Matematyka - Notatki - Algebra - Część 2, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Matematyka - Notatki - Algebra - Część 2, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (3 MB)
90 strona
882Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: matematyka.Część 2.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 90
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.2 Dodawanie wektorów

Niech będą dane dwa wektory u,v. Jeżeli w dowolnie obranym punkcieA zaczepimy wektor AB = u, a następnie w punkcie B zaczepimy wektor BC = v, to wektor AC nazywamy sumą wektorów u,v zaczepioną w punkcie A i piszemy

AC = u+ v (246)

u

v

u+v

v

u

B C

A D

u

v

w

u + v + w

Rysunek 15: Dodawanie wektorów. Suma trzech wektorów.

W mechanice dodawane wektory u,v nazywamy składowymi lub składnikami, wynik dodawania u+v−wektorem wypadkowym, figurę utworzoną z odcinkówAB,BC− łańcu- chem wektorów, punkt A− początkiem łańcucha, punkt C− końcem łańcucha, a wektor AC− wektorem zamykającym.

Twierdzenie 6.3 Suma dowolnych wektorów u,v zaczepiona w pewnym punkcie i suma tych samych wektorów zaczepiona w dowolnym innym punkcie są wektorami równymi. Mówimy więc, że suma wektorów nie zależy od jej punktu zaczepienia.

Twierdzenie 6.4 Dla dowolnych wektorów u,v zachodzi równósć

u+ v = v + u (247)

Dodawanie wektorów jest przemienne.

Twierdzenie 6.5 Dla dowolnych trzech wektorów u,v,w zachodzi równósć

(u+ v) +w = u+ (v+w) (248)

Dodawanie wektorów jest łączne.

Twierdzenie 6.6 Suma wektorów równoległych jest wektorem równoległym do tych wektorów

u

v

u+v

u

v

u+v

Rysunek 16: Suma wektorów równoległych.

91

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

6.2.1 Moduł sumy wektorów

Przedstawimy twierdzenia:

Twierdzenie 6.7 Jeżeli dwa wektory są zgodnie równoległe (rys. 16), to moduł ich sumy równa się sumie modułów tych wektorów

|u+ v| = |u|+ |v| (249)

Twierdzenie 6.8 Jeżeli dwa wektory są przeciwnie równoległe (rys. 16), to moduł ich sumy równa się modułowi różnicy moduw tych wektorów

|u+ v| = ||u|− |v|| (250)

Twierdzenie 6.9 Jeżeli dwa wektory są niezerowe i nierównoległe (patrz rys. 15), to moduł ich sumy jest mniejszy od sumy modułów tych wektorów, a większy od modułu różnicy modułów tych wektorów

||u|− |v|| < |u+ v| < |u|+ |v| (251) Wzór (251) nosi nazwę reguły (lub prawa) trójkąta.

Twierdzenie 6.10 Moduł sumy dowolnych dwóch wektorów jest nie większy od sumy modułów tych wektorów i nie mniejszy od modułu różnicy modułów tych wektorów

||u|− |v|| ≤ |u+ v| ≤ |u|+ |v| (252)

Jest to uogólnione prawo trójkąta.

6.2.2 Wektory przeciwne

Dwa wektory niezerowe nazywamy wzajemnie przeciwnymi, gdy mają równe moduły i są przeciwnie równoległe (patrz rys. 17). Wektorem przeciwnym do wektora zerowego jest wektor zerowy.

A

B

D

C

Rysunek 17: Wektory przeciwne.

u

v

u - v

Rysunek 18: Różnica wektorów.

6.3 Odejmowanie wektorów

Odejmowanie definiujemy jako działanie odwrotne do dodawania. Różnicą dwóch wektorów, z których pierwszy nazywamy odjemną, a drugi odjemnikiem, nazywamy wektor, który dodany do odjemnika daje w wyniku odjemną:

u− v = w oznacza, że v +w = u (253)

92

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

Twierdzenie 6.11 Jeżeli odjemna i odjemnik mają wspólny punkt zaczepienia, to różnicą jest wektor poprowadzony od końca odjemnika do końca odjemnej (rys. 17).

Twierdzenie 6.12 Różnica dwóch wektorów jest sumą odjemnej i wektora przeciwnego do odjemnika (rys. 19). Różnica wektorów równoległych jest wektorem równoległym do tych wektorów. Dla modułu różnicy dowolnych dwóch wektorów zachodzi nierównósć

||u|− |w|| ≤ |u− v| ≤ |u|+ |v| (254)

(uogólnione prawo trójkąta).

Mnożenie wektora przez liczbę Iloczynem wektora u i liczby k nazywamy wektor, który:

• jest równoległy do wektora u,

• ma długóśc równą |k|u,

• ma zwrot wektora u, jeżeli k > 0, u 6= 0, względnie zwrot wektora−u, jeżeli k < 0, u 6= 0.

Wektor ten oznaczamy13

ku lub uk (255)

u

v

u - v

- v

u

Rysunek 19: Różnica wektorów.

u

v

ϕ

Rysunek 20: Kąt między wektorami.

6.4 Wersory

Definicja 6.5 Wektor o module równym 1 nazywamy wersorem.

Wersorem osi nazywamy wersor zgodnie równoległy z tą osią. Wersor osi x (odciętej) oznaczamy x0. Osią wersora lub osią wersora niezerowego nazywamy ós zgodnie równole- głą do wektora. Wersorem wektora niezerowego u nazywamy wektor u/u, który oznaczamy u0. Zatem

u0 = u

u (256)

13Bardzo często występują pojęcia: kolinearnóśc i komplanarnóśc. Wektory nazywamy kolinearnymi, jésli po zaczepieniu ich we wspólnym początku leżą na jednej prostej. Dla dowolnego wektora u i dowolnej liczby k wektor ku jest kolinearny z wektorem u. Wektory nazywamy komplanarnymi, jésli po zaczepieniu we wspólnym początku leżą w jednej płaszczýznie. Dla dowolnych wektorów u i v i dowolnych liczb t i s wektor tu+ sv jest komplanarny z wektorami u i v.

93

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

6.5 Iloczyn skalarny wektorów

Definicja 6.6 Iloczynem skalarnym dwóch wektorów u,v nazywamy liczbę, którą oznacza- my symbolem u·v i która w przypadku, gdy oba wektory u,v są niezerowe, jest równa iloczynowi modułów tych wektorów pomnożonemu przez kosinus kąta między nimi (rys. 19)

u · v = uv cos{u,v} (257)

i która jest zerem w przypadku, gdy co najmniej jeden z tych wektorów jest zerowy lub wektory u i v są prostopadłe.

