Związki fizyczne: zadanie z mechaniki ośrodka ciągłego z wyprowadzeniem , Zadania z Meccanica

Pobierz Związki fizyczne: zadanie z mechaniki ośrodka ciągłego z wyprowadzeniem i więcej Zadania w PDF z Meccanica tylko na Docsity! 6. ZWIĄZKI FIZYCZNE 1 6.  6. ZWIĄZKI FIZYCZNE 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: • trzy składowe wektora przemieszczenia u • sześć składowych tensora naprężeń s • sześć składowych tensora odkształceń e Znamy już dziewięć równań: • trzy równanie różniczkowe równowagi Naviera (związki między naprężeniami) • sześć równań geometrycznych Cauchy'ego (związki między odkształceniem a przemieszczeniem) Ostatnie sześć brakujących równań to równania fizyczne zwane także konstytutywnymi lub uogólnionym prawem Hooke'a 6.2. Wyprowadzenie Założenia: ➢ związki fizyczne są niezależna od czasu i warunków zewnętrznych, czyli zależności dla każdej chwili i każdej temperatury są takie same ➢ zależność s (e) jest liniowa ➢ ciała zachowują się sprężyście tzn. s i e zanikają po usunięciu przyczyny Najogólniejszą postać związków fizycznych wiążących ze sobą wartości tensorów naprężenia i odkształcenia, w przypadku trójwymiarowym, w ciałach materialnych zarówno izotropowych jak i anizotropowych liniowo sprężystych można przedstawić następująco: = f  (6.1) Wskaźnikowo:  ij=C ijkl⋅kl (6.2) Gdzie i, j, k, l = 1,2,3 Tensor Cijkl o walencji 4 nazywamy tensorem sprężystości (sztywności) stałych materiałowych. Tensor ten dla ciał izotropowych jest tensorem izotropowym zatem można go zapisać w następującej postaci: Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater 6. ZWIĄZKI FIZYCZNE 2 C ijlk=⋅ij⋅kl⋅ik⋅ jl⋅il⋅ jk (6.3) Gdzie i, j, k, l =1, 2, 3; l, m, k -dowolne stałe Jeżeli sij i ekl są symetryczne to Cijkl również jest symetryczny: C ijkl=C jikl (6.4) wykorzystując równanie (6.3) otrzymamy: C ijlk=⋅ij⋅kl⋅ik⋅ jl⋅il⋅ jk C jilk=⋅ ji⋅kl⋅ jk⋅il⋅ jl⋅ik Zatem: ⋅ij⋅kl⋅ik⋅ jl⋅il⋅ jk=⋅ ji⋅kl⋅ jk⋅il⋅ jl⋅ik Po uporządkowaniu: −⋅ik⋅ jl−−⋅il⋅ jk=0 −⋅ik⋅ jl−il⋅ jk =0 Równanie to jest spełnione gdy: a) −=0 lub b) ik⋅ jl−il⋅ jk =0 c) Dla dowolnej kombinacji wskaźników warunek b) nie zawsze będzie spełniony zatem: −=0 ⇒= (6.5) Uwzględniając warunek (6.5) w równaniu (6.3) otrzymamy: C ijlk=⋅ij⋅kl⋅ik⋅ jlil⋅ jk  (6.6) Podstawiając wyrażenie (6.6) do (6.2) dostaniemy: ij=⋅ij⋅kl⋅kl⋅ik⋅ jl⋅kl⋅il⋅ jk⋅kl (6.7) Zauważmy, że: 1) ij⋅kl⋅kl≠0 gdy l=k, wtedy ij⋅kl⋅kl=ij⋅kk 2) ik⋅ jl⋅kl≠0 gdy k=i oraz l=j, wtedy ik⋅ jl⋅kl=ij 3) il⋅ jk⋅kl≠0 gdy k=j oraz l=i, wtedy il⋅ jk⋅kl= ji Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater