Pobierz Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla ... i więcej Streszczenia w PDF z Geometria analityczna tylko na Docsity! Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury. Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji egzaminacyjnych. Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie. SPIS TREŚCI 1. Wartość bezwzględna liczby ............................................................................ 1 2. Potęgi i pierwiastki........................................................................................... 1 3. Logarytmy ........................................................................................................ 2 4. Silnia. Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2 5. Wzór dwumianowy Newtona ........................................................................... 2 6. Wzory skróconego mnożenia ........................................................................... 3 7. Ciągi ................................................................................................................. 3 8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4 9. Geometria analityczna ...................................................................................... 4 10. Planimetria ....................................................................................................... 6 11. Stereometria ................................................................................................... 12 12. Trygonometria ................................................................................................ 14 13. Kombinatoryka............................................................................................... 15 14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15 15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16 16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ............................................... 17 1 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: dla 0 dla 0 x x x x x ≥⎧ = ⎨− <⎩ Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: 0x ≥ x x− = Dla dowolnych liczb x, y mamy: x y x y+ ≤ + x y x y− ≤ + x y x y⋅ = ⋅ Ponadto, jeśli 0y ≠ , to xx y y = Dla dowolnych liczb a oraz 0r ≥ mamy warunki równoważne: x a r a r x a r− ≤ ⇔ − ≤ ≤ + lubx a r x a r x a r− ≥ ⇔ ≤ − ≥ + 2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę: razy ...n n a a a= ⋅ ⋅ Pierwiastkiem arytmetycznym n a stopnia n z liczby 0a ≥ nazywamy liczbę 0b ≥ taką, że nb a= . W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: 2a a= . Jeżeli 0a < oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę 0b < taką, że nb a= . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. _____ * _____ Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: − dla 0a ≠ : 1n na a − = oraz 0 1a = − dla 0a ≥ : m n mna a= − dla 0a > : 1m n n m a a − = Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli 0a > i 0b > , to zachodzą równości: r s r sa a a +⋅ = ( )sr r sa a ⋅= r r s s a a a −= ( )r r ra b a b⋅ = ⋅ r r r a a b b ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb 0a ≠ i 0b ≠ . 4 8. FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej: ( ) 2f x ax bx c= + + , 0a ≠ , x R∈ . Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: ( ) ( )2f x a x p q= − + , gdzie 2 bp a = − , 4 q a Δ = − , 2 4b acΔ = − Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych ( ),p q . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy 0a > , do dołu, gdy 0a < . Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej ( ) 2f x ax bx c= + + (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania 2 0ax bx c+ + = ), zależy od wyróżnika 2 4b acΔ = − : − jeżeli 0Δ < , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), − jeżeli 0Δ = , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): 1 2 2 bx x a = = − − jeżeli 0Δ > , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): 1 2 bx a − − Δ = 2 2 bx a − + Δ = Jeśli 0Δ ≥ , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: ( ) ( )( )1 2f x a x x x x= − − Wzory Viéte’a Jeżeli 0Δ ≥ to 1 2 1 2 b cx x x x a a − + = ⋅ = 9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek Długość odcinka o końcach w punktach ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= dana jest wzorem: ( ) ( )2 2 B A B AAB x x y y= − + − Współrzędne środka odcinka AB: , 2 2 A B A Bx x y y+ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x y O ( ),= B BB x y ( ),= A AA x y 5 • Wektory Współrzędne wektora AB : [ ],B A B AAB x x y y= − − Jeżeli [ ]1 2,u u u= , [ ]1 2,v v v= są wektorami, zaś a jest liczbą, to [ ]1 1 2 2,u v u v u v+ = + + [ ]1 2,a u a u a u⋅ = ⋅ ⋅ • Prosta Równanie ogólne prostej: 0Ax By C+ + = , gdzie 2 2 0A B+ ≠ (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli 0A = , to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli 0B = , to prosta jest równoległa do osi Oy; jeżeli 0C = , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: y ax b= + Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: tga α= Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina. Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt ( )0 0,P x y= : ( )0 0y a x x y= − + Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= : ( )( ) ( )( ) 0A B A B A Ay y x x y y x x− − − − − = • Prosta i punkt Odległość punktu ( )0 0,P x y= od prostej o równaniu 0Ax By C+ + = jest dana wzorem: 0 0 2 2 Ax By C A B + + + • Para prostych Dwie proste o równaniach kierunkowych 1 1y a x b= + 2 2y a x b= + spełniają jeden z następujących warunków: − są równoległe, gdy 1 2a a= − są prostopadłe, gdy 1 2 1a a = − − tworzą kąt ostry ϕ i 1 2 1 2 tg 1 a a a a ϕ − = + α b x O y y ax b= + 6 Dwie proste o równaniach ogólnych: 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + = − są równoległe, gdy 1 2 2 1 0A B A B− = − są prostopadłe, gdy 1 2 1 2 0A A B B+ = − tworzą kąt ostry ϕ i 1 2 2 1 1 2 1 2 tg A B A B A A B B ϕ − = + • Trójkąt Pole trójkąta ABC o wierzchołkach ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= , ( ),C CC x y= , jest dane wzorem: ( )( ) ( )( )1 2ABC B A C A B A C AP x x y y y y x xΔ = − − − − − Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne: , 3 3 A B C A B Cx x x y y y+ + + +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ • Przekształcenia geometryczne − przesunięcie o wektor [ ],u a b= przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A x a y b′ = + + − symetria względem osi Ox przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A x y′ = − − symetria względem osi Oy przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A x y′ = − − symetria względem punktu ( ),a b przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( )2 , 2A a x b y′ = − − − jednokładność o środku w punkcie ( )0,0 i skali 0s ≠ przekształca punkt ( ),A x y= na punkt ( ),A sx sy′ = • Równanie okręgu Równanie okręgu o środku w punkcie ( ),S a b= i promieniu 0r > : ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = lub 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = gdy 2 2 2 0r a b c= + − > 10. PLANIMETRIA • Cechy przystawania trójkątów A B C D E F 9 • Twierdzenie Talesa Jeżeli proste równoległe AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O, to OA OB OA OB = ′ ′ . • Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeżeli proste AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O oraz OA OB OA OB = ′ ′ , to proste AA′ i BB′ są równoległe. • Czworokąty Trapez Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu: 2 a bP h+ = ⋅ Równoległobok Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku: 1sin sin 2 P ah a b AC BDα ϕ= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Romb Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych jednakowej długości. Wzory na pole rombu: 2 1sin 2 P ah a AC BDα= = ⋅ = ⋅ ⋅ Deltoid Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu: 1 2 P AC BD= ⋅ ⋅ A B C D h a b E B A ′A ′B O B A ′A ′B O A B CD α h a b ϕ aA B C D α h A B C D 10 • Koło Wzór na pole koła o promieniu r: 2P rπ= Obwód koła o promieniu r: 2Ob rπ= • Wycinek koła Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: 2 360 P r απ= ⋅ Długość łuku wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach: 2 360 l r απ= ⋅ • Kąty w okręgu Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku. Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe. • Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy 2AOB CAB= ⋅ , przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB. r O r O α B A O α α α 2α A B A C B O AC B O 11 • Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to 2PA PB PC⋅ = • Okrąg opisany na czworokącie Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°: 180α γ β δ+ = + = • Okrąg wpisany w czworokąt W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: a c b d+ = + B C δ α β γ A D c a r A B C D b d C B P A . 14 12. TRYGONOMETRIA • Definicje funkcji trygonometrycznych sin y r α = cos x r α = tg y x α = , gdy 0x ≠ gdzie 2 2 0r x y= + > jest promieniem wodzącym punktu M • Wykresy funkcji trygonometrycznych siny x= cosy x= tgy x= • Związki między funkcjami tego samego kąta 2 2sin cos 1α α+ = sintg cos αα α = dla 2 kπα π≠ + k – całkowite • Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych 0 30 45 60 90 α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 tgα 0 3 3 1 3 nie istnieje x y M=(x, y) M’ O α r 15 • Funkcje sumy i różnicy kątów Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + = + − = − + = − − = + Ponadto mamy równości: ( ) ( )tg tg tg tgtg tg 1 tg tg 1 tg tg α β α βα β α β α β α β + − + = − = − ⋅ + ⋅ które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. • Funkcje podwojonego kąta 2 2 2 2 sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin α α α α α α α α = = − = − = − 13. KOMBINATORYKA • Wariacje z powtórzeniami Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. • Wariacje bez powtórzeń Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1 k n≤ ≤ ) różnych wyrazów, jest równa ( ) ( ) ( ) !1 ... 1 ! nn n n k n k ⋅ − ⋅ ⋅ − + = − • Permutacje Liczba sposobów, na które 1n ≥ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa !n . • Kombinacje Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k ( 0 k n≤ ≤ ) elementów, jest równa n k ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Własności prawdopodobieństwa ( )0 1P A≤ ≤ dla każdego zdarzenia A⊂Ω ( ) 1P Ω = Ω – zdarzenie pewne ( ) 0P ∅ = ∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω ) ( ) ( )P A P B≤ gdy A B⊂ ⊂Ω ( ) ( )1P A P A′ = − , gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ , dla dowolnych zdarzeń ,A B ⊂ Ω ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ ≤ + , dla dowolnych zdarzeń ,A B ⊂Ω 16 • Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A⊂Ω jest równe ( ) A P A = Ω gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω . 15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH • Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n liczb 1 2, ,..., na a a jest równa: 1 2 ... na a aa n + + + = • Średnia ważona Średnia ważona n liczb 1 2, ,..., na a a , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi 1 2, ,..., nw w w jest równa: 1 1 2 2 1 2 ... ... n n n w a w a w a w w w ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + • Średnia geometryczna Średnia geometryczna n nieujemnych liczb 1 2, ,..., na a a jest równa: 1 2 ...n na a a⋅ ⋅ ⋅ • Mediana Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych 1 2 3 ... na a a a≤ ≤ ≤ ≤ jest: − dla n nieparzystych: 1 2 na + (środkowy wyraz ciągu) − dla n parzystych: 1 2 2 1 2 n na a + ⎛ ⎞ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu) • Wariancja i odchylenie standardowe Wariancją n danych liczbowych 1 2, ,..., na a a o średniej arytmetycznej a jest liczba: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 21 22 1 2... ...n na a a a a a a a a a n n σ − + − + + − + + + = = − Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.