Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa
Inżynieria Biomedyczna, semestr zimowy 2015/2016
Zestaw 7: Estymacja
Zagadnienia: estymacja punktowa, estymacja przedziałowa, przedziały ufności;
Zad.1 Wykaż, że dla dowolnego rozkładu o skończonej wartości oczekiwanej µ, średnia arytmetyczna
jest nieobciążonym estymatorem parametru µ.
Zad.2 Sprawdź, czy wariancja empiryczna
jest nieobciążonym estymatorem parametru
,
będącego wariancją cechy elementów populacji generalnej.
Zad.3 Przed rozpoczęciem maratonu 31 zawodnikom w wieku 30-40 lat zmierzono ciśnienie skurczowe
krwi. U jednego z nich stwierdzono 100 mmHg, u jednego 110 mmHg, u pięciu 120 mmHg, u siedmiu
130 mmHg, u dziewięciu 140 mmHg, u czterech 150 mmHg, u trzech 160 mmHg i u jednego 170 mmHg.
Znajdź 95% przedział ufności dla ciśnienia skurczowego w rozpatrywanej populacji maratończyków.
Zad.4 Właściciel portalu internetowego chciał określić do jakiej grupy użytkowników trafia ze swoimi
informacjami. Wyznacz 99-procentowy przedział ufności dla średniego wieku użytkowników tego
portalu na podstawie danych zebranych w poniższej tabeli.
Wiek
Liczba użytkowników
Przedziały
klasowe
(granice)
Środki przedziałów
klasowych
Szereg
rozdzielczy
Szereg
skumulowany
Wartości
pomocnicze do
obliczania średniej
∙
25
,
35
)
35
,
45
)
45, 55)
55
,
65
)
65
,
75
)
30
40
50
60
70
17
116
493
545
186
17
133
626
1171
1357
510
4640
24650
32700
13020
Ogółem
1357
75520
Zad.5 W trakcie testów nowego modelu samochodu badano czas przyspieszania od 0 do 100 km/h. W
testach, w których wzięło udział 100 samochodów uzyskano średni czas = 6,7 s, odchylenie
odczytano natomiast z dokumentacji technicznej = 0,9 s. Zakładając, że czasy mają rozkład
normlany, na poziomie ufności 1 − = 0,95 zbudować przedział ufności dla wartości oczekiwanej
czasu przyspieszania.
Zad.6 Odchylenie standardowe błędu przyrządu pomiarowego jest znane. Zakładamy, że rozkład
błędów pomiarów jest rozkładem normalnym. W poniższej tabelce zapisano wyniki 10 pomiarów:
Nr pomiaru
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Wynik pomiaru
[mm]
7
7,5
8,5
8
6
7,5
6,5
5,5
7,5
6
Znajdź wartości liczbowe krańców przedziału ufności (w mm) dla wartości przeciętnej , przyjmując
= 1 i poziom ufności: a) 1 − = 0,99, b) 1 − = 0,98, c) 1 − = 0,95.
Zad.7 Wyznacz wartości liczbowe krańców przedziałów ufności dla parametru z zadania 6, ale nie
zakładając znajomości parametru .
Zad.8 Jak liczną próbę Polaków należałoby poddać badaniom statystycznym, aby długość przedziału
ufności dla średniego czasu spędzanego dziennie przed komputerem była nie większa niż 15 min.
Przyjmujemy, że mamy do czynienia z rozkładem normalnym o znanej wartości odchylenia
standardowego = 90 min dla całej populacji oraz przyjmujemy = 0,05.
