczna liczb x 1 , x 2 ,... , xn to

x 1 + x 2 +... + xn n

średnia kwadratowa liczb x 1 , x 2 ,... , xn to √ x^21 + x^22 +... + x^2 n n

Rozumując tak, jak w przykładach 2. oraz 3., możemy udowodnić nierówność między średnią arytmetyczną i średnią kwadratową liczb x 1 , x 2 ,... , xn tzn. wykazać, że dla dowolnych liczb x 1 , x 2 ,... , xn prawdziwa jest nierówność

x 1 + x 2 +... + xn n

x^21 + x^22 +... + x^2 n n

Przykład 4.

Wykaż, że jeżeli x + y = a, to x^2 + y^2

a^2 2

W szczególności, gdy x + y = 1 , to x^2 + y^2

Rozwiązanie

Podnosimy obie strony równości x + y = a do kwadratu i korzystamy z nierówności (1).

a^2 = (x + y)^2 = x^2 +2xy+y^2 ¬ x^2 +

x^2 + y^2

+y^2 = 2

x^2 + y^2

, stąd po podzieleniu obu stron nierówności przez 2 otrzymujemy tezę.

Równość ma miejsce, gdy x = y =

a 2

Przykład 5.

Wykaż, że jeżeli x + y + z = a, to x^2 + y^2 + z^2

a^2 3

W szczególności x + y + z = 1 , to x^2 + y^2 + z^2 3

1.2. Zastosowania drugiej nierówności 15

1.2. Zastosowania drugiej nierówności

1.2.1. Zadanie wprowadzające

Zadanie 3.

Wykaż, że jeżeli x 0 , to x + 1 2

x.

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność równoważnie:

x + 1 2

x, x − 2

x + 1 0, ( √ x

x + 1 0, ( √ x − 1

Ostatnia nierówność jest oczywista.

Równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x = 1.

1.2.2. Nierówność 2.

Da każdych liczb nieujemnych rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność dla średniej arytmetycznej i geometrycznej a + b 2

ab, (2)

którą często zapisujemy w postaci a + b 2

ab.

Równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy a = b.

Uwaga

Nierówność ta zasługuje na szczególną uwagę.

Z faktu, że dla każdych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność

a + b 2

ab wynika,

że:

a) jeżeli stała jest sumą dwóch liczb dodatnich, to ich iloczyn jest największy, gdy obie liczby są równe (np. wśród prostokątów o ustalonym obwodzie największe pole ma kwadrat), b) jeżeli stały jest iloczyn dwóch liczb dodatnich, to ich suma jest najmniejsza, gdy obie liczby są równe (np. wśród prostokątów o ustalonym polu najmniejszy obwód ma kwa- drat).

16 1. O trzech elementarnych nierównościach...

1.2.3. Przykłady zastosowań

Przykład 1.

Wykaż, że jeżeli x > 0, y > 0 oraz xy = 25 , to ( 1 + x) ( 1 + y) 36.

Rozwiązanie

( 1 + x) ( 1 + y) = 1 + xy + x + y = 26 + (x + y) 26 + 2

Równość ma miejsce, gdy x = y = 5.

Przykład 2.

Wykaż, że jeżeli a, b, x są liczbami dodatnimi oraz ab = 4 , to (a + x) (b + x) (x + 2 )^2.

Rozwiązanie

(a + x) (b + x) = x^2 +ab+ax+bx = x^2 + 4 +(a + b) x x^2 + 4 + 2

4 · x = x^2 +4x+ 4 = (x + 2 )^2.

Równość ma miejsce, gdy a = b = 2.

Przykład 3.

Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami dodatnimi oraz xyz = 1 , to

( 1 + x) ( 1 + y) ( 1 + z) 8.

Rozwiązanie

Zapisujemy trzy razy nierówność dla średnich:

1 + x 2

x, 1 + y 2

y, 1 + z 2

z.

Mnożąc te trzy nierówności stronami otrzymujemy tezę.

Równość ma miejsce, gdy x = y = z = 1.

Przykład 4.

Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami dodatnimi, to

(x + y) (x + z) (y + z) 8xyz.

Rozwiązanie

Zapisujemy trzy razy nierówność dla średnich:

x + y 2

xy, y + z 2

yz, x + z 2

xz.

18 1. O trzech elementarnych nierównościach...

Przekształcając lewą stronę nierówności otrzymujemy

( 1 + x) ( 1 + y) = 1 + x + y + xy ¬ 1 + 16 + 64 = 81,

co należało wykazać.

1.3. Zastosowania trzeciej nierówności

1.3.1. Zadania wprowadzające

Zadanie 4.

Wykaż, że jeżeli x > 0, to x +

x

Rozwiązanie

Ponieważ x > 0, to po pomnożeniu obu stron nierówności przez x otrzymujemy nierówność x^2 + 1 2x, równoważną z oczywistą nierównością (x − 1 )^2 0. Równość ma miejsce, gdy x = 1.

Zadanie 5.

Wykaż, że jeżeli x < 0, to x + 1 x

Rozwiązanie

Ponieważ x < 0, to po pomnożeniu obu stron nierówności przez x otrzymujemy nierówność x^2 + 1 − 2x, równoważną z oczywistą nierównością (x + 1 )^2 0. Równość ma miejsce, gdy x = − 1.

1.3.2. Nierówność 3.

a) Jeżeli ab > 0, to a b

b a

2. (3a) b) Jeżeli ab < 0, to a b

b a

¬ −2. (3b)

1.3.3. Przykłady zastosowań

Przykład 1.

Z nierówności (3a) wynika natychmiast, że jeżeli α jest kątem ostrym, to

sin α cos α

cos α sin α

1.3. Zastosowania trzeciej nierówności 19

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko gdy α = 45 ◦.

Przykład 2.

Wykaż, że jeżeli xy > 0, to (x + y)

x

y

Rozwiązanie

Przekształcając lewą stronę nierówności otrzymujemy:

(x + y)

x

y

x y

y x

x y

y x

Stosujemy teraz nierówność (3):

x y

• y x

Równość ma miejsce, gdy x = y.

Przykład 3.

Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami dodatnimi, to (x + y + z)

x

y

z

Rozwiązanie

Przekształcając lewą stronę nierówności otrzymujemy:

(x + y + z)

x

y

z

x y

x z

y x

y z

z x

z y

x y

y x

( (^) x z

z x

y z

z y

Stosujemy teraz do każdego z trzech nawiasów nierówność (3)

x y

y x

( (^) x z

z x

y z

z y

i otrzymujemy tezę.

Równość ma miejsce, gdy x = y = z.

Przykład 4.

Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami dodatnimi, to

xy (x + y − 2z) + yz (y + z − 2x) + xz (x + z − 2y) 0.