6.5.1 Własnósci iloczynu skalarnego

Z definicji iloczynu skalarnego wynikają poniższe twierdzenia.

Twierdzenie 6.13 Iloczyn skalarny dwóch wektorów u,v jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopadłe

u · v = 0⇐⇒ u ⊥ v (258)

Iloczyn skalarny dowolnego wektora u z tym samym wektorem jest równy kwadratowi modułu tego wektora

u · u = u2 (259)

Twierdzenie 6.14 Dla dowolnych wektorów u,v,a,b i dowolnej liczby k zachodzą równósci

u · v = v · u przemiennósć mnożenia skalarnego

(ku) · v = k (u · v) = u · (kv) łącznósć mnożenia skalarnego i mnożenia wektora przez li- czbę

u · (a+ b) = u · a+ u · b rozdzielnósć mnożenia skalarnego względem dodawania we- ktorów

(260)

Wniosek 6.2 Praca. Jeżeli pod działaniem niezmiennej siły F punkt materialny przesuwa się o wektor s, to iloczyn skalarny siły F i przesunięcia s

L = F · s (261)

nazywamy pracą siły F wzdłuż przesunięcia s.

Przestawienie cykliczne. Przestawieniem cyklicznym (kołowym) ciągu n− wyrazowego nazywamy przekształcenie, w którym pierwszy wyraz staje się drugim, drugi - trzecim, itd., ostatni - pierwszym. Stosując przestawienie cykliczne do trójki wektorów otrzymujemy kolejno

(u,v,w)→ (w,u,v)→ (v,w,u)→ (u,v,w) (262)

94

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.6 Orientacja przestrzeni

z

)(+P )(−L

z

y

yx

x

Rysunek 21: Orientacja przestrzeni.

Przestrzenny prostoliniowy układ współrzędnych nazywamy prawoskrętnym, jeżeli trzema palcami prawej ręki możemy pokazác osie tego układu:

• ós x - wyprostowanym kciukiem;

• ós y - wyprostowanym palcem wskazującym;

• ós z - palcem środkowym zgiętym prostopadle do płaszczyzny dłoni.

Mówimy wówczas, że przestrzeń została zoriento- wana.

Jeżeli w przestrzeni zorientowanej trójka wektorów jest zgodnie skrętna z obranym układem współrzędnych, to mówimy, że ma orientację dodatnią. W fizyce przyjęto, że prawoskrętne trójki mają orientację dodatnią.

6.7 Iloczyn wektorowy

Definicja 6.7 Iloczynem wektorowym pary wektorów (u,v) w przestrzeni zorientowanej nazywamy wektor, który oznaczamy symbolem

[u,v] lub u× v

i który w przypadku, gdy u k v jest wektorem zerowym, natomiast, jeżeli u / v, to wektor u×v ma:

• moduł równy uv sin{u,v},

• kierunek prostopadły do u i prostopadły do v,

• zwrot taki, aby trójka wektorów (u,v,u× v) miała orientację dodatnią.

6.7.1 Własnósci iloczynu wektorowego

Są one opisane w poniższych twierdzeniach:

Twierdzenie 6.15 Iloczyn wektorowy pary wektorów u,v jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są równoległe

u× v = 0⇐⇒ u k v (263)

Iloczyn wektorowy dowolnego wektora u i tego samego wektora jest wektorem zerowym

u× u = 0 (264)

Iloczyn wektorowy pary wektorów nierównoległych ma moduł równy polu równoległoboku zbudo- wanego na tych wektorach (po przeniesieniu ich do wspólnego początku).

95

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 6.16 Dla dowolnych wektorów u,v,w i dowolnej liczby k zachodzą następujące równósci u× v = −v× u antyprzemiennósć mnożenia wektorowego

(ku)× v = k (u× v) = u× (kv) łącznósć mnożenia z mnożeniem przez liczbę

(u+ v)×w = u×w+ v×w rozdzielnósć mnożenia względem dodawania

(265)

Przykład 6.1 Niech (i, j,k) będzie ortogonalną trójką wersorów o orientacji dodatniej. Wyz- naczyć iloczyny skalarne i wektorowe wersorów.

Rozwiązanie 6.1 Mamy

i · i = 1 i× j = k j× i = −k i× i = 0 i · j = 0 j× k = i k× j = −i j× j = 0 i · k = 0 k× i = j i× k = −j k× k = 0 j · k = 0 j · j = 1 k · k = 1

(266)

oraz (i+ j)× j = k (i− j)× (i+ j) = 2k (267)

6.8 Iloczyn mieszany

Definicja 6.8 Iloczynem mieszanym trójki wektorów u,v,w nazywamy liczbę

(u× v) ·w (268) którą otrzymujemy mnożąc iloczyn wektorowy u × v skalarnie przez w. Iloczyn mieszany oznaczamy też symbolem

[u,v,w] (269)

Twierdzenie 6.17 Iloczyn mieszany [u,v,w] trójki wektorów równa się objętósci równoległo- ścianu zbudowanego na tych wektorach (po zaczepieniu ich we wspólnym początku) wziętej ze znakiem +, jeżeli orientacja trójki jest dodatnia:

[u,v,w] = V

Twierdzenie 6.18 Iloczyn mieszany [u,v,w] jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u,v,w leżą w jednej płaszczýznie.

[u,v,w] = 0⇐⇒ u,v,w leżą w jednej płaszczýznie

[u,u,w] = 0 ponieważ (u× u) = 0 (270)

Twierdzenie 6.19 Iloczyn mieszany [u,v,w] nie zmienia wartósci, jeżeli zachowując kolej- nósć wektorów przestawiamy mnożenie wektorowe z mnożeniem skalarnym

[u,v,w] = (u× v)w = u (v×w) (271) lub jeżeli zmienimy kolejnósć wektorów, przestawiając je cyklicznie

[u,v,w] = [w,u,v] = [v,w,u] (272)

Iloczyn mieszany zmienia wartósć na przeciwną, jeżeli w nim przestawimy ze sobą którekolwiek dwa wektory

[u,v,w] = − [v,u,w] = − [w,v,u] = − [u,w,v] (273)

96

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.9 Podwójny iloczyn wektorowy

Definicja 6.9 Podwójnym iloczynem wektorowym nazywamy każde z wyrażeń

a× (b× c) (a× b)× c

Są to dwa wektory, na ogół różne. Mianowicie:

a× (b× c) = b (a · c)− c (a · b) (274)

(a× b)× c = b (a · c)− a (b · c) (275)

6.10 Działania na wektorach w prostokątnym układzie współrzędnych

Prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy układ trzech wzajemnie prostopadłych osi, mających wspólny początek i wspólną jednostkę długósci.

0z

P

0x

0y

0

Rysunek 22: Położenie punktu P w przestrzeni 0xyz.

Oznaczamy go 0xyz. Przestrzeń, w której wprowadzono układ 0xyz nazywamy przestrzenią 0xyz. Każdemu punktowi przestrzeni odpowiada wzajemnie jednoznacznie uporządkowana trójka liczb będących współrzędnymi tego punktu. Zapi- sujemy to następująco

P = (x, y, z)

Niech u będzie dowolnym wektorem przestrzeni 0xyz. Jego rzuty na osie układu oznaczamy

rzutx u rzuty u rzutz u (276)

Są to wektory składowe wektora u, który jest ich sumą

u = rzutx u+ rzuty u+ rzutz u (277)

Miary tych rzutów są liczbami, które nazywamy współrzędnymi wektora u na osiach układu. Oznaczamy je

ux uy uz

Wprowadzając wersory osi układu

i j k

otrzymujemy związki

rzutx u = uxi rzuty u = uyj rzutz u = uzk (278)

Uwzględniając (277) dochodzimy do relacji

u = uxi+ uyj+ uzk (279)

Każdemu wektorowi przestrzeni odpowiada uporządkowana trójka liczb będących jego współrzędnymi w danym układzie

u = [ux, uy, uz] (280)

97

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 6.20 Dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współrzędne tych wektorów są równe.

L = P⇐⇒

⎧⎨⎩ Lx = PxLy = Py Lz = Pz

⎫⎬⎭ (281) 6.10.1 Analityczne wyrażenie działań na wektorach w przestrzeni

Twierdzenie 6.21 Niech będą dane w przestrzeni 0xyz dowolne wektory

u = [ux, uy, uz] , v = [vx, vy, vz] , w = [wx, wy, wz] (282)

oraz liczby rzeczywiste a, b, c. Działania na tych wektorach wyrażają się za pomocą współrzędnych

u+ v = [ux + vx, uy + vy, uz + vz] (283)

u− v = [ux − vx, uy − vy, uz − vz] (284) cu = [cux, cuy, cuz] (285)

au+ bv = [aux + bvx, auy + bvy, auz + bvz] (286)

u · v = uxvx + uyvy + uzvz dowód na ćwiczeniach (287)

Iloczyn wektorowy zapisujemy w postaci wyznacznikowej

u× v =

¯̄̄̄ ¯̄ i j kux uy uz vx vy vz

¯̄̄̄ ¯̄ = ∙¯̄̄̄ uy uzvy vz

¯̄̄̄ ,

¯̄̄̄ uz ux vz vx

¯̄̄̄ ,

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄¸ =

= [uyvz − uzvy, vxuz − uxvz, uxvy − uyvx] (dowód na ćwiczeniach)

(288)

Iloczyn mieszany

[u,v,w] =

¯̄̄̄ ¯̄ ux uy uzvx vy vz wx wy wz

¯̄̄̄ ¯̄ (289)

(dowód na ćwiczeniach)

6.10.2 Moduł wektora

Mówi o nim twierdzenie:

Twierdzenie 6.22 Moduł wektora jest równy pierwiastkowi sumy kwadratów współrzędnych wektora. Jeżeli u = [ux, uy, uz], to

u = q u2x + u

2 y + u

2 z (290)

98

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

6.11 Warunek prostopadłósci i warunek równoległósci 2 wektorów

Twierdzenie 6.23 Niech będą dane dwa wektory

u = [ux, uy, uz] , v = [vx, vy, vz] (291)

Wektory te są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest zerem

uxvx + uyvy + uzvz = 0 (292)

Wektory te są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest wektorem zerowym

uyvz − uzvy = 0 uzvx − uxvz = 0 uxvy − uyvx = 0 (293)

Kąt między tymi wektorami wyznaczamy z zależnósci

cos {u,v} = 1 uv (uxvx + uyvy + uzvz) (294)

jeżeli u 6= 0, v 6= 0.

6.12 Przykłady

Przykład 6.2 Wykazać słusznósć zależnósci u · v = uxvx + uyvy + uzvz.

Rozwiązanie 6.2 Wykonujemy mnożenie

u · v = (iux + juy + kuz) (ivx + jvy + kvz) =

= iiuxvx + ijuyvx + ikuzvx + ijuxvy + jjuyvy+

+kjuzvy + ikuxvz + jkuyvz + kkuzvz

Ponieważ i · i = j · j = k ·k = 1, a pozostałe iloczyny mieszane i · j = i ·k = j ·k = j · i = k · i = k · j = 0, zatem pozostają wyrażenia uxvx, uyvy, uzvz. Stąd u · v = uxvx + uyvy + uzvz.

Przykład 6.3 Wyprowadzíc wzór na iloczyn wektorowy u× v.

Rozwiązanie 6.3 Mnożymy wektorowo dwie sumy (ważna jest kolejnósć wektorów - nie ma przemiennósci mnożenia wektorów)

u× v = (iux + juy + kuz)× (ivx + jvy + kvz) =

= (i× i)uxvx + (j× i)uyvx + (k× i)uzvx + (i× j)uxvy + (j× j)uyvy+

+(k× j)uzvy + (i× k)uxvz + (j× k)uyvz + (k× k)uzvz Pamiętamy (patrz (288)) zasadę mnożenia wektorowego wersorów. Otrzymamy zatem:

u× v = 0− kuyvx + juzvx + kuxvy + 0− iuzvy − juxvz + iuyvz + 0 =

= i (uyvz − uzvy) + j (uzvx − uxvz) + k (uxvy − uyvx) =

= i

¯̄̄̄ uy uz vy vz

¯̄̄̄ − j ¯̄̄̄ ux uz vx vz

¯̄̄̄ + k

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ i j kux uy uz vx vy vz

¯̄̄̄ ¯̄

99

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Przykład 6.4 Wyprowadzíc wzór wyznacznikowy na iloczyn mieszany.

Rozwiązanie 6.4 Ponieważ [u,v,w] = (u×v)·w, to korzystając z wyprowadzeń z poprzedniego zadania otrzymujemy

(u× v)w = µ i

¯̄̄̄ uy uz vy vz

¯̄̄̄ − j ¯̄̄̄ ux uz vx vz

¯̄̄̄ + k

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄¶ (iwx + jwy + kwz) =

= wx

¯̄̄̄ uy uz vy vz

¯̄̄̄ − wy

¯̄̄̄ ux uz vx vz

¯̄̄̄ + wz

¯̄̄̄ ux uy vx vy

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ ¯̄ ux uy uzvx vy vz wx wy wz

¯̄̄̄ ¯̄

Przykład 6.5 Wyprowadzíc wzór na podwójny iloczyn wektorowy.

