Teoria Tornity-Takesakiego - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Matematyka. University of Bialystok
klucz82
klucz8218 marca 2013

Teoria Tornity-Takesakiego - Ćwiczenia - Teoria operatorów, Notatki'z Matematyka. University of Bialystok

PDF (114 KB)
1 strona
770Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu teorii operatorów: teoria Tornity-Takesakiego.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd1 strona / 1
Pobierz dokument

Algebry operatorów w przestrzeniach Hilberta

Lista 3 (wprowadzenie do teorii Tomity-Takesakiego)

Zad 1. Niech p, q ∈ B(H) bed¡ rzutami (ortogonalnymi). Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne

a) p + q jest rzutem (ortogonalnym)

b) pq = qp = 0

c) pH⊥qH.

Zad 2. NiechM⊂ B(H) b¦dzie algebr¡ von Neumanna i niech x ∈ H. Uzasadni¢, »e

a) x jest wektorem separuj¡cym dlaM⇐⇒ x jest wektorem cyklicznym dlaM′

b) x jest wektorem cyklicznym dlaM⇐⇒ x jest wektorem separujacym dlaM′

Zad 3. Zbada¢ problem istnienia wektorów cyklicznych i separuj¡cych dla algebrM z zadania 6 z poprzedniej listy. Które z tych algebr s¡ w reprezentacji standardowej?

Zad 4. NiechM ⊂ B(H) b¦dzie algebr¡ von Neumanna w reprezentacji standardowej i niech Ω ∈ H b¦dzie cyklicznym separatorem dla M. Pokaza¢, »e dla dowolnego wektora x ∈ H przyporz¡dkowanie

mΩ T−→ mx, m ∈M,

zadaje g¦sto okre±lony operator liniowy T , którego domkni¦cie (równie» oznaczane przez T ) jest operatorem stowarzyszonym zM′. W szczególno±ci, je±li T ∈ B(H), to T ∈M′.

Zad 5. Omówi¢ teori¡ Tomtiy na przykªadzie W ∗-algebr L∞[0, 1] oraz M2×2(C).

Algebry operatorów w przestrzeniach Hilberta

Lista 3 (wprowadzenie do teorii Tomity-Takesakiego)

Zad 6. Niech p, q ∈ B(H) bed¡ rzutami (ortogonalnymi). Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne

a) p + q jest rzutem (ortogonalnym)

b) pq = qp = 0

c) pH⊥qH.

Zad 7. NiechM⊂ B(H) b¦dzie algebr¡ von Neumanna i niech x ∈ H. Uzasadni¢, »e

a) x jest wektorem separuj¡cym dlaM⇐⇒ x jest wektorem cyklicznym dlaM′

b) x jest wektorem cyklicznym dlaM⇐⇒ x jest wektorem separujacym dlaM′

Zad 8. Zbada¢ problem istnienia wektorów cyklicznych i separuj¡cych dla algebrM z zadania 6 z poprzedniej listy. Które z tych algebr s¡ w reprezentacji standardowej?

Zad 9. NiechM ⊂ B(H) b¦dzie algebr¡ von Neumanna w reprezentacji standardowej i niech Ω ∈ H b¦dzie cyklicznym separatorem dla M. Pokaza¢, »e dla dowolnego wektora x ∈ H przyporz¡dkowanie

mΩ T−→ mx, m ∈M,

zadaje g¦sto okre±lony operator liniowy T , którego domkni¦cie (równie» oznaczane przez T ) jest operatorem stowarzyszonym zM′. W szczególno±ci, je±li T ∈ B(H), to T ∈M′.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument