Matematyka - Notatki - Algebra - Część 1, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics
Irena85
Irena8524 March 2013

Matematyka - Notatki - Algebra - Część 1, Notatki'z Algebra. Warsaw School of Economics

PDF (3 MB)
90 strona
897Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące tematów z zakresu algebry: matematyka.Część 1.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 90
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument

MATEMATYKA

Zbiory i odwzorowania 2 Liczby zespolone 4 4 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych 6 6 Algebra liniowa 2 2 Wektory w przestrzeni. Prosta i płaszczyzna w przestrzeni 6 6 Ciągi i szeregi liczbowe 4 4 Przestrzeń metryczna 2 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 6 8 Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 8 6 Całka nieoznaczona 6 6 Całka oznaczona 6 6 Równania różniczkowe zwyczajne 8 8 Prace kontrolne 4

60 60

1

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

1 Zbiory i odwzorowania

1.1 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej

Zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, 4, . . .}

oraz naturalne uporządkowanie tego zbioru, w którym po każdej liczbie naturalnej n następuje liczba naturalna n + 1, są pojęciami pierwotnymi. Wszystkie własnósci liczb naturalnych wynikają z kilku własnósci podstawowych, które przyjmuje się bez dowodu jako aksjomaty teorii liczb naturalnych. Do aksjomatów tych należy zasada indukcji zupełnej, którą formułuje twierdzenie:

Twierdzenie 1.1 Jeżeli W jest własnóscią okrésloną w zbiorze N i taką, że:

1. liczba 1 ma własnósć W ,

2. dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest implikacja:

jeżeli n ma własnósć W , to n+ 1 ma własnósć W

to każda liczba naturalna ma własnósć W .

Wykażemy, że dla wszystkich liczb naturalnych i nie mniejszych od 5 zachodzi nierównóśc

2n > n2 (1)

W tym celu udowodnimy, że funkcja f (n) = 2n − n2 przyjmuje wartósci dodatnie dla wszystkich n naturalnych nie mniejszych od 5. Dla n = n0 = 5 mamy f (n0) = f (n) = 32− 25 > 0. Mamy wykazác, że dla n ≥ 5 prawdziwa jest implikacja

f (n) > 0⇒ f (n+ 1) > 0

W wyniku przekształceń otrzymujemy

f (n+ 1) = 2n+1 − (n+ 1)2 = 2 · 2n − n2 − 2n− 1 = = 2 · 2n − 2n2 +

¡ n2 − 2n− 1

¢ = 2

¡ 2n − n2

¢ + ¡ n2 − 2n− 1

¢ =

= 2f (n) + (n− 3) (n+ 1) + 2

Widác stąd, że dla n ≥ 5 spełniona jest nierównóśc (1). Potęgę an o wykładniku n naturalnym i podstawie a dowolnej definiujemy indukcyjne za

pomocą równósci:

1. a1 = a,

2. an+1 = a · an dla dowolnego n naturalnego.

Z powyższych równósci wynika, że a2 = a · a, a3 = a · a · a itd. Możemy to wyrazíc jednym wzorem

an = a · a · a · . . . · a| {z } n razy

Uwaga 1.1 W zbiorze liczb naturalnych dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrz- nymi i każde z tych działań jest łączne. Zatem N jest półgrupą ze względu na dodawanie i półgrupą ze względu na mnożenie.

2

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

1.2 Liczby całkowite i liczby wymierne

Zbiór liczb całkowitych

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

składa się z:

1. liczb całkowitych dodatnich +1, +2, +3, . . ., które uważamy za identyczne z liczbami naturalnymi 1, 2, 3, . . .,

2. liczb całkowitych ujemnych −1, −2, −3, . . ., które są liczbami przeciwnymi do liczb naturalnych,

3. liczby zero 0, która jest liczbą całkowitą neutralną (ani dodatnią, ani ujemną).

Dwie liczby nazywamy liczbami wzajemnie przeciwnymi, jeżeli ich suma jest zerem. Liczbę przeciwną do n oznaczamy −n, a liczbę przeciwną do −n oznaczamy − (−n) = n. Liczbą przeciwną do zera jest zero.

Uwaga 1.2 W zbiorze liczb całkowitych dodawanie, odejmowanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi.

Liczbą wymierną nazywamy liczbę, którą można przedstawíc w postaci ułamka zwykłego

m

n n 6= 0

którego licznik m jest dowolną liczbą całkowitą, a mianownik n jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q. Zamiast m

n piszemy często m/n. Liczbę

całkowitą m utożsamiamy z ułamkiem m

1 .

Przedstawienie liczby wymiernej w postaci ułamka zwykłego jest możliwe na nieskończenie wiele sposobów, bowiem

m

n = km

kn k 6= 0

Ułamek m

n nazywamy skróconym, jeżeli jego licznik i mianownik nie mają wspólnego

podzielnika, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.

Uwaga 1.3 W zbiorze liczb wymiernych dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie są działaniami wewnętrznymi.

Możemy teraz rozszerzýc definicję potęgi na wykładnik zero i wykładnik całkowity ujemny dla dowolnej podstawy niezerowej

a0 = 1 a−n = 1/an dla a 6= 0

3

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

1.3 Liczby rzeczywiste

1.3.1 Liczby niewymierne

Wśród wielkósci rozważanych w geometrii są takie, które nie dają się wyrazíc za pomocą liczb wymiernych. Do wielkósci tych należą:

1. pole okręgu o promieniu 1,

2. długóśc przekątnej kwadratu o boku jednostkowym,

3. długóśc krawędzi széscianu o objętósci równej 10 itp.

Dla wyrażenia tych wielkósci rozszerzono pojęcie liczby wprowadzając liczby niewymierne. Poszczególne liczby niewymierne są dane jako pierwiastki pewnych równań, jako granice pewnych ciągów lub za pomocą innych warunków. Uważamy, że liczba niewymierna jest przez dany warunek okréslona, jeżeli warunek ten pozwala o każdej liczbie wymiernej rozstrzygną́c czy jest mniejsza, czy większa od danej liczby niewymiernej. Warunek ten rozdziela zbiór liczb wymiernych na dwie klasy: dolną i górną. Mówimy, że liczba niewymierna jest przekrojem zbioru liczb wymiernych. Jednoczésnie warunek ten pozwala wyznaczýc przybliżenie wymierne danej liczby niewymiernej z dowolnie małym bdem. Zilustrujemy to opisem. Długóśc x krawędzi széscianu o objętósci 10 jest liczbą wyznaczoną przez warunek x3 = 10.

Okazuje się, że széscian dowolnej liczby wymiernej jest albo większy albo mniejszy od tej wartósci. Wówczas zaliczamy daną liczbę wymierną do klasy górnej lub dolnej. Jest to przekrój zbioru liczb wymiernych wyznaczający liczbę 3

√ 10.

Sprawdzenie Klasa Przekrój Klasa Sprawdzenie warunku dolna górna warunku

23 = 8 2.13 = 9.261 2.153 = 9.938375

2 2.1 2.15

3 2.2 2.16

33 = 27 2.23 = 10.648 2.163 = 10.077696

. . . . . . 3 √ 10 . . . . . .

Tak więc liczby wymierne 2.15 i 2.16 są przybliżeniami liczby niewymiernej 3 √ 10 z błędem

mniejszym od 0.01. W powyższy sposób możemy wyznaczýc przybliżenie wymierne liczby 3 √ 10 z błędem dowolnie małym.

1.3.2 Przekrój Dedekinda

Definicja 1.1 Podział zbioru liczb wymiernych na dwa podzbiory A, B niepuste i takie, że

1. każda liczba wymierna należy do A lub do B,

2. każda liczba wymierna należąca do A jest mniejsza od każdej liczby wymiernej należącej do B

nazywamy przekrojem zbioru liczb wymiernych.

Nie jest możliwe, aby w klasie A istniała liczba największa a i aby jednoczésnie w klasie B istniała liczba najmniejsza b, gdyż wtedy średnia arytmetyczna nie mogłaby należéc do żadnej

4

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

z klas A, B i warunek 1 nie byłby spełniony. Fakt ten wyrażamy wówiąc: w zbiorze liczb wymiernych nie ma skoków. Jest możliwe, że w klasie A istnieje liczba największa c, a w klasie B nie ma liczby

najmniejszej, lub odwrotnie, w klasie B istnieje liczba najmniejsza c, a w klasie A nie ma liczby największej. Wówczas mówimy, że przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza liczbę wymierną c. Jeżeli w klasie A nie ma liczby największej, ani w klasie B nie ma liczby najmniejszej,

to mówimy, że przekrój ujawnia lukę w zbiorze liczb wymiernych oraz wyznacza liczbę niewymierną, która tę lukę zapełnia. Jednolite ujęcie liczb wymiernych i niewymiernych za pomocą przekrojów wprowadził

Dedekind.

1.3.3 Liczby rzeczywiste

Wszystkie liczby wymierne i niewymierne (wszystkie przekroje Dedekinda) razem wzięte tworzą zbiór liczb rzeczywistych R. Przy wykonywaniu działań na liczbach rzeczywistych posługujemy się przybliżeniami wymiernymi tych liczb. Pokażemy to na przykładzie sumy 3 √ 10 +

√ 2. Biorąc przybliżenia dziesiętne tych liczb, dolne i górne, z błędem mniejszym od

0.01 i dodając je 2.15 < 3

√ 10 < 2.16

1.41 < √ 2 < 1.42

3.56 < 3 √ 10 +

√ 2 < 3.58

otrzymujemy przybliżenia sumy z błędem mniejszym od 0.02.

Uwaga 1.4 W zbiorze liczb rzeczywistych R dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie (przez liczbę różną od zera) oraz potęgowanie przy wykładniku całkowitym są działaniami wewnętrznymi.

Definicja 1.2 Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia naturalnego n liczby rzeczywistej c nazywamy liczbę rzeczywistą

x = n √ c (2)

która jest rozwiązaniem równania xn = c (3)

przy zastrzeżeniu, że jeżeli n jest liczbą parzystą, to x ≥ 0 i c ≥ 0.

Pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego liczby ujemnej nie istnieje, bowiem równanie (3) nie ma rozwiązania, gdy n jest parzyste, a c < 0. Jeżeli pierwiastek arytmetyczny istnieje, to jest okréslony jednoznacznie: n

√ 0 = 0, n

√ 1 = 1, 3

√ 8 = 2, 3

√ −8 = −2, 4

√ 16 = 2, 4

√ −16−

nie istnieje.

Definicja 1.3 Potęgę am/n o wykładniku wymiernym m n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n

liczbą naturalną, definiujemy wzorem

a

m

n = n √ am dla a > 0 (4)

ograniczając się do przypadku, gdy podstawa a jest liczbą dodatnią.

5

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

Ograniczenie to wynika z faktu, że dla a ≤ 0 prawa strona (4) może tracíc sens lub miéc wartóśc zależną nie tylko od wartósci wykładnika wymiernego m

n , ale i od postaci, w jakiej ten

wykładnik napisano, np.

(−0.1)0.2 = ( (−1)1/5 = 5

√ −1 = −1

(−1)2/10 = 10 q (−1)2 = +1

Wynika stąd, że przekształcenie n √ am =

kn √ akm

może býc stosowane, jeżeli a > 0. Definiując liczby rzeczywiste za pomocą przekrojów w zbiorze liczb wymiernych, możemy

teraz konstruowác w analogiczny sposób przekroje w zbiorze liczb rzeczywistych. Udowadnia się, że każdy przekrój w zbiorze liczb rzeczywistych wyznacza jaką́s liczbę rzeczywistą. Oznacza to, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma skoków i nie ma luk. Fakt ten wyrażamy mówiąc, że zbiór liczb rzeczywistych jest ciągły.

1.3.4 Wartóśc bezwzględna (moduł)

Definicja 1.4 Wartósć bezwzględną (moduł) liczby rzeczywistej x oznaczamy symbolem |x| i definiujemy następująco:

• moduł zera jest zerem,

• moduł liczby dodatniej x jest równy x,

• moduł liczby ujemnej x jest równy liczbie przeciwnej do liczby x, a więc

|x| = ½ x dla x ≥ 0 −x dla x < 0 (5)

Na przykład: |a2| = a2, |−a2| = − (−a2) = a2, |cos2 x− 1| = − (cos2 x− 1) = sin2 x. Następnie mamy przykład uproszczenia wyrażenia

√ w2. Z definicji pierwiastka arytmetycznego

wynika, że √ w2 = w dla w ≥ 0√ w2 = −w dla w < 0

Jeżeli nie wiemy, jaką liczbą jest w, to zgodnie z definicją (5) piszemy

√ w2 = |w| dla w ∈ R

Natomiast

√ x2 + 2x+ 1 =

q (x+ 1)2 = |x+ 1| =

½ x+ 1 dla x ≥ −1 −x− 1 dla x < −1

6

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Twierdzenie 1.2 Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są następujące związki1

|x| ≥ 0 moduł dowolnej liczby jest nieujemny |x| = 0⇔ x = 0 moduł liczby jest zerem wtw, gdy liczba jest zerem |x| = |−x| liczby przeciwne mają moduły jednakowe |xy| = |x| · |y| moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów¯̄̄̄ x

y

¯̄̄̄ = |x| |y| moduł ilorazu jest równy ilorazowi modułów

|x+ y| ≤ |x|+ |y| moduł sumy jest niewiększy od sumy modułów |x− y| ≥ |x|− |y| moduł różnicy jest niemniejszy do różnicy modułów ||x|− |y|| ≤ |x± y| ≤ |x|+ |y| moduł sumy lub różnicy jest niewiększy od sumy modułów

i niemniejszy od różnicy modułów

1.4 Działania na zbiorach

Zbiór jest w matematyce pojęciem pierwotnym. Przedmioty należące do pewnego zbioru nazywamy elementami tego zbioru. Zdanie: przedmiot a należy do zbioru A zapisujemy

a ∈ A Zaprzeczenie tego zdania, że a nie należy do A (a nie jest elementem zbioru A) zapisujemy

a /∈ A Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B i piszemy

A ⊂ B gdy każdy element zbioruA jest elementem zbioruB. Mówimy wówczas, żeA jest podzbiorem zbioru B, a B jest nadzbiorem zbioru A.

