Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla ..., Streszczenia z Geometria analityczna

Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do ...

Typologia: Streszczenia

2022/2023

Załadowany 24.02.2023

metallic_eyes
metallic_eyes 🇵🇱

4.8

(14)

67 dokumenty

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla ... i więcej Streszczenia w PDF z Geometria analityczna tylko na Docsity! Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury. Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji egzaminacyjnych. Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie. SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby ............................................................................ 1 2. Potęgi i pierwiastki........................................................................................... 1 3. Logarytmy ........................................................................................................ 2 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2 5. Wzór dwumianowy Newtona ........................................................................... 2 6. Wzory skróconego mnożenia ........................................................................... 3 7. Ciągi ................................................................................................................. 3 8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4 9. Geometria analityczna ...................................................................................... 4 10. Planimetria ....................................................................................................... 6 11. Stereometria ................................................................................................... 12 12. Trygonometria ................................................................................................ 14 13. Kombinatoryka............................................................................................... 15 14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15 15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16 16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ............................................... 17 1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: dla 0 dla 0 x x x x x ≥⎧ = ⎨− <⎩ Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: 0x ≥ x x− = Dla dowolnych liczb x, y mamy: x y x y+ ≤ + x y x y− ≤ + x y x y⋅ = ⋅ Ponadto, jeśli 0y ≠ , to xx y y = Dla dowolnych liczb a oraz 0r ≥ mamy warunki równoważne: x a r a r x a r− ≤ ⇔ − ≤ ≤ + lubx a r x a r x a r− ≥ ⇔ ≤ − ≥ + 2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę: razy ...n n a a a= ⋅ ⋅ Pierwiastkiem arytmetycznym n a stopnia n z liczby 0a ≥ nazywamy liczbę 0b ≥ taką, że nb a= . W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: 2a a= . Jeżeli 0a < oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę 0b < taką, że nb a= . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. _____ * _____ Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: − dla 0a ≠ : 1n na a − = oraz 0 1a = − dla 0a ≥ : m n mna a= − dla 0a > : 1m n n m a a − = Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli 0a > i 0b > , to zachodzą równości: r s r sa a a +⋅ = ( )sr r sa a ⋅= r r s s a a a −= ( )r r ra b a b⋅ = ⋅ r r r a a b b ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb 0a ≠ i 0b ≠ . 4 8. FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej: ( ) 2f x ax bx c= + + , 0a ≠ , x R∈ . Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: ( ) ( )2f x a x p q= − + , gdzie 2 bp a = − , 4 q a Δ = − , 2 4b acΔ = − Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych ( ),p q . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy 0a > , do dołu, gdy 0a < . Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej ( ) 2f x ax bx c= + + (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania 2 0ax bx c+ + = ), zależy od wyróżnika 2 4b acΔ = − : − jeżeli 0Δ < , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), − jeżeli 0Δ = , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): 1 2 2 bx x a = = − − jeżeli 0Δ > , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): 1 2 bx a − − Δ = 2 2 bx a − + Δ = Jeśli 0Δ ≥ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: ( ) ( )( )1 2f x a x x x x= − − Wzory Viéte’a Jeżeli 0Δ ≥ to 1 2 1 2 b cx x x x a a − + = ⋅ = 9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek Długość odcinka o końcach w punktach ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= dana jest wzorem: ( ) ( )2 2 B A B AAB x x y y= − + − Współrzędne środka odcinka AB: , 2 2 A B A Bx x y y+ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x y O ( ),= B BB x y ( ),= A AA x y 5 • Wektory Współrzędne wektora AB : [ ],B A B AAB x x y y= − − Jeżeli [ ]1 2,u u u= , [ ]1 2,v v v= są wektorami, zaś a jest liczbą, to [ ]1 1 2 2,u v u v u v+ = + + [ ]1 2,a u a u a u⋅ = ⋅ ⋅ • Prosta Równanie ogólne prostej: 0Ax By C+ + = , gdzie 2 2 0A B+ ≠ (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli 0A = , to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli 0B = , to prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli 0C = , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: y ax b= + Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: tga α= Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina. Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt ( )0 0,P x y= : ( )0 0y a x x y= − + Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= : ( )( ) ( )( ) 0A B A B A Ay y x x y y x x− − − − − = • Prosta i punkt Odległość punktu ( )0 0,P x y= od prostej o równaniu 0Ax By C+ + = jest dana wzorem: 0 0 2 2 Ax By C A B + + + • Para prostych Dwie proste o równaniach kierunkowych 1 1y a x b= + 2 2y a x b= + spełniają jeden z następujących warunków: − są równoległe, gdy 1 2a a= − są prostopadłe, gdy 1 2 1a a = − − tworzą kąt ostry ϕ i 1 2 1 2 tg 1 a a a a ϕ − = + α b x O y y ax b= + 6 Dwie proste o równaniach ogólnych: 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + = − są równoległe, gdy 1 2 2 1 0A B A B− = − są prostopadłe, gdy 1 2 1 2 0A A B B+ = − tworzą kąt ostry ϕ i 1 2 2 1 1 2 1 2 tg A B A B A A B B ϕ − = + • Trójkąt Pole trójkąta ABC o wierzchołkach ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= , ( ),C CC x y= , jest dane wzorem: ( )( ) ( )( )1 2ABC B A C A B A C AP x x y y y y x xΔ = − − − − − Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: , 3 3 A B C A B Cx x x y y y+ + + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ • Przekształcenia geometryczne − przesunięcie o wektor [ ],u a b= przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A x a y b′ = + + − symetria względem osi Ox przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A x y′ = − − symetria względem osi Oy przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A x y′ = − − symetria względem punktu ( ),a b przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( )2 , 2A a x b y′ = − − − jednokładność o środku w punkcie ( )0,0 i skali 0s ≠ przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A sx sy′ = • Równanie okręgu Równanie okręgu o środku w punkcie ( ),S a b= i promieniu 0r > : ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = lub 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = gdy 2 2 2 0r a b c= + − > 10. PLANIMETRIA • Cechy przystawania trójkątów A B C D E F 9 • Twierdzenie Talesa Jeżeli proste równoległe AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O, to OA OB OA OB = ′ ′ . • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeżeli proste AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O oraz OA OB OA OB = ′ ′ , to proste AA′ i BB′ są równoległe. • Czworokąty Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu: 2 a bP h+ = ⋅ Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: 1sin sin 2 P ah a b AC BDα ϕ= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Romb Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości. Wzory na pole rombu: 2 1sin 2 P ah a AC BDα= = ⋅ = ⋅ ⋅ Deltoid Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: 1 2 P AC BD= ⋅ ⋅ A B C D h a b E B A ′A ′B O B A ′A ′B O A B CD α h a b ϕ aA B C D α h A B C D 10 • Koło Wzór na pole koła o promieniu r: 2P rπ= Obwód koła o promieniu r: 2Ob rπ= • Wycinek koła Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: 2 360 P r απ= ⋅ Długość łuku wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: 2 360 l r απ= ⋅ • Kąty w okręgu Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe. • Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy 2AOB CAB= ⋅ , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB. r O r O α B A O α α α 2α A B A C B O AC B O 11 • Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to 2PA PB PC⋅ = • Okrąg opisany na czworokącie Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: 180α γ β δ+ = + = • Okrąg wpisany w czworokąt W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: a c b d+ = + B C δ α β γ A D c a r A B C D b d C B P A . 14 12. TRYGONOMETRIA • Definicje funkcji trygonometrycznych sin y r α = cos x r α = tg y x α = , gdy 0x ≠ gdzie 2 2 0r x y= + > jest promieniem wodzącym punktu M • Wykresy funkcji trygonometrycznych siny x= cosy x= tgy x= • Związki między funkcjami tego samego kąta 2 2sin cos 1α α+ = sintg cos αα α = dla 2 kπα π≠ + k – całkowite • Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych 0 30 45 60 90 α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 nie istnieje x y M=(x, y) M’ O α r 15 • Funkcje sumy i różnicy kątów Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + = + − = − + = − − = + Ponadto mamy równości: ( ) ( )tg tg tg tgtg tg 1 tg tg 1 tg tg α β α βα β α β α β α β + − + = − = − ⋅ + ⋅ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. • Funkcje podwojonego kąta 2 2 2 2 sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α α α α = = − = − = − 13. KOMBINATORYKA • Wariacje z powtórzeniami Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. • Wariacje bez powtórzeń Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1 k n≤ ≤ ) różnych wyrazów, jest równa ( ) ( ) ( ) !1 ... 1 ! nn n n k n k ⋅ − ⋅ ⋅ − + = − • Permutacje Liczba sposobów, na które 1n ≥ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa !n . • Kombinacje Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k ( 0 k n≤ ≤ ) elementów, jest równa n k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Własności prawdopodobieństwa ( )0 1P A≤ ≤ dla każdego zdarzenia A⊂Ω ( ) 1P Ω = Ω – zdarzenie pewne ( ) 0P ∅ = ∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω ) ( ) ( )P A P B≤ gdy A B⊂ ⊂Ω ( ) ( )1P A P A′ = − , gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ , dla dowolnych zdarzeń ,A B ⊂ Ω ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ ≤ + , dla dowolnych zdarzeń ,A B ⊂Ω 16 • Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A⊂Ω jest równe ( ) A P A = Ω gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω . 15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH • Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb 1 2, ,..., na a a jest równa: 1 2 ... na a aa n + + + = • Średnia ważona Średnia ważona n liczb 1 2, ,..., na a a , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi 1 2, ,..., nw w w jest równa: 1 1 2 2 1 2 ... ... n n n w a w a w a w w w ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + • Średnia geometryczna Średnia geometryczna n nieujemnych liczb 1 2, ,..., na a a jest równa: 1 2 ...n na a a⋅ ⋅ ⋅ • Mediana Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych 1 2 3 ... na a a a≤ ≤ ≤ ≤ jest: − dla n nieparzystych: 1 2 na + (środkowy wyraz ciągu) − dla n parzystych: 1 2 2 1 2 n na a + ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu) • Wariancja i odchylenie standardowe Wariancją n danych liczbowych 1 2, ,..., na a a o średniej arytmetycznej a jest liczba: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 21 22 1 2... ...n na a a a a a a a a a n n σ − + − + + − + + + = = − Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.