Rozwiązanie 6.5 Mamy wykazać tożsamósć

a× (b× c) = b · (a · c)− c · (a · b)

Zapiszemy iloczyn a× d (gdzie: d = b× c) w postaci wyznacznikowej

L = a× d =

¯̄̄̄ ¯̄ i j kax ay az bycz − bzcy bzcx − bxcz bxcy − bycx

¯̄̄̄ ¯̄ =

= i [ay (bxcy − bycx)− az (bzcx − bxcz)]−

−j [ax (bxcy − bycx)− az (bycz − bzcy)] +

+k [ax (bzcx − bxcz)− ay (bycz − bzcy)]

Przeanalizujemy każdą ze składowych oddzielnie. W tym celu wyprowadzimy składowe wektora prawej strony. Kolejno otrzymujemy:

R = i [bx (axcx + aycy + azcz)− cx (axbx + ayby + azbz)]+

+j [by (axcx + aycy + azcz)− cy (axbx + ayby + azbz)]+

+k [bz (axcx + aycy + azcz)− cz (axbx + ayby + azbz)]

Zauważmy, że w powyższym wyrażeniu eliminuje się iloczyny (aαbαcα − aαbαcα) dla α = x, y, z. A więc

R = i [ay (bxcy − bycx)− az (bzcx − bxcz)]−

−j [ax (bxcy − bycx)− az (bycz − bzcy)] +

+k [ax (bzcx − bxcz)− ay (bycz − bzcy)] Widzimy, że L = R, co należało wykazać.

Przykład 6.6 Obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b, jeżeli: a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1].

100

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

Rozwiązanie 6.6 Korzystamy z wyniku przedstawionego w Przykładzie 6.2 i otrzymujemy

a · b = [1, 2, 3] · [3, 2, 1] = 10

Przykład 6.7 Obliczyć iloczyn skalarny dwóch wektorów a i b, jeżeli: a = [u, v, w] , b = [x, y, z].

Rozwiązanie 6.7 Po prostych przekształceniach otrzymujemy

a · b = [u, v, w] · [x, y, z] = ux+ vy + wz

Przykład 6.8 Obliczyć iloczyn wektorowy dwóch wektorów a i b, jeżeli: a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1].

Rozwiązanie 6.8 Biorąc pod uwagę Przykład 6.3, otrzymujemy

[1, 2, 3]× [3, 2, 1] = [−4, 8,−4]

Przykład 6.9 Obliczyć podwójny iloczyn wektorowy wektorów a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1] , c = [1, 0, 1].

Rozwiązanie 6.9 Bazując na Przykładzie 6.5 obliczamy

[1, 2, 3]× [3, 2, 1]× [1, 0, 1] = [8, 0,−8]

Przykład 6.10 Obliczyć iloczyny mieszane wektorów: a = [1, 2, 3] , b = [3, 2, 1] , c = [1, 0, 1].

Rozwiązanie 6.10 Jak pamiętamy (patrz (268)), iloczyn mieszany to: (a× b) · c. Jednak mogą to być również iloczyny, np. (a× c) · b lub (b× c) · a. Obliczymy je

([1, 2, 3]× [3, 2, 1]) · [1, 0, 1] = −8 ([1, 2, 3]× [1, 0, 1]) · [3, 2, 1] = 8 ([3, 2, 1]× [1, 0, 1]) · [3, 2, 1] = 0

Należy pamiętać, że wyjątkową rolę pełnią w tych obliczeniach nawiasy. Bowiem iloczyny [1, 0, 1] × [1, 2, 3] · [3, 2, 1] = −8 oraz [1, 0, 1] · [1, 2, 3] × [3, 2, 1] = 4 [3, 2, 1] są całkowicie różne. Pierwszy jest iloczynem skalarnym, czyli liczbą, drugi jest iloczynem wektorowym, czyli wektorem.

Przykład 6.11 Wykazać, że dla dowolnych trzech wektorów u,v,w wektor p = (u× v)×w = v (u ·w)− u (v ·w) jest albo zerowy albo prostopadły do wektora w.

Rozwiązanie 6.11 Pomnożymy wyrażenie p = (u× v) ×w = v (u ·w) − u (v ·w) prawo- stronnie przez w. Otrzymamy p ·w = (u× v)×w ·w = (v ·w)(u ·w)− (u ·w)(v ·w) = 0. A więc p ·w = 0. Oznacza to, że w = 0 lub p ⊥ w.

Przykład 6.12 Równoległobok zbudowany na wektorach u,v ma pole równe 10. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach 3u+ v, u− 2v.

101

docsity.com

6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Rozwiązanie 6.12 Korzystamy z wzoru na pole równoległoboku

P = |p× q| = |(3u+ v)× (u− 2v)| = |3u× u+ v× u− 6u× v− 2v× v| =

= |0 + v× u− 6u× v− 0| = |v× u+ 6v× u| = 7 |v× u| = 70

Przykład 6.13 Dane są dwa wzajemnie prostopadłe wersory p,q. Obliczyć:

a) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach u = 3p − q, v = 5p + 2q oraz obie wysokósci tego równoległoboku;

b) pole trójkąta zbudowanego na wektorach u = 3p, v = p − 2q oraz wszystkie jego wysokósci.

Rozwiązanie 6.13 a)

P = |u× v| = |(3p− q)× (5p+ 2q)| = |15p× p− 5q× p+ 6p× q− 2q× q| =

= |0− 5q× p+ 6p× q+ 0| = |5p× q+ 6p× q| = 11 |p× q| = 11

P = uv sinϕ = u · h1 = v · h2 = 11 |u| =

√ 32 + 12 =

√ 10

|v| = √ 52 + 22 =

√ 29

h1 = 11/ √ 10, h2 = 11/

√ 29

b)

P4 = 1

2 |u× v| = 1

2 |3p× (p− 2q)| = 3

Obliczamy wysokósci. Skorzystamy z wzoru na pole równoległoboku utworzonego przez wektory u,v: P = uv sinϕ = uh1 = uh2 = 6 Stąd h1 = 6|u| =

6 3 = 2, h2 = 6|v| =

6√ 5 . Trzeci bok trójkąta

to różnica wektorów u i v, czyli 3p− (p− 2q) = 2p+ 2q. Jego moduł jest równy 2 √ 2. Stąd

P4 = 1 2 2 √ 2 · h3 = 3. Czyli h3 = 3/

√ 2.

Przykład 6.14 Objętósć równoległóscianu zbudowanego na wektorach u,v i w wynosi 24. Obliczyć objętósć równoległóscianu zbudowanego na wektorach u+ 2v, v−w, u+ v− 2w.

Rozwiązanie 6.14 Objętósć równoległóscianu zbudowanego na wektotach a, b i c jest równa modułowi iloczynu mieszanego

V = |[a,b, c]| = |(a× b) c|

Jeżeli a = u+ 2v, b = v−w, c = u+ v− 2w, to

(a× b) c = [(u+ 2v)× (v−w)] (u+ v− 2w) =

= (u× v− u×w+ 2v× v− 2v×w) (u+ v− 2w) =

= (u× v− u×w− 2v×w) (u+ v− 2w) =

= (u× v)u− (u×w)u− 2 (v×w)u+ (u× v)v− (u×w)v−

−2 (v×w)v− 2 (u× v)w + 2 (u×w)w + 4 (v×w)w

102

docsity.com

MATEMATYKA 6. WEKTORY W PRZESTRZENI R3

Ponieważ

(u× v) · u = (u×w)u = (u× v)v = (v×w)v = (u×w)w = 0

to (a× b) · c = −2 (v×w) · u− (u×w) · v− 2 (u× v) ·w

Ale (v×w) · u = [u,v,w] i (u×w) · v = − [u,v,w]

Zatem (a× b) · c = −3 [u,v,w] i |(a× b) · c| = 3 · 24 = 72

Przykład 6.15 Dane są trzy wzajemnie prostopadłe wersory p,q, r. Obliczyć objętósć równoległóscia- nu zbudowanego na wektorach u = p+ q, v = p− 2q, w = p+ q+ r.

Rozwiązanie 6.15 Korzystamy z wzoru na objętósć równoległóscianu

V = |[u,v,w]| = |(u× v) ·w|

[(p+ q)× (p− 2q)] · (p+ q+ r) =

= (p× p+ q× p− 2p× q− 2q× q) · (p+ q+ r) =

3 (q× p) · (p+ q+ r) = 3 (q× p) · p+ 3 (q× p) · q+ 3 (q× p) · r =

= 3 (q× p) · r = −3 (p× q) · r

A więc V = |−3 (p× q) · r| = 3

103

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

7 Prosta i płaszczyzna w przestrzeni R3

7.1 Równanie prostej

Wyznaczanie prostej na płaszczýznie 0xy sprowadza się do wskazania punktu, przez który prosta ma przechodzíc i kierunku prostej. Kierunek prostej wyznacza się za pomocą:

• wektora, do którego prosta ma býc równoległa lub

• wektora, do którego prosta ma býc prostopadła lub

• współczynnika kierunkowego prostej.

Twierdzenie 7.1 Prosta l przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0) i równoległa do danego niezerowego wektora u = [p, q] ma równanie

−−→ P0P = tu, t ∈ R (295)

Równanie to przedstawia postác wektorową prostej.

0 x0 x

0x

y

y0

l

p q0y

)( 000 ,yxP =

)(x,yP =

],[ gp=u

Rysunek 23: Prosta równoległa do wektora u.

0 0x

0y

A

B N

l ][A,B=N

)( 000 ,yxP =

)(x,yP =

Rysunek 24: Prosta prostopadła do wektora N.

Może býc ona zapisana w następujących postaciach

x− x0 = tp y − y0 = tq postác parametryczna t ∈ R

x− x0 p

= y − y0 q

postác proporcji

¯̄̄̄ x− x0 y − y0 p q

¯̄̄̄ = 0 postác wyznacznikowa

(296)

Punkt P = (x, y) leży na prostej l wtedy i tylko wtedy, gdy −−→ P0P k u.

Uwzględniając Twierdzenie 6.23 i warunek (293) zapisany na płaszczýznie, czyli u = [ux, uy] , v = [vx, vy] mamy

uxvy − uyvx = 0 (297)

gdzie: v = −−→ P0P = [x− x0, y − y0]; u = [p, q], stąd

−−→ P0P k u⇐⇒ (x− x0) q − (y − y0) p = 0 (298)

czyli (296).

104

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

Twierdzenie 7.2 Prosta l przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0) i prostopadła do danego niezerowego wektora N = [A,B] ma równanie

N ·−−→P0P = 0 postać wektorowa (299)

W zapisie analitycznym równanie to ma postác

A (x− x0) +B (y − y0) = 0 (300)

Jest to równanie ogólne prostej przechodzącej przez jeden punkt. Wprowadzając stałą C = −Ax0 − By0 otrzymujemy równanie prostej w postaci

ogólnej Ax+By + C = 0 (301)

Definicja 7.1 Kątem nachylenia prostej l do osi 0x nazywamy kąt między osią 0x a dowol- nym wektorem niezerowym leżącym na tej prostej, czyli ^(x, l). Tangens tego kąta

m = tg (x, l) (302)

nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l na płaszczýznie 0xy. Jeżeli u = [p, q] 6= 0 i u k −−→P0P , to

m = tg (x, l) = tg (x,u) = q

p (303)

lub jeżeli P0 = (x0, y0) , P1 = (x1, y1) oraz P0 ⊂ l, P1 ⊂ l, to

m = tg (x, l) = tg ³ x, −−→ P0P1

´ = y1 − y0 x1 − x0

(304)

Każda prosta, która nie jest prostopadła do 0xma jednoznacznie okréslony współczynnik kierun- kowy (rys. 25).

Twierdzenie 7.3 Prosta l o danym współczynniku kierunkowym m, przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0) ma równanie

y − y0 = m (x− x0) postać kierunkowa prostej (305)

0y

0x0

l

P0

P1

q

p

][ p,q=u

01 xx

01 yy

Rysunek 25: Współczynnik kierunkowy m.

0y

0x

b

l

P0

P

α

α

x0 x

0xx

0yy

Rysunek 26: Przesunięcie b prostej l.

Wprowadzając stałą b = y0−mx0 nazywaną przesunięciem, otrzymamy postác kierun- kową prostej (patrz rys. 25)

y = mx+ b (306)

gdzie: b− rzędna punktu, w którym prosta l przecina ós 0y.