Uwaga 1.5 Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem.

Mówimy, że zbiory A i B są identyczne i piszemy A = B, jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i każdy element zbioru B jest elementem zbioru A. A więc

(A = B)⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) (6) Przestrzeń. Zbiory rozważane w pewnym zagadnieniu są zwykle podzbiorami pewnego ustalonego

zbioruX, zwanego przestrzenią. Przestrzenią może býc zbiór punktów przestrzeni geometry- cznej, zbiór liczb rzeczywistych R, zbiór wielomianów itp. Zbiory skończone i nieskończone. Niech n oznacza dowolną liczbę naturalną lub 0. Zbiór złożony z n elementów nazywamy

zbiorem skończonym (n−elementowym). Zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli dla każdego n istnieje w tym zbiorze podzbiór złożony z n elementów. Na przykład, zbiór podziel- ników dowolnej liczby naturalnej jest skończony, natomiast zbiór jej wielokrotnósci jest nieskoń- czony. Jeżeli zbiór jest skończony, to można go zdefiniowác wymieniając wszystkie jego elementy.

Zdanie: A jest zbiorem złożonym z elementów a1, a2, a3, . . . , an zapisujemy

A = {a1, a2, a3, . . . , an} i rozumiemy przez to, że:

1wtw czytamy: wtedy i tylko wtedy

7

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

1. każdy z przedmiotów a1, a2, a3, . . . , an należy do zbioru A,

2. tylko przedmioty a1, a2, a3, . . . , an należą do zbioru A.

Jeżeli zbiór jest nieskończonym podzbiorem pewnej przestrzeni, to definiujemy go podając warunek, który jest spełniony przez wszystkie elementy tego zbioru. Na przykład: A jest zbiorem złożonym z elementów przestrzeni X spełniających warunek W

A = {x ∈ X :W (x)}

Jeżeli nie ma wątpliwósci, o jaką przestrzeń chodzi, to mówimy: A jest zbiorem tych x, które spełniają warunek W i piszemy:

A = {x :W (x)}

Niech będą dane dwa zbiory A, B.

Definicja 1.5 Sumą zbiorów nazywamy zbiór utworzony ze wszystkich elementów zbioru A i wszystkich elementów zbioru B

A ∪B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Definicja 1.6 Iloczynem (czę́scią wspólną) zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów zbioru A, które są elementami zbioru B

A ∩B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Definicja 1.7 Różnicą zbiorów A, B nazywamy zbiór tych elementów zbioru A, które nie są elementami zbioru B

A \B = {x : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}

Definicja 1.8 Mówimy, że zbiory A, B są rozłączne, jeżeli ich iloczyn jest zbiorem pustym (nie istnieje element, który należy do A i do B).

Definicja 1.9 Jeżeli zbiór A jest podzbiorem pewnej przestrzeni X, to różnicęX\B nazywamy dopełnieniem (uzupełnieniem) zbioru A.

1.4.1 Produkt kartezjański

Niech będą dane dwa zbiory X, Y . Nie wykluczamy możliwósci, że X, Y oznaczają jeden i ten sam zbiór. Jeżeli tak jest, to mówimy, że X i Y są dwoma egzemplarzami tego samego zbioru. Niech x oznacza dowolny element zbioru X, a y dowolny element zbioru Y . Utwórzmy parę

(x, y)

w której x jest pierwszym wyrazem, a y drugim. Zbiór takich par nazywamy produktem kartezjańskim zbiorów X, Y (lub produktem) i oznaczamy

X × Y = {(x, y) : (x ∈ X) ∧ (y ∈ Y )}

Przykład.

8

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Na płaszczýznie obieramy prostokątny układ kartezjańskiOxy. Wówczas każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada para (x, y) liczb rzeczywistych i każdej parze (x, y) liczb rzeczywistych odpowiada punkt płaszczyzny. Zbiór par (x, y) liczb rzeczywistych jest produktem R×R. Produktem zbiorów {1, 2} i {1, 2, 3} jest zbiór par

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3)

Produktem zbiorów {1, 2, . . . ,m} i {1, 2, . . . , n} jest zbiór par

(1, 1) (1, 2) · · · (1, n) (2, 1) (2, 2) · · · (2, n) · · · · · · · · · · · · (m, 1) (m, 2) · · · (m,n)

Produkt N 2 = N ×N jest to zbiór par (i, j) liczb naturalnych

(1, 1) (1, 2) · · · (1, j) · · · (2, 1) (2, 2) · · · (2, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · · (i, 1) (i, 2) · · · (i, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

1.5 Zbiory liczb. Kres górny, kres dolny

W punkcie tym będziemy rozważác tylko podzbiory przestrzeni liczb rzeczywistych R. Litera Z będzie oznaczác podzbiór liczb rzeczywistychR. Poniżej przedstawiamy zapis ogólny zbioru liczb x spełniających warunek W

x :W (x)

oraz przykłady zbiorów

{x : x2 = 9} = {−3,+3} zbiór 2−elementowy {x : x2 = 0} = {0} zbiór 1−elementowy {x : x2 < 0} zbiór 0−elementowy, czyli pusty {x : x2 < 9} = {x : −3 < x < 3} zbiór nieskończony

Najważniejszy rodzaj zbiorów to przedziały. Definiujemy je poniżej, zakładając, że a ∈ R, b ∈ R i a < b.

Definicja zbioru Symbol Nazwa {x : a ≤ x ≤ b} < a; b > przedział domknięty {x : a < x < b} (a; b) przedział otwarty {x : a ≤ x < b} < a; b) przedział lewostronnie domknięty,

prawostronnie otwarty {x : a < x ≤ b} (a; b > przedział lewostronnie otwarty,

prawostronnie domknięty

9

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

O każdym z powyższych przedziałów mówimy, że ma końce a, b, długóśc b−a (skończoną) i że jest ograniczony. Poniższe przedziały

Definicja zbioru Symbol Nazwa {x : a ≤ x} < a; +∞) przedział lewostronnie domknięty,

prawostronnie nieograniczony {x : a < x} (a; +∞) przedział otwarty, prawostronnie

nieograniczony {x : x ≤ b} (−∞; b > przedział lewostronnie nieograniczony,

prawostronnie domknięty {x : x < b} (−∞; b) przedział otwarty, lewostronnie

nieograniczony

nazywamy nieograniczonymi, mówiąc, że mają długóśc nieskończoną, że mają jeden koniec w skończonósci, a drugi w nieskończonósci. Zapis (−∞; +∞) oznacza całą przestrzeń R.

Definicja 1.10 Elementem największym zbioru liczb Z nazywamy tę liczbę, która należy do zbioru Z i jest większa od każdej z pozostałych liczb należących do zbioru Z. Liczbę tę oznaczamy

maxZ (maksimum Z)

Definicja 1.11 Elementem najmniejszym zbioru liczb Z nazywamy tę liczbę, która należy do zbioru Z i jest mniejsza od każdej z pozostałych liczb należących do zbioru Z. Liczbę tę oznaczamy

minZ (minimum Z)

W każdym skończonym zbiorze liczb istnieje element największy i element najmniejszy, np.

min © 0.1, √ 0.1 ª = 0.1 max {x,−x} = |x|

W zbiorze nieskończonym element największy i najmniejszy mogą nie istniéc, np.

maxN− nie istnieje max (0; 1)− nie istnieje

Definicja 1.12 Liczbę b nazywamy ograniczeniem górnym zbioru Z, jeżeli dla każdego x należącego do Z jest x ≤ b

∧ x∈Z x ≤ b

Definicja 1.13 Zbiór Z nazywamy ograniczonym od góry, jeżeli istnieje ograniczenie górne zbioru Z

∨ b ∧ x∈Z x ≤ b

Definicja 1.14 Liczbę a nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z, jeżeli dla każdego x należącego do Z jest a ≤ x

∧ x∈Z a ≤ x

Definicja 1.15 Zbiór Z nazywamy ograniczonym od dołu, jeżeli istnieje ograniczenie dolne zbioru Z

∨ b ∧ x∈Z a ≤ x

10

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Definicja 1.16 Zbiór nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór ten jest ograniczony od góry i od dołu. W przeciwnym razie zbiór nazywamy nieograniczonym.

Uwaga 1.6 Zbiór liczb naturalnych jest nieograniczony. Zbiór odwrotnósci liczb naturalnych jest ograniczony.

Definicja 1.17 Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnych tego zbioru. Kres górny zbioru Z oznaczamy

supZ (supremum Z)

Definicja 1.18 Kresem dolnym zbioru nazywamy największe z ograniczeń dolnych tego zbioru. Kres dolny zbioru Z oznaczamy

inf Z (infimum Z)

Uwaga 1.7 Kresem górnym przedziału (0; 1) jest liczba 1. Kresem dolnym zbioru odwrotnósci liczb naturalnych jest liczba 0.

Twierdzenie 1.3 Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego od góry istnieje jeden kres górny. Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego od dołu istnieje jeden kres dolny. Dla każdego zbioru niepustego i ograniczonego istnieje dokładnie jeden kres górny i dokładnie jeden kres dolny.

1.6 Odwzorowania (funkcje)

Definicja 1.19 Odwzorowanie jest w matematyce pojęciem pierwotnym.

YX

D W

x ( )xf

Rysunek 1: Odwzorowanie f(x).

Zamiast odwzorowanie mówimy też przekształcenie albo funkcja. Niech będą dane przestrzeń X,

której dowolny element oznaczamy przez x oraz przestrzeń Y , której dowolny element oznaczamy y = f (x). Zakładamy, że zbiory X i Y są niepuste. Niech D będzie pew- nym niepustym podzbiorem przes- trzeni X, co zapiszemy D ⊂ X

(patrz rys. 1), a W pewnym niepustym podzbiorem przestrzeni Y : W ⊂ Y . Jeżeli każdemu elementowi zbioru D został przyporządkowany dokładnie jeden element

zbioru Y , to mówimy, że zostało okréslone odwzorowanie zbioruD w zbiór Y czyli funkcja odwzorowująca zbiór D w zbiór Y . Funkcję tę oznaczamy przez f

f : D→ Y (czytamy: f jest funkcją odwzorowującą zbiór D w zbiór Y ). Każdy element zbioru D nazywamy argumentem funkcji f , a zbiór D− dziedziną funkcji f . Element zbioru Y , który funkcja f przyporządkowuje argumentowi x oznaczamy f (x)

x→ f (x) i nazywamywartóscią funkcji odpowiadającą argumentowi x. Pełny zapis omówionej funkcji ma postác:

f : D→ Y x→ f (x)

11

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

53.752.51.250

5

3.75

2.5

1.25

0

( ) 1162 +−= xxxf

XD =

W

Y

Rysunek 2: Odwzorowanie f(x) = x2 − 6x+ 11.

Zbiór wszystkich wartósci funkcji ozna- czamy W i nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Zapis

f : R→ R x→ f (x) = x2 − 6x+ 11

czytamy: f jest funkcją okrésloną na zbiorze liczb rzeczywistych i mającą wartósci w zbiorze liczb rzeczywistych dane wzorem f (x) = x2 − 6x + 11. Definicję tę i zapis często skracamy, mówiąc: f (x) jest funkcją okrésloną wzorem

f (x) = x2 − 6x+ 11 dla x ∈ R

W naszym przykładzie D = X = R, Y = R. Aby wyznaczýc przeciwdziedzinę W , zauważamy, że wartóśc funkcji f (x) = x2−6x+11 = (x− 3)2+2może býc równa 2 i może býc dowolną liczbą większą od 2. Zatem przeciwdziedzina W jest przedziałem < 2;∞) (patrz rys. 2).

Uwaga 1.8 X i Y mogą być różnymi przestrzeniami; w szczególnósci może być X = Y . DziedzinaD jest podzbiorem przestrzeni X, przy czym jest możliwe, żeD = X. Przeciwdziedzi- na W jest podzbiorem przestrzeni Y , ale może zachodzić W = Y .

Jednoznacznóśc funkcji Z okréslenia funkcji wynika, że każdemu argumentowi przyporządkowana jest tylko jedna

wartóśc funkcji. Fakt ten wyrażamy, mówiąc, że funkcja jest jednoznaczna. Funkcja różnowartósciowa (odwracalna) Jeżeli funkcja ma tę własnóśc, że każda jej wartóśc jest przyporządkowana tylko jednemu

argumentowi, czyli, że każdym dwom różnym argumentom odpowiadają różne wartósci funkcji

∧ x1∈D

∧ x2∈D

(x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2))

to mówimy, że funkcja jest różnowartósciowa, czyli odwracalna, a także jest wzajemnie jednoznaczna. Funkcja odwrotna Niech f (x) będzie funkcją różnowartósciową o dziedzinie D i przeciwdziedzinie W .

Definicja 1.20 Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję, której dziedziną jest W , a przeciwdziedziną D i która każdemu y należącemu do W przyporządkowuje ten element x zbioru D, któremu funkcja f przyporządkowała y. Jeżeli funkcję odwrotną do f oznaczymy ϕ, to

∧ y∈W

(ϕ (y) = x⇔ f (x) = y)

Jeżeli ϕ jest funkcją odwrotną do f , to także f jest funkcją odwrotną do ϕ

∧ x∈D

(f (x) = y ⇔ ϕ (y) = x)

zatem f i ϕ są funkcjami wzajemnie odwrotnymi.

12

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

1.7 Typy odwzorowań

Definicja 1.21 NiechD = N , a Y będzie dowolnym zbiorem. OdwzorowanieN w Y nazywamy ciągiem nieskończonym lub krótko ciągiem.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Element zbioru Y przyporządkowany liczbie n nazywamy n−tym wyrazem ciągu i oznaczamy an. Liczbom

1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .

są przyporządkowane wyrazy

a1, a2, a3, . . . , an, an+1, . . .

Sam ciąg (czyli odwzorowanie) oznaczamy symbolem

(a1, a2, . . .) lub (an)

W zależnósci od rodzaju elementów zbioru Y mamy różne rodzaje ciągów. Na przykład:

1. jeżeli Y = R, to mamy ciąg liczb rzeczywistych;

2. jeżeli Y jest zbiorem punktów pewnej sfery, to mamy ciąg punktów na tej sferze;

3. jeżeli Y jest zbiorem sfer, to mamy ciąg sfer (ciąg sfer współ́srodkowych o promieniach 1/n);

4. jeżeli Y jest zbiorem wielomianów, to mamy ciąg wielomianów.

Definicja 1.22 Jeżeli D = {1, 2, 3, . . . , k}, odwzorowanie nazywamy ciągiem skończonym k−wyrazowym.

Liczbom 1, 2, 3, . . . , k

są przyporządkowane wyrazy a1, a2, a3, . . . , ak

Ciąg skończony o powyższych wyrazach oznaczamy

(a1, a2, a3, . . . , ak)

JeżeliD = N ×N , to odwzorowanie nazywamy ciągiem dwuwskáznikowym. Dziedziną jest tu zbiór par liczb naturalnych. Niech i, j będą dowolnymi liczbami naturalnymi. Element dowolnego zbioru Y przyporządkowany parze (i, j) nazywamy wyrazem o wskáznikach i, j i oznaczamy aij lub ai,j. Tak więc parom liczb

(1, 1) (1, 2) · · · (1, j) · · · (2, 1) (2, 2) · · · (2, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · · (i, 1) (i, 2) · · · (i, j) · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

13

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

są przyporządkowane wyrazy a11 a12 · · · a1j · · · a21 a22 · · · a2j · · · · · · · · · · · · · · · · · · ai1 ai2 · · · aij · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Ciąg dwuwskáznikowy oznaczamy symbolem

(aij) lub (ai,j)

Jeżeli w ciągu dwuwskáznikowym ustalimy pierwszy wskáznik, nadając mu na przykład wartóśc i, to otrzymamy ciąg

(ai1, ai2, . . . , aij, . . .)

który nazywamy i−tym wierszem danego ciągu dwuwskáznikowego. Podobnie ustalając drugi wskáznik j, otrzymamy ciąg zwany j−tą kolumną. JeżeliD = {1, 2, . . . ,m}×{1, 2, . . . , n}, to odwzorowanie nazywamymacierzą dwuwskáz-

nikową albo macierzą prostokątną. Dziedzina jest zbiorem par liczb naturalnych (i, j), gdzie: i ≤ m, j ≤ n. Element pewnego zbioru Y przyporządkowany parze (i, j) nazywamy wyrazem o wskáznikach i, j danej macierzy i oznaczamy aij. Macierz zapisujemy w postaci tablicy⎡⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn

⎤⎥⎥⎦ lub [aij]i≤m,j≤n przy czym i nazywamy wskáznikiem wiersza, a j wskáznikiem kolumny. Parę liczb (m,n) nazywamy wymiarem macierzy. Jeżeli m = n, macierz nazywamy kwadratową i mówimy o niej, że jest stopnia n.

52.50-2.5-5

7.5

5

2.5

0

-2.5

-5

Rysunek 3: Odwzorowanie prostokątne.

2.51.250-1.25-2.5

2.5

1.25

0

-1.25

-2.5

Rysunek 4: Odwzorowanie biegunowe.

Odwzorowanie nazywamy:

1. funkcją rzeczywistą, jeżeli Y = R;

2. funkcją zmiennej rzeczywistej, jeżeli X = R;

3. funkcją rzeczywistą, zmiennej rzeczywistej, jeżeli X = Y = R.

14

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Definicja 1.23 Wykresem dowolnego odwzorowania nazywamy zbiór par (x, y), gdzie x jest dowolnym elementem dziedziny, a y przyporządkowanym mu przez odwzorowanie elementem przeciwdziedziny.

W sensie praktycznym wykresem nazywamy obraz geometryczny, z którego w przybliżeniu można odczytác wartósci funkcji i sposób, w jaki są one przyporządkowane argumentom (patrz rys. 3 i 4). Jeżeli X = R×R, Y = R, to odwzorowanie nazywamy funkcją rzeczywistą dwóch

zmiennych rzeczywistych. Argumentem tej funkcji jest para liczb rzeczywistych, wartóscią funkcji - liczba rzeczywista:

y = f (x) x = (x1, x2) lub

z = f (x, y)

Zbiór par (x, y) liczb rzeczywistych można utożsamiác ze zbiorem punktów P płaszczyzny; liczby x, y są współrzędnymi tego punktu. Jeżeli X = R×R×R, Y = R, to odwzorowanie nazywamy funkcją rzeczywistą

trzech zmiennych rzeczywistych. Argumentem tej funkcji jest trójka liczb rzeczywistych, wartóscią funkcji - liczba rzeczywista:

y = f (x) x = (x1, x2, x3) lub

u = f (x, y, z)

Zbiór trójek (x, y, z) liczb rzeczywistych można utożsamiác ze zbiorem punktów P powierz- chni; liczby x, y są współrzędnymi tego punktu. Dla funkcji trzech zmiennych nie istnieje interpretacja geometryczna, analogiczna do

tych, jakie przedstawiamy dla funkcji 1 i 2 zmiennych. Natomiast możliwa jest interpretacja geometryczno-fizyczna. Możemy uważác, że u jest pewną skalarną wielkóscią fizyczną (np. temperatura, gęstóśc) przyporządkowaną punktowi (x, y, z). Funkcja tak interpretowana nazy- wa się w fizyce polem skalarnym.