105

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 7.4 Prosta przechodząca przez dane dwa różne punkty P0 = (x0, y0) i P1 = (x1, y1) ma równanie

x− x0 x1 − x0

= y − y0 y1 − y0

(307)

Twierdzenie 7.5 Dwie proste l1, l2 dane równaniami

l1 : x− x1 p1

= y − y1 q1

l2 : x− x2 p2

= y − y2 q2

(308)

są wzajemnie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u1 = [p1, q1] 6= 0, u2 = [p2, q2] 6= 0 równoległe odpowiednio do prostych l1, l2 są wzajemnie równoległe, tj. gdy zachodzi proporcja

p1 p2 = q1 q2

(309)

równoważna równósci ¯̄̄̄ p1 q1 p2 q2

¯̄̄̄ = 0 (310)

l1 l2

u1 u2 q2q1

p2p1

Rysunek 27: Dwie proste równoległe.

Twierdzenie 7.6 Dwie proste l1, l2 dane równaniami

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 l2 : A2x+B2y + C2 = 0 (311)

są wzajemnie równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory N1 = [A1, B1] 6= 0, N2 = [A2, B2] 6= 0 prostopadłe odpowiednio do prostych l1, l2 są wzajemnie równoległe, tj. gdy

A1 A2 = B1 B2

(312)

czyli ¯̄̄̄ A1 B1 A2 B2

¯̄̄̄ = 0 (313)

Rozróżniamy tu dwa przypadki

1. Pełna proporcja współczynników równań (311)

A1 A2 = B1 B2

= C1 C2

(314)

tzn. ¯̄̄̄ A1 B1 A2 B2

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ B1 C1 B2 C2

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ C1 A1 C2 A2

¯̄̄̄ = 0 (315)

Wówczas proste l1 i l2 pokrywają się.

106

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

2. Zachodzi tylko proporcja (312) (proporcja (314) nie zachodzi). Wówczas proste l1 i l2 są równoległe, lecz nie pokrywają się.

l1

l2B1 A1

N1

N2

B2 A2

Rysunek 28: Dwie proste równoległe.

Twierdzenie 7.7 Dwie proste l1 i l2 dane równaniami

l1 : y = m1x+ b1 l2 : y = m2x+ b2 (316)

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy

m1 = m2

Ponadto, jeżeli b1 = b2, to proste te pokrywają się.

Przykład 7.1 Zbadać równoległósć następujących prostych

a) 2x + 5y + 7 = 0 4x + 10y + 15 = 0

b) x + y = 0 x − y = 0

c) x − 3y + 1 = 0

−2x + 6y − 2 = 0 d) y = 3x + 5

x− 1 2

= y + 7

6

Rozwiązanie 7.1

a. ∙ 2 5 7 4 10 15

¸ ,

A1 A2 = 2

4 + 1

2

B1 B2

= 5

10 = 1

2

C1 C2 6= 1 2

- proste równoległe, nie pokrywają się

b. ∙ 1 1 0 1 −1 0

¸ A1 A2 6= B1 B2

- proste przecinają się

c. ∙

1 −3 1 −2 6 −2

¸ A1 A2 = B1 B2

= C1 C2

- proste pokrywają się

Twierdzenie 7.8 Dwie proste l1, l2 dane równósciami

l1 : x− x1 p1

= y − y1 q1

l2 : x− x2 p2

= y − y2 q2

(317)

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u1 = [p1, q1] , u2 = [p2, q2] są prostopadłe

p1p2 + q1q2 = 0 (318)

107

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

Twierdzenie 7.9 Dwie proste l1, l2 dane równaniami

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 l2 : A2x+B2y + C2 = 0 (319)

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory N1 = [A1, B1], N2 = [A2, B2] są prostopadłe, czyli

A1A2 +B1B2 = 0 (320)

Twierdzenie 7.10 Dwie proste l1, l2 dane równósciami

l1 : y = m1x+ b1 l2 : y = m2x+ b2 (321)

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe spełniają związek

1 +m1m2 = 0 (322)

7.2 Kąt dwóch prostych na płaszczýznie

Definicja 7.2 Mówiąc o kącie dwóch prostych zawsze mamy na mýsli kąt ostry, którego miara α = {l1, l2} ≤ π/2. Oznaczamy go ^ {l1, l2}. Kąt dwóch prostych równoległych (lub pokrywających się) jest zerowy.

Twierdzenie 7.11 Jeżeli mamy dwie proste l1, l2 opisane dowolnymi równaniami (ale tego samego rodzaju), to

cos {l1, l2} = |p1p2 + q1q2|p p21 + q

2 1

p p22 + q

2 2

(323)

cos {l1, l2} = |A1A2 +B1B2|p A21 +B

2 1

p A22 +B

2 2

(324)

tg {l1, l2} = ¯̄̄̄ m1 −m2 1 +m1m2

¯̄̄̄ (325)

l1

l2

α α

u1

u2

Rysunek 29: Kąt pomiędzy dwiema prostymi.

108

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

7.3 Odległóśc punktu od prostej

0 0x

0y

P

d P1'

P1

N = [A,B]

l: Ax + By + C = 0

Rysunek 30: Odległóśc punktu od prostej.

Mówi o niej poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 7.12 Najmniejszą odległósć punktu M = (xM , yM) od prostej l danej równaniem w postaci ogólnej

l : Ax+By + C = 0

wyraża się wzorem

d = |AxM +ByM + C|√

A2 +B2

Dowód 7.1 Niech P1 = (xP , yP ) jest dowolnym punktem prostej l (patrz rys. 30), a P = (xM , yM) punktem poza prostą. Jeżeli P1 jest punktem na l, dla którego odległósć |PP1| jest najmniejsza, to wówczas możemy zapisać, że (wektory N i

−−→ PP1

są równoległe) −−→ PP1 = λ ·N = d

gdzie: |λ| = | −−→ PP1| |N| ; d = [xP − xM , yP − yM ]. Zatem

d = |d| |N| ·N (326)

Mnożąc (326) obustronnie przez N mamy

d ·N = |d||N|N ·N

Korzystamy z własnósci iloczynu skalarnego

(xP − yM)A+ (yP − yM)B = |d|√ A2 +B2

¡ A2 +B2

¢ Następnie mamy14

AxP −AxM +ByP −ByM = |d| · |N| (327) Ponieważ punkt P leży na prostej, to musi spełniać jej równanie

AxP +ByP + C = 0

Stąd AxP +ByP = −C (328)

Czyli −AxM −ByM − C = |d| · |N|

Ostatecznie więc

|d| = |AxM +ByM + C||N| (329)

14N ·N = |N|2, czyli 1|N| ·N ·N = |N|.

109

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

7.4 Dwusieczne kątów dwóch przecinających się prostych

Twierdzenie 7.13 Jeżeli proste l1, l2 dane równaniem

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 [A1, B1] 6= 0

l2 : A2x+B2y + C2 = 0 [A2, B2] 6= 0 (330)

przecinają się, to równanie

|A1x+B1y + C1|p A21 +B

2 1

= |A2x+B2y + C2|p

A22 +B 2 2

(331)

przedstawia sumę dwusiecznych d1, d2 prostych l1, l2. Równanie to rozpisuje się na dwa, opisu- jące każdą z dwusiecznych

A1x+B1y + C1p A21 +B

2 1

= A2x+B2y + C2p

A22 +B 2 2

(332)

A1x+B1y + C1p A21 +B

2 1

= −A2x+B2y + C2p A22 +B

2 2

(333)

Jeżeli analizowane proste są równoległe i różne, to jedno z powyższych równań przedstawia prostą równolegdo l1 i l2 i jednakowo odległą od l1 i l2, a drugie z tych równań jest sprzeczne. Jeżeli proste pokrywają się l = l1 = l2, to jedno z powyższych równań przedstawia prostą

l, a drugie ma postác 0x+ 0y = 0 i jest spełnione przez dowolny punkt płaszczyzny 0xy.

7.5 Pęk prostych

Definicja 7.3 Pękiem prostych nazywamy rodzinę prostych przechodzących przez pewien wspólny punkt, zwany wierzchołkiem pęku, a także rodzinę prostych równoległych do pewnej prostej, zwanej kierunkiem peku. Pęk prostych jest wyznaczany, jeżeli są dane dwie różne proste tego pęku.

Niech będą dane dwie proste

l1 : A1x+B1y + C1 = 0 l2 : A2x+B2y + C2 = 0

Utworzymy kombinację liniową tych równań

λ (A1x+B1y + C1) + µ (A2x+B2y + C2) = 0 (334)

Stąd mamy (λA1 + µA2)x+ (λB1 + µB2) y + (λC1 + µC2) = 0 (335)

7.6 Prosta w przestrzeni

Wyznaczenie prostej w przestrzeni jest możliwe na kilka sposobów. W punkcie tym przedstawimy sposób, który polega na wskazaniu jednego punktu tej prostej oraz jej kierunku. Kierunek prostej okréslamy definiując wektor niezerowy, do którego prosta ma býc równoległa.

110

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

7.6.1 Prosta przechodząca przez dany punkt i równoległa do danego wektora

Prosta l przechodząca przez dany punkt P0 = (x0, y0, z0) i równoległa do danego niezerowego wektora u = [a, b, c] (rys. 31) ma równanie

−−→ P0P = tu, t ∈ R - postác wektorowa

x− x0 = aty − y0 = btz − z0 = ct - postác parametryczna

x− x0 a

= y − y0 b

= z − z0 c

- postác podwójnej pro-

porcji¯̄̄̄ x− x0 y − y0 a b

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ y − y0 z − z0 b c

¯̄̄̄ =

¯̄̄̄ x− x0 z − z0 a c

¯̄̄̄ = 0 - postác wyznacznikowa

rank

∙ x− x0 y − y0 z − z0 a b c

¸ = 1 - postác macierzowa

(336)

Przykład 7.2 Wyznaczyć prostą przechodzącą przez punkt (2, 5, 7) i równoległą do wektora [4, 3, 8].

Rozwiązanie 7.2 Najwygodniej jest wyznaczyć równanie w postaci proporcji podwójnej (336). Podstawiając odpowiednie dane otrzymujemy

x− 2 4

= y − 5 3

= z − 7 8

7.6.2 Prosta przechodząca przez dwa różne punkty

0z

P

P0

l

0x

0y

0xx − 0zz

0yy

v

a b

c

Rysunek 31: Prosta przechodząca przez P0 i równoległa do wektora v.

Zagadnienie to omawia twierdzenie:

Twierdzenie 7.14 Prosta przechodząca przez dane dwa różne punkty P0 = (x0, y0, z0) i P1 = (x1, y1, z1) jest opisana równaniami

−−→ P0P = t

−−→ P0P1 t ∈ R (337)

x− x0 = t (x1 − x0) y − y0 = t (y1 − y0) z − z0 = t (z1 − z0)

(338)

x− x0 x1 − x0

= y − y0 y1 − y0

= z − z0 z1 − z0

(339)

7.7 Płaszczyzna w przestrzeni

Twierdzenie 7.15 PłaszczyznaG przechodząca przez dany punkt P0 = (x0,y0, z0) i prostopadła do danego niezerowego wektora

111

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

N = [A,B,C] (rys. 32) jest opisana równaniami

N ·−−→P0P = 0 - postać wektorowa A (x− x0) +B (y − y0) + C (z − z0) = 0 - postać szczególna Ax+By + Cz +D = 0 - postać ogólna

(340)

Przykład 7.3 Wyznaczyć równanie płaszczyzny G symetralnej odcinkaM1M2 o końcachM1 = (−2, 1, 7), M2 = (4, 5, 3).

Rozwiązanie 7.3 Płaszczyzna G jest prostopadła do wektora −−−−→ M1M2 i przechodzi przez punkt

P0 =

µ M1x +M2x

2 , M1y +M2y

2 , M1z +M2z

2

¶ = (1, 3, 5)

Wektor −−−−→ M1M2 = [6, 4,−4]. Zgodnie z równaniem (340) mamy

6 (x− 1) + 4 (y − 3)− 4 (z − 5) = 0

Stąd otrzymujemy 3x+ 2y − 2z + 1 = 0

0z

0x

0y

P

N

P0

G

Rysunek 32: Płaszczyzna przechodząca przez P0 i prostopadła do wektora N.

Przedstawimy teraz równania płaszczyzny prze- chodzącej przez dany punkt w przestrzeni i równoległej do danych dwóch różnych wektorów.