1.8 Symbole i wzory

Symbol sumy Symbolem sumy jest grecka litera

P (sigma duże). Symbolem tym posługujemy się, gdy

składniki sumy są wyrazami pewnego ciągu, na przykład sumę

a1 + a2 + a3 + . . .+ an n > 1

zapisujemy w postaci nX k=1

ak (7)

Zapis ten odczytujemy: suma ak od k = 1 do k = n. Litera k jest tu wskáznikiem sumowania, liczby 1 i n są granicami sumowania (dolną i górną). Sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych od 1 do 8 zapisujemy

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 8X k=1

k2

15

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

Symbolem sumy posługujemy się także w ogólniejszych przypadkach. Niech będzie dany ciąg nieskończony (a1, a2, . . .), a granice sumowania niech będą dowolnymi liczbami naturalnymi p, q, gdzie p < q. Wówczas symbol sumy ma następujący sens

qX k=p

ak = ap + ap+1 + . . .+ aq (8)

Dodatkowo, dla przypadku, gdy p = q, przyjmujemy

pX k=p

ak = ap (9)

Symbol sumy można też rozszerzýc na przypadek, gdy wskáznik sumowania przybiera wartóśc 0 lub wartósci całkowite ujemne, o ile odpowiadające tym wartósciom składniki sumy są okréslone, na przykład

2X k=−2 xk = x−2 + x−1 + x0 + x1 + x2 dla x 6= 0

Własnóśc 1.1 Zmiana litery oznaczającej wskáznik sumowania nie zmienia znaczenia sumy nX k=1

ak = nX j=1

aj = nX i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an (10)

Własnóśc 1.2 Jeżeli wyraz stojący pod znakiem sumy jest niezależny od wskáznika sumowania, to należy rozumiéc, że wszystkie składniki sumy mają jednakową wartósć i suma równa się iloczynowi tej wartósci przez liczbę składników

nX k=1

c = c+ c+ . . .+ c| {z } n razy

= nc (11)

Własnóśc 1.3 Czynnik niezależny od wskaźnika sumowania można wyłączyć przed znak sumy (lub wprowadzíc pod znak sumy)

nX k=1

tak = t nX k=1

ak (12)

Własnóśc 1.4 Obie granice sumowania można podwyższyć o dowolną liczbę r, jeżeli jednoczés- nie w wyrazie stojącym pod znakiem sumy odejmiemy od wskaźnika sumowania tę samą liczbę r

nX k=1

ak = n+rX k=1+r

ak−r = a1 + a2 + . . .+ an (13)

Suma podwójna Niech będzie dany ciąg dwuwskáznikowy o wyrazach aij, gdzie i = 1, 2, . . .m; j = 1, 2, . . . n

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn

(14)

16

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

Suma wyrazów i−tego wiersza wyraża się wzorem

nX k=1

aik dla i = 1, 2, . . .m

Suma wszystkich takich sum wyraża się iterowanym znakiem sumy

mX i=1

à nX k=1

aik

! (15)

Suma wyrazów k−tej kolumny wyraża się symbolem

mX i=1

aik dla k = 1, 2, . . . n

Suma wszystkich takich sum wyraża się również iterowanym znakiem sumy

nX k=1

à mX i=1

aik

! (16)

Uwaga 1.9 Sumy iterowane (15) i (16) różnią się kolejnóscią sumowania, lecz są równe, gdyż każda z nich jest sumą wszystkich wyrazów ciągu (14)

mX i=1

à nX k=1

aik

! =

nX k=1

à mX i=1

aik

! =

X i=1,...m k=1,...n

aik (17)

Symbol iloczynu Do oznaczenia iloczynu posługujemy się grecką literą

Y (pi duże)

nY k=1

ak = a1 · a2 · . . . · an (18)

4Y k=1

sin kx = sinx sin 2x sin 3x sin 4x

3Y j=0

(z − j) = z (z − 1) (z − 2) (z − 3)

log nY i=1

ai = nX i=1

log ai ai > 0 i = 1, 2, . . . n

Średnie

17

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

Niech będzie dany ciąg liczb dodatnich a1, a2, . . . , an. Definiujemy

A (a1, . . . , an) = 1

n

nX k=1

ak = a1 + . . .+ an

n średnia arytmetyczna

G (a1, . . . , an) = n

vuut nY k=1

ak = n √ a1 · . . . · an średnia geometryczna

H (a1, . . . , an) =

à 1

n

nX k=1

1

ak

!−1 =

n 1 a1 + . . .+ 1

an

średnia harmoniczna

K (a1, . . . , an) =

vuut1 n

nX k=1

a2k =

r a21 + . . .+ a

2 n

n średnia kwadratowa

(19)

Można udowodníc, że dla dowolnych dodatnich a1, . . . , an zachodzi

min (a1, . . . , an) ≤ H ≤ G ≤ A ≤ K ≤ max (a1, . . . , an)

Silnia Symbol n! (czytamy: n−silnia) oznacza funkcję, którą dla n = 0, 1, 2, . . . definiujemy

indukcyjnie wzorami

0! = 1 (n+ 1)! = (n+ 1)n! (20)

Mamy więc: 0! = 1! = 1, 2! = 1 · 2, 3! = 1 · 2 · 3 = 6, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 i ogólnie dla dowolnego n naturalnego

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n

Silnia podwójna Do oznaczenia iloczynu kolejnych liczb parzystych lub kolejnych liczb nieparzystych używa-

my tak zwanej silnii podwójnej, oznaczanej podwójnym wykrzyknikiem

2 · 4 · 6 · 8 = 8!! 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 9!!

Symbol Newtona Symbol Newtona

³n k

´ (czytamy: n po k), w którym element górny n jest dowolną liczbą,

a element dolny k jest liczbą naturalną, oznacza liczbę³n k

´ = n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k + 1)

1 · 2 · 3 · . . . · k n ∈ R k ∈ N

w którym mianownik jest iloczynem k kolejnych liczb naturalnych od 1 do k, a licznik jest iloczynem liczby n oraz liczb otrzymywanych przez pomniejszanie liczby n o kolejne liczby naturalne, przy czym licznik ma zawierác tyle samo czynników co mianownik. Ponadto³n

0

´ = 1 n ∈ R

Przykłady

18

docsity.com

MATEMATYKA 1. ZBIORY I ODWZOROWANIA

µ 4

0

¶ = 1

µ 4

1

¶ = 4

1 = 1

µ 4

2

¶ = 4 · 3 1 · 2 = 6µ

4

3

¶ = 4 · 3 · 2 1 · 2 · 3 = 4

µ 4

4

¶ = 4 · 3 · 2 · 1 1 · 2 · 3 · 4 = 1

µ 4

5

¶ = 4 · 3 · 2 · 1 · 0 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 0µ

4

6

¶ = 4 · 3 · 2 · 1 · 0 · (−1) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 0

µ −2 3

¶ = (−2) · (−3) · (−4)

1 · 2 · 3 = −4µ 1/2

3

¶ = (1/2) · (−1/2) · (−3/2)

1 · 2 · 3 = 1

16

Ã√ 2

2

! =

√ 2 · ¡√ 2− 1

¢ 1 · 2 ≈ 0.2929

Jeżeli górny element symbolu Newtona ³n k

´ jest liczbą naturalną, nie mniejszą od dolnego

elementu, to zachodzą równósci³n k

´ =

n!

k! (n− k)!³n k

´ =

µ n

n− k

¶ ³n k

´ +

µ n

k + 1

¶ =

µ n+ 1

k + 1

¶ Dwumian Newtona (a+ b)n

Są to kolejne potęgi dwumianu a+ b o wykładnikach n = 0, 1, 2, . . .

(a+ b)0 = 1

(a+ b)1 = a + b

(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+ b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Współczynniki stojące przy poszczególnych wyrazach rozwinięcia dwumianu (a+ b)n tworzą tak zwany trójkąt Pascala:

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wzór dwumienny Newtona

(a+ b)n = nX k=0

³n k

´ an−kbk =

= ³n 0

´ an +

³n 1

´ an−1b+

³n 2

´ an−2b2 +

³n 3

´ an−3b3 + . . .+

³n n

´ bn (21)

19

docsity.com

1. ZBIORY I ODWZOROWANIA MATEMATYKA

lub

(a+ b)n = nX k=0

³n k

´ an−kbk =

= an + nan−1b+ n (n− 1) 1 · 2 a

n−2b2 + n (n− 1) (n− 2)

1 · 2 · 3 a n−3b3 + . . .+ bn (22)

20

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

2 Teoria liczb zespolonych

2.1 Trochę historii

Liczby zespolone po raz pierwszy pojawiły się w XVI wieku przy rozwiązywaniu równania trzeciego stopnia (wzory Cardano). Włoscy matematycy

N. Tartoglia

S. del Ferro

G. Cardano

poszukiwali rozwiązań równania typu

z3 + pz + q = 0

w którym niewiadoma z i współczynniki p, q są liczbami rzeczywistymi.

Recepta według S. Lem, Cyberiada, rozdz.III, Smoki prawdopodobieństwa

Smok x Smok = Niedosmok (w ilości 0.6)

Analogia

?1 =−=i ??×=× ii

1−=× ii

Rysunek 5: Smoki S. Lema a jednostka urojona.

Podczas analiz natknęli się na prob- lem, polegający na koniecznósci wyciąga- nia pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Wymienieni uczeni wprowa- dzili, jako pojęcie pierwotne, nową wielkóśc, nazwaną jednóscią urojoną

i (często również oznaczaną przez j)

przyjmując jako aksjomat równóśc

i2 = −1

Następnie utworzyli liczby, nazwane liczbami zespolonymi

x+ iy x, y,∈ R

i wykonywali na nich działania według znanych regułmatematyki. Przy pomocy

tych liczb już potrafili rozwiązác równanie

z3 + pz + q = 0

Uzyskali wzór, zwany dzís wzorem Cardano. Był to sukces, choć w tamtych czasach nie było jasne, czym tak na prawdę są liczby zespolone. Wyjásnili to pó́zniej Euler, Gauss i Hamilton. Było to pierwsze zastosowanie liczb zespolonych w historii matematyki. Dzisiaj wiemy, że:

i0 = 1 i4 = 1 i1 = i i−1 = −i i2 = −1 i−2 = −1 i3 = −i

√ i = ? ćwiczenia

21

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

2.2 Liczby zespolone

Definicja 2.1 Liczby zepolone to uporządkowane pary liczb rzeczywistych (a, b), dla których dodawanie i mnożenie okréslamy za pomocą wzorów:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) (23)

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc) (24)

Ponadto zachodzi równóśc

(a, b) = (c, d)⇐⇒ (a = c) ∧ (b = d) (25)

Tak zdefiniowane działania na liczbach zespolonych mają te same algebraiczne własnósci co dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych.

Przykład 2.1 Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,−1) i (3, 7).

Rozwiązanie 2.1 Zgodnie z (23) i (24) mamy:

(2,−1) + (3, 7) = (2 + 3,−1 + 7) = (5, 6) (2,−1) (3, 7) = (2 · 3 + 1 · 7, 2 · 7− 1 · 3) = (13, 11)

Twierdzenie 2.1 Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem doda- wania i mnożenia.

Definicja 2.2 Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania.

Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych. A więc

(a, b)− (c, d) = (a− c, b− d) (26)

Definicja 2.3 Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia.

Wynik dzielenia liczb zespolonych nazywamy ilorazem liczb zespolonych. Liczba zespolona (x, y) jest ilorazem liczby zespolonej (a, b) i liczby zespolonej (c, d), co oznaczamy (a, b) : (c, d) lub (a,b)

(c,d) , gdy

(x, y) (c, d) = (a, b)

A więc

(x, y) = (a, b)

(c, d) =

µ ac+ bd

c2 + d2 ,−ad− bc c2 + d2

¶ (27)

Przykład 2.2 Obliczyć iloraz (2,−1) (3, 7)

Rozwiązanie 2.2 Zgodnie z (27) mamy

(2,−1) (3, 7)

=

µ 2 · 3− 1 · 7 32 + 72

,−2 · 7− (−1) · 3 32 + 72

¶ =

µ −1 58 , −17 58

22

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

Zbiór liczb zespolonych (a, 0) można utożsamíc ze zbiorem liczb rzeczywistychR, a symbol (a, 0) możemy zastąpíc symbolem a. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy Z lub (niekiedy) C2. Ponieważ

(a, b) = (a, 0) · (1, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a · 1 + b · (0, 1) (28)

więc do zapisania dowolnej liczby zespolonej wystarczają liczby rzeczywiste i liczba zespolona postaci (0, 1), którą oznaczamy symbolem i

i = (0, 1) (29)

oraz nazywamy jednóscią urojoną. A więc

(a, b) = a+ bi (30)

Prawa strona (30) jest postacią algebraiczną (lub kartezjańską) liczby zespolonej. Liczbę rzeczywistą a nazywamy czę́scią rzeczywistą, a liczbę rzeczywistą b - czę́scią urojoną liczby zespolonej z = a+ bi. Zapisujemy to3

a = Re (a+ bi) b = Im(a+ bi) (31)

Natomiast, jak pamiętamy, jednóśc urojona i spełnia warunek

i2 = −1 (32)

czyli (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). Jest to nierzeczywiste rozwiązanie równania x2 = −1. Wielkóśc tę oznaczamy również jako i =

√ −1.

Uwaga 2.1 Dwie liczby zespolone z1 i z2 są równe, jeżeli ich czę́sci rzeczywiste i urojone są sobie równe, tzn. Re z1 = Re z2 i Im z1 = Im z2.

2.3 Płaszczyzna zespolona

y oś urojona

x oś rzeczywista

b

a1

i

z = a + bi

r = ( a2 +

b2 ) 1/2

ϕ

Rysunek 6: Płaszczyzna zespolona.

Płaszczyzna zespolona jest płaszczyzną z prostokątnym układem współrzędnych, której punkty są rozumiane jako liczby zespolone. Liczbę zespoloną z = a + bi przedstawiamy w tym układzie jako punkt o współrzędnych (a, b) lub jako wektor o współrzędnych [a, b] zaczepiony w początku układu. Każdemu punktowi (a, b) płaszczyzny odpowiada wówczas dokładnie jedna liczba zespolona postaci z = a+bi, a liczbie zespolonej z = a+bi odpowiada punkt o współrzędnych (a, b) - patrz rys. 6. We współrzędnych biegunowych (r, ϕ) położenie punktu

(a, b) na płaszczýznie wyznaczamy jednoznacznie przez podanie długósci r promienia wodzącego punktu (a, b) i kąta ϕ4, który tworzy promień r z osią odciętych.

2Od łacińskiego słowa complexus - zespolony. 3Re od real (ang.); Im od imagine (ang.). 4Jest on skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

23

docsity.com

2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH MATEMATYKA

Modułem liczby zespolonej z = a+bi nazywamy liczbę równą pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów czę́sci rzeczywistej i urojonej

r = |z| = |a+ bi| = √ a2 + b2 (33)

Tak wię,moduł liczby z równa się odległósci punktu z od początku układu współrzędnych, czyli długósci wektora z. Argumentem liczby zespolonej z = a + bi 6= 0 nazywa się każdą liczbę rzeczywistą ϕ okrésloną równaniami⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

cosϕ = a

|r| = Re z

|z| = a√ a2 + b2

sinϕ = b

|r| = Im z

|z| = b√ a2 + b2

(34)

Argument ϕ liczby z oznaczamy: ϕ = arg z. Jest on miarą łukową kąta skierowanego, który tworzy ós rzeczywista 0x z wektorem z. Każda liczba zespolona z 6= 0 ma nieskończenie wiele argumentów. Jeżeli ϕ jest jednym z argumentów liczby z, to wszystkie inne jej argumenty wyrażają się wzorem

arg z = ϕ+ 2kπ (35)

gdzie: k− liczba całkowita. Argumentem głównym liczby zespolonej nazywa się taki argument, który zawiera się w

przedziale h−π, πi (wartóśc taka jest dokładnie jedna). Nie okrésla się argumentu liczby 0.

2.4 Postác trygonometryczna liczby zespolonej

Postác trygonometryczna liczby zespolonej5 jest to przedstawienie punktu płaszczyzny odpowiadającego liczbie zespolonej z zapisanej we współrzędnych biegunowych. Ważne są tu następujące twierdzenia:

Twierdzenie 2.2 Każdą liczbę zespoloną z 6= 0 można przedstawíc w postaci

z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) (36)

zwanej postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

Twierdzenie 2.3 Jeżeli z = r (cosϕ+ i sinϕ) (37)

gdzie: r ≥ 0, to r jest modułem |z| liczby z, liczba ϕ jest jednym z argumentów liczby z.

Przykład 2.3 Liczba zespolona w postaci algebraicznej

z = 1 + √ 3i

ma postać trygonometryczną (biegunową)

z = 2 ³ cos π

3 + i sin

π

3

´ 5Postác tę często nazywa się postacią biegunową liczby zespolonej.

24

docsity.com

MATEMATYKA 2. TEORIA LICZB ZESPOLONYCH

Rozwiązanie 2.3 Wykorzystamy wzory (33) i (34)

z = |z| (cosϕ+ i sinϕ)

|z| = √ a2 + b2 =

r 1 +

³√ 3 ´2 = √ 4 = 2

cosϕ = 1√ 1 + 3

= 1

2

sinϕ =

√ 3

2

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ stąd−−→ ϕ = π

3

A więc z = 2

³ cos π

3 + i sin

π

3

´ 2.5 Postác wykładnicza liczby zespolonej

Do przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej wykorzystujemy wzór Eulera

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (38)

Uwaga 2.2 Dowodzi się, że e w równaniu (38) jest liczbą niewymierną i że jest ona w przybliżeniu równa 2.718281828459045235 . . .. Wprowadził ją w XVIII wieku szwajcarski mate- matyk Leonard Euler. Liczba e jest podstawą logarytmu naturalnego, oznaczanego symbolem ln.

A więc z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) = |z| eiϕ (39)

Ponieważ |z| ei(−ϕ) = |z| e−iϕ = |z| (cosϕ− i sinϕ) (40)

zatem

cosϕ = eiϕ + e−iϕ

2 sinϕ =

eiϕ − e−iϕ 2i

(41)

2.6 Liczby zespolone, sprzężone, przeciwne i odwrotne

Jeżeli z jest liczbą zespoloną, to przez z̄ i (−z) oznaczamy liczby z̄ = a− bi , −z = −a− bi (42)

x

z

-z z

0

Rysunek 7: Liczba zespolona, sprzężona i przeciwna.

Liczbę z̄ nazywamy sprzężoną do z (niekiedy zamiast z̄ piszemy z∗), a (−z) - przeciwną do z (rys. 7). Dla liczb z i z̄ zachodzą relacje:

Re z̄ = Re z Im z̄ = − Im z (43) Liczbami zespolonymi sprzężonymi są

i = −i 2 + 5i = 2− 5i −1− 7i = −1 + 7i Jeżeli z 6= 0, to przez 1

z oznaczamy liczbę zespoloną

1

z =

1

a+ ib =

a− ib (a+ ib) (a− ib) =

a

a2 + b2 − b a2 + b2

i (44)

i nazywamy ją liczbą odwrotną do z.

Uwaga 2.3 Liczba 0 nie ma liczby odwrotnej.

25

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 90 pages
Pobierz dokument