Twierdzenie 7.16 PłaszczyznaG przechodząca przez dany punkt P0(x0, y0, z0) i równoległa do danych dwóch wektorów nierównoległych v1 = [a1, b1, c1], v2 = [a2, b2, c2] (patrz rys. 33) jest opisana równaniami −−→ P0P = tv1 + sv2, t, s ∈ R postać wektorowa⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ x− x0 = a1t+ a2s

y − y0 = b1t+ b2s

z − z0 = c1t+ c2s

postać parametryczna

¯̄̄̄ ¯̄ x− x0 a1 a2y − y0 b1 b2 z − z0 c1 c2

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 postać wyznacznikowa

(341)

Twierdzenie 7.17 Płaszczyzna G przechodząca przez trzy dane punkty (patrz rys. 33), które nie leżą na jednej prostej P0 = (x0, y0, z0) , P1 = (x1, y1, z1) , P2 = (x2, y2, z2) jest opisana równaniem wyznacznikowym¯̄̄̄

¯̄ x− x0 x1 − x0 x2 − x0y − y0 y1 − y0 y2 − y0 z − z0 z1 − z0 z2 − z0

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 (342)

112

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

0z

0y

0x

P

v2

v1

P0G

P0 P

P1

P2

Rysunek 33: Płaszczyzna przechodząca przez punkt i równoległa do wektorów i płaszczyzna przechodząca przez trzy punkty.

które jest równoważne równaniu ¯̄̄̄ ¯̄̄̄ x x0 x1 x2y y0 y1 y2 z z0 z1 z2 1 1 1 1

¯̄̄̄ ¯̄̄̄ = 0 (343)

Twierdzenie 7.18 Płaszczyzna G zawierająca dwie proste l1, l2 równoległe i różne

l1 : x− x1 a

= y − y1 b

= z − z1 c

l2 : x− x2 a

= y − y2 b

= z − z2 c

jest opisana równaniem ¯̄̄̄ ¯̄ x− x1 a x2 − x1y − y1 b y2 − y1 z − z1 c z2 − z1

¯̄̄̄ ¯̄ = 0 (344)

7.7.1 Postác kierunkowa płaszczyzny

Podamy twierdzenie:

Twierdzenie 7.19 Dowolną płaszczyznę nierównoległą do osi 0z można przedstawíc równa- niem kierunkowym

z = ax+ by + c postać kierunkowa płaszczyzny (345)

i na odwrót, dla dowolnie obranych wartósci a, b, c równanie to przedstawia pewną płaszczyznę nierównoległą do osi 0z.

113

docsity.com

7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3 MATEMATYKA

7.8 Przykłady

Przykład 7.4 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (4, 2) i

a) równoległej do wektora [3, 5]; e) przechodzącej przez punkt (1,−1); b) prostopadłej do wektora [3, 5]; f) tworzącej z osią 0x kąt 600; c) równoległej do wektora [1, 0]; g) tworzącej z osią 0y kąt −450. d) prostopadłej do wektora [1, 0];

Rozwiązanie 7.4 Przedstawimy kilka postaci rozwiązań:

a) Mamy x0 = 4, y0 = 2,u = [3, 5]. Postać ogólna −−→ P0P = tu.

x− 4 = 3t y − 2 = 5t - postać parametryczna

x− 4 3

= y − 2 5

- postać proporcji

¯̄̄̄ x− 4 y − 2 3 5

¯̄̄̄ = 0 - postać wyznacznikowa

Z postaci tej dochodzimy do zapisu ogólnego

5 (x− 4)− 3 (y − 2) = 0 → 5 (x− 4) = 3 (y − 2)

y − 2 = 5 3 (x− 4)

y = 5

3 x− 14

3 - postać kierunkowa

Czyli 5x− 3y − 14 = 0

b) N = [3, 5]. Zgodnie z Twierdzeniem 7.2 otrzymujemy

N ·−−→P0P = A (x− x0) +B (y − y0) = 0

Stąd 3 (x− 4) + 5 (y − 2) = 0.

3x+ 5y − 22 = 0 → postać ogólna

y = −3 5 x+

22

5 → postać kierunkowa

c) x0 = 4, y0 = 2, u = [1, 0] , −−→ P0P = t · u czyli x− x0 = t y − y0 = 0 → y = 2

d) N ·−−→P0P = 0, N = [1, 0] czyli 1 · (x− 4) + 0 (y − 2) = 0→ x = 4

e) x1 = 4, y1 = 2; x2 = 1, y2 = −1→ y − 2 x− 4 =

−1− 2 1− 4 . Stąd y = x− 2 lub x− y − 2 = 0.

α = 600, tgα = √ 3 = m → y = mx + b → 2 =

√ 3 · 4 + b → b = 2

¡ 1− 2

√ 3 ¢ . Stąd

y = √ 3x+ 2

¡ 1− 2

√ 3 ¢ lub y − 2 =

√ 3 (x− 4)

114

docsity.com

MATEMATYKA 7. PROSTA I PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI R3

f) α = −450, tgα = −1 = m, y = −x+ b, 2 = −4 + b,b = 6, y = −x+ 6

Przykład 7.5 Napisać w postaci ogólnej równanie prostej, która przechodzi przez punkt (1, 3) i

a) jest równoległa do wektora [4,−1], d) przechodzi przez punkt (2, 3), b) jest prostopadła do wektora [4,−1], e) przechodzi przez punkt (1, 5). c) przechodzi przez punkt (2, 5),

Rozwiązanie 7.5 Analizujemy kolejno:

a) Wychodzimy z postaci wyznacznikowej¯̄̄̄ x− 1 y − 3 4 −1

¯̄̄̄ = − (x− 1)− 4 (y − 3) = 0

Stąd x+ 4y − 13 = 0.

b) N ·−−→P0P = 4 (x− 1)− (y − 3) = 0. Stąd 4x− y − 1 = 0.

c) x− 1 2− 1 =

y − 3 5− 3 → 2x− 2− y + 3 = 0→ 2x− y + 1 = 0.

d) x− 1 2− 1 =

y − 3 3− 3 A więc 0 (x− 1) = y − 3 czyli y = 3

e) x− 1 1− 1 =

y − 3 5− 3 Czyli 2 (x− 1) = 0 (y − 3). A więc x = 1.

Przykład 7.6 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt (−1, 4) i prostopadłej do prostej

a) 2x− 5y − 7 = 0, d) y = 3, b) x− 3y = 0, e) x = 3. c) y = x,

Rozwiązanie 7.6 1. Mamy 2x − 5y − 7 = 0 → A1 = 2, B1 = −5. Z Twierdzenia 7.9 wiemy, że dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

A1A2 +B1B2 = 0

A więc 2A2 − 5B2 = 0. Jeżeli przyjmiemy, że A2 = 5, to B2 = 2. Stąd 5 (x+ 1) + 2 (y − 4) = 0 czyli 5x+ 2y − 3 = 0.

2. Na mocy Twierdzenia 7.10 mamy 1 + m1m2 = 0. Współczynnik kierunkowy prostej 2x − 5y − 7 = 0 jest równy m1 = 25

¡ y = 2

5 x− 7

5

¢ . Współczynnik kierunkowy prostej

prostopadłej jest równy m2 = −52 . A więc

y = −5 2 x+ b

Prosta ta ma przechodzíc przez P0 = (−1, 4). Stąd b przyjmuje wartósć

4 = 5

2 + b→ b = 3

2

Czyli 2y = −5x+ 3. A więc 5x+ 2y − 3 = 0.

115

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument