Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Częśc 1, Notatki'z Analiza Matematyczna. Warsaw School of Economics
Elzbieta84
Elzbieta8425 March 2013

Całki funkcji elementarnych - Notatki - Analiza matematyczna - Częśc 1, Notatki'z Analiza Matematyczna. Warsaw School of Economics

PDF (418 KB)
12 strona
497Liczba odwiedzin
Opis
W notatkach przedstawiane zostają zagadnienia z analizy matematycznej: całki funkcji elementarnych. Część 1.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 strony / 12
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 12 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 12 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 12 pages
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 12 pages
Pobierz dokument

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 1/32

Całki funkcji elementarnych jednej zmiennej całkowanie przez części i przez podstawienie

Ten bryk będzie się nieco różnić od pozostałych. Tym razem skupimy się głównie na przykładach, gdyż o ile liczenie pochodnych było dosyć „schematyczne” i polegało głównie na zaglądaniu w tablice, to liczenie całek jest to głównie korzystanie z doświadczenia i obycia w nich. Wiem, że to przykro zabrzmi, ale kilkanaście przykładów trzeba zrobić, gdyż praktycznie każdy przykład wymaga osobnego potraktowania.

Ponieważ będą tutaj obecne głównie przykłady (a byście nie byli zdziwieni – głównie zadania z książki jak zwykle bezcennego tandemu Gewert&Skoczylas „Analiza Matematyczna 1 Przykłady i Zadania”), raczej te łatwiejsze – bo trudniejszych sam nie umiem, a na łatwiejszych być może łatwiej jest załapać, pozwolę sobie zamieścić poniżej króciutki spis treści:

1.Przypomnienie o całkach - strona 1 2. Całkowanie przez części - strona 3 3. Całkowanie przez podstawienie - strona 12

W pierwotnej wersji tych rozdziałów było siedem, ale, przyznam się szczerze – nie wiem, jak wyrobię się z czasem, bo lubię być leniwy, mogę być pijany, skacowany albo kujonować, ile wlezie, a nie na wszystkie egzaminy mogę zdążyć.

Dlatego, na razie – podstawowe metody przy całkowaniu.

Przypomnijmy sobie najpierw, o czym tak naprawdę mówimy.

1. Przypomnienie o całkach

Przy poprzedniej ściądze (z pochodnych) użyliśmy po raz pierwszy słowa „całka” przy tzw. funkcji pierwotnej, uznając, że jeżeli:

F ' (x) = f (x)

to wtedy ta funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x).

Na przykład, funkcją pierwotną 1 x był logarytm naturalny:

F (x) = ln x + C

gdzie C jest dowolną stałą (bo, jak wiadomo, pochodna z samej liczby równa się gów... zero).

Takie „znajdowanie” funkcji pierwotnej to całkowanie, zaś funkcję pierwotną można nazwać całką nieoznaczoną:

f xdx=F x C Znaczek dx, nie wdając się w szczegóły, pokazuje nam, która zmienna rozpieprza cały

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 2/32

przykład i przyprawia nas o ból głowy. Nie powinno się zapominać o pisaniu dx, tak samo jak nie powinno się zapominać o lim przed granicami. O ile przy granicach – da się przeżyć, ewentualnie na końcu piszemy „dąży do”, to nie powinniśmy zapominać o tym dx – jak się później okaże, ten „wskaźnik” jest bardzo ważny... ale nie niezastąpiony.

Wiele całek możemy obliczyć przez zgadywanie, albo zerżnięcie z tablic.

Na przykład, obliczmy taką całkę:

∫x35 x2dx

Wiemy, korzystając z liniowości całki, że jak mamy plus albo minus i nigdzie poza nawiasem nie przeszkadzają nam pierwiastki, to możemy rozpieprzyć całkę na dwie:

∫x35 x2dx=∫ x3 dx∫ 5 x2 dx *)

Na spokojnie obliczymy sobie osobno te całki, dla przejrzystości – tą stałą C dowalimy, jak policzymy wszystko.

Z tablic wiemy, że:

xn dx= x n1

n1

Więc nasz pierwszy wężyk zamieni się w:

x3 dx= x 31

31 = x

4

4

Pomajstrujmy z drugim. Wiemy, że stałe czynniki można wypieprzyć przed całki (analogicznie, jak przy liczeniu pochodnych):

∫5 x2 dx=5∫ x2 dx

Zabawa z policzeniem tego, co jest po prawej stronie wężyka, wygląda tak, jak poprzednio:

5∫ x2 dx=5∗ x 3

3

Podstawiając wszystko do naszego wzorku *):

x3 dx∫5 x2 dx= x 4

4 5 x

3

3 C

I wsio, przykład policzony.

Problem w tym, że rzadko kiedy zdarzają się przykłady właśnie typu „weź i rżnij w

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 3/32

ulubiony przez siebie sposób”.

O, na przykład każą nam policzyć taką całkę:

∫arcsin x dx

Pewno niejeden (niejedna) z was spojrzy na tablice, „tak, elegancka pochodna z tego jest, ale gdzie, do ciężkiej cholery, jest całka z tego?”.

Do liczenia tego typu całek (gdy np. pochodna tej funkcji w środku jest przyjemna w całkowaniu albo przy dwóch, zupełnie różnych funkcjach) korzystamy z metody całkowania przez części.

2. Całkowanie przez części

Być może wytrwali Czytelnicy (każdy taki jest chyba nienormalny) pamiętają, jak wspominałem pod koniec bryku o pochodnych, by poeksperymentować z wzorem na iloczyn pochodnych.

Przypomnę – jeżeli mamy se do policzenia pochodną z mnożenia dwóch jakiśtam cosiów, to stosujemy taką fantazyjną, rodem z Kamasutry, roszadę:

[ f x∗g x ] '= f ' x ∗g x f x∗g ' x

Jeżeli ja ją teraz obustronnie scałkuję (a co, moja kartka, mogę bazgrać, co tylko zechcę), jednocześnie dodając to dx, by ludzie wiedzieli, która zmienna jest skazana, to wyjdzie nam taki potworek:

∫ [ f x∗g x ]' dx=∫ [ f ' x∗g x  f x ∗g ' x ]dx

Korzystając z faktu, że jeżeli pod całką mamy sumę – to mogę ją „rozbić” oraz z tego, że całka wypierdala pochodną, to dojdziemy do takiego wzorku:

f x ∗g x=∫ f ' x ∗g xdx∫ f x∗g ' xdx

Przenosząc pierwsze zwierzątko z prawej strony na lewą, dochodzimy do ostatecznego wzoru na liczenie przez części:

f x ∗g ' x= f x∗g x −∫ f ' x∗g x dx

No dobra, ale co to nam w ogóle da? Pojawia się dodatkowa całka po prawej stronie? Dwie pochodne?

Panie, daj pan spokój, gdzie wódka?

Okazuje się jednak, że w tym szaleństwie jest metoda, którą pokażę na początku na prostym

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 4/32

przykładzie:

Przykład a) [jak np. Aleksandria]

∫ ln x dx

Patrzymy w podstawowe wzory... i tutaj lipa, bo brakuje logarytmu naturalnego.

Spokojnie, najpierw – ot tak, dla picu – dopiszę sobie jedynkę w tym przykładzie:

∫ ln x∗1dx

Nic w tym nie ma zdrożnego, wartość się na pewno nie zmieniła. Ale ta funkcja powyżej jest funkcją „wyjściową”, od której zaczniemy zabawę, czyli tym naszym początkiem wzoru na całkowanie przez części:

f x ∗g ' x=∫ ln x∗1dx

I teraz zbudujemy sobie taką prostą tabelkę 2 x 2, w którą wpiszę sobie to, co na razie wykombinowaliśmy (korzystając ze strzałek):

f x =ln x g ' x =1

... ...

Teraz w miejsce kropek wpisujemy:

f x =ln x g ' x =1 f ' xg x

… no, na co czekamy, wypełnijmy ją do końca:

f x =ln x g ' x =1

f ' x= 1 x

g x= x *

Zauważcie, że w miejscu oznaczonym gwiazdką my g`(x) niejako całkujemy, ale przecież obliczenie całki z jedynki nie jest takie trudne (oczywiście, olewamy również tą stałą całkowania C).

I teraz robimy takiego numera: mnożymy to, co leży na przekątnej (z lewej do prawej) tej

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 5/32

tabelki:

f x =ln x g ' x =1

f ' x= 1 x

g x= x

ln xx

I odejmujemy całkę z iloczynu tego, co leży w drugim wierszu:

f x =ln x g ' x =1

f ' x= 1 x

g x= x

ln xx−∫ 1xx dx

Teraz, gdy spojrzymy sobie na ten nasz wymyślony wzór na całkowanie przez części:

f x ∗g ' x= f x∗g x −∫ f ' x∗g x dx

Kurde, zgadza się, wyszedł nam tworek, którego da się wyliczyć, a więc:

∫ ln x dx=ln xx−∫ 1xx dx

Dla porządku – policzmy tę całkę po prawej stronie:

∫ 1xx dx ( dx można traktować podobnie jak „i” w liczbach zespolonych – nic to to w sumie nie robi, ale

możemy ją w przekształceniach traktować jako zwykłą zmienną – czyli w powyższym przypadku np. wyrzucić do mianownika)

Jak od razu zauważyliśmy, iksy się zniosą – pozostaje nam do policzenia prosta całka ∫ dx , która to oczywiście, zgodnie ze wzorami, jest równa x.

Więc ∫ ln x dx równa się:

∫ ln x dx=ln xxxC

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 6/32

Właśnie na tym polega całkowanie przez części. Z tego, co jest pod całką, wybieramy se funkcję, z której dosyć łatwo wyliczyć (albo zgadnąć przy pomocy tablic) całkę, jednocześnie dbając o to, by ta druga część miała znośną pochodną.

Wiem, że to może się wydawać z pozoru dosyć abstrakcyjne, ale myślę, że po kilku przykładach docenicie zalety całkowania przez części.

Boże... zalety czegokolwiek w matematyce... docenicie... rasowy ze mnie kujon, gdzie moje okulary, koszula flanelowa i książka?

Przykład b) [jak np. Blachownia]

x cos2 x

dx

Moglibyśmy od razu zacząć tak:

f x = 1 cos2 x

g ' x =x

... ...

Ale wydaje mi się, że policzenie pochodnej f(x) byłoby nie lada wyzwaniem, a i wówczas to, co wyjdzie, ciężko byłoby scałkować.

Dlatego ja pokombinuję w innej kolejności i dodatkowo uzupełnię brakujące pola:

f x =x g ' x = 1 cos2 x

f ' x=1 (Wzorek z tablic:) g x=tg x

Zanim przypierdolimy – mała dygresja, nie związana z aktualnym tematem.

Znamy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, wypiszmy go:

ln x '=1 x

Jednakże, znany jest inny wzór, notabene bardzo ściśle związany z fizyką doświadczalną, mianowicie – na pochodną logarytmiczną:

[ ln f x] '= f ' xf x

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 7/32

Bierze się on z niczego innego, jak tylko reguł na różniczkowanie (znajdowanie pochodnych) funkcji złożonych. Przy logarytmie naturalnym to, co było w środku, leci na dół, a pochodna „środka” - spierdala do góry.

Pochodna logarytmiczna jest ściśle związana również z całkami, ponieważ prawdziwy jest wzór (udowodnimy go w następnym rozdziale):

f ' xf x dx=ln | f x |C

Argument logarytmu jest pod modułem (bo tak musi być, a nie będę wymyślać, dlaczego), ale często będę go skracać po prostu do nawiasu, za co z góry przepraszam, a Wy macie pamiętać, że na kolokwiach czy egzaminach – wartość bezwzględna!

f ' xf x dx=ln  f xC

Mówiąc prosto – jeżeli w całce licznik jest pochodną mianownika, to całka będzie równa temu logarytmowi z tego mianownika.

Wyposażeni w tą dodatkową wiedzę, atakujmy:

f x =x g ' x = 1 cos2 x

f ' x=1 g x=tg x

x cos2 x

dx= xtg x−∫ tg x dx *)

Znów – na spokojnie policzmy całkę z tg x .

tg x dx

Pamiętacie, jak pisałem, że gdy mamy całkę z pojedynczej, ładnej funkcji, to możemy ją brać w auc... przez części?

Zapomnijcie o tym w tym momencie, bo zapiszemy tangensa tak, jak nas uczyli:

tg x dx=∫ sin xcos x dx

I przypomnijcie, co pisałem o pochodnej logarytmicznej. Hmm... ta nasza „góra” jest prawie pochodną „dołu” (pochodna z cos x jest równa (– sin x) ).

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 8/32

Ale co powiedzielibyście na taki numer:

∫ sin xcos x dx=∫ −1∗−1∗sin x

cos x dx

Z czego jednego minusa wypieprzymy przed całkę (pamiętacie? Stały czynnik można wypieprzyć przed całkę):

∫ sin xcos x dx=−1∫ −1∗sin x

cos x dx=−∫−sin xcos x dx

A ponieważ już teraz „góra” jest pochodną „dołu”, to (pomijając C, które dodamy na końcu):

−∫−sin xcos x dx=−ln |cos x |

I wracając do gwiazdeczki:

x cos2 x

dx= xtg x−∫ tg x dx= xtg x−−ln |cos x |C=xtg xln |cos x |C

I wsio, kolejny przykład położony na łopatki.

Przykład c) [jak np. Częstochowa]

x2 sin x dx

Tutaj znów sobie podziubiemy w środku całki, przyjmując, że to nasze f(x) to x2 (zauważcie, że f(x) będziemy rozpieprzać na pochodną, przez co nieco się ten iks zredukuje), a g'(x) to sin x:

f x =x2 g ' x =sin x

f ' x=2 x g x=−cos x

Więc, zgodnie z tym, co czyniliśmy wcześniej – mnożymy to, co jest na krzyż. Dodatkowo, odejmujemy całkę z pomnożenia dolnych wierszy:

x2 sin x dx=−x2∗cos x−∫ 2x −cos x dx

Minus z cosinusa niech wypierdala przed całkę... zresztą, dwójka też:

x2∗cos x−∫2x −cos xdx=−x2∗cos x2∗∫ xcos x dx *)

Problemem jest teraz policzenie tej drugiej całki, którą jednak rozpieprzymy niemal identycznie jak poprzednio:

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 9/32

f x =x g ' x =cos x f ' x=1

g x=sin x

I to, co nam wyjdzie:

x cos xdx=x∗sin x−∫ sin x dx

Całkę z sinusa możemy zerżnąć z tablic, więc (jak zwykle, C dodamy sobie na samym końcu):

x cos xdx=x∗sin xcos x

Wróćmy do naszego „głównego” przykładu, oznaczonego gwiazdką i podstawmy to, co se wyliczyliśmy:

x2∗cos x2∗∫ x cos xdx=−x2∗cos x2∗x∗sin xcos x

Co też, po uporządkowaniu:

x2∗cos x2∗x∗sin xcos x=−x2∗cos x2 xsin x2cos x

Więc odpowiedź:

x2 sin x dx=−x2∗cos x2 x sin x2cos xC

Jak widzicie, użyliśmy tutaj metody całkowania przez części dwukrotnie. W przykładzie trochę nas „uwierał” ten x2 (bo całkę z samego sinusa czy cosinusa zerżniemy bez problemu z tablic). W takim przypadku spróbowaliśmy się pozbyć tego iks kwadrat – jak widać, z całkiem niezłym skutkiem.

Przykład d) [jak np. Dębowiec]

e2x sin x dx

Tutaj po raz pierwszy spotykamy się w całkach z liczbą e. Całka z niej jest całkiem przyjemna, bo całkowanie na funkcję e x kompletnie nie działa. Tutaj jednak napotykamy na dwa problemy. Pierwszy – to pałętający się sinus, a drugi – ta dwójka w potędze e. Uprzedzę już na początku – stałą całkowania C walniemy jak zwykle już na samym końcu.

Proponuję, byście poniższy przykład „przerabiali” powoli, notując sobie spokojnie na boku, co tu się dzieje, albo sami podziałali, sprawdzając ewentualnie, czy się gdzieś nie pomyliłem.

Ostateczne rozwiązanie będzie nieco zaskakujące, nie mniej jednak, policzmy to, całkując

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 10/32

przez części. Przypomnę – jeden kawałek będziemy przerabiać na pochodną, a drugi – właściwie, to całkować. Ponieważ nie potrafimy jeszcze liczyć całek z e do takiej skomplikowanej potęgi, to popiszemy se tą tabelkę tak:

f x =e2x g ' x =sin x

f ' x=e2x∗2x '=2e2x g x=−cos x

Znowu – majstrujemy, mnożąc to, co jest na krzyż, i całkując dolne wiersze:

e2x sin x dx=−e2x∗cos x−∫ 2 e2x∗−cos x dx

Wywalając stałe, które znajdują się w tej drugiej całce:

e2x∗cos x−∫2e2x∗−cos xdx=−e2x∗cos x2∗∫ e2x∗cos x dx *)

Ponownie zajmiemy się osobno tą drugą całką:

f x =e2x g ' x =cos x

f ' x=e2x∗2x '=2e2x g x=sin x

Raz jeszcze się pokrzyżuje:

e2x∗cos x dx=e2x∗sin x−∫ 2∗e2x∗sin x dx

Wywalmy dwójkę przed całkę:

e2x∗cos x dx=e2x∗sin x−2∗∫ e2x∗sin x dx

Hmm... zaryzykuję pewne szaleństwo, a więc nie będziemy liczyć już tego wężyka (wprawne oko już coś powinno zauważyć), który nam tu został, tylko wstawmy to do głównego (*) przykładu:

e2x∗cos x2∗∫ e2x∗cos x dx=−e2x∗cos x2∗e2x∗sin x−2∗∫e2x∗sin x dx

Wygląda to nieco skomplikowanie, ale po uporządkowaniu powinno się to trochę rozjaśnić:

=−e2x∗cos x2∗e2x∗sin x−4∗∫ e2x∗sin x dx=e2x2sin x−cos x −4∗∫e2x∗sin x dx

Czyli, wiedząc, co liczymy: ∫e2x sin x dx=e2x2sin x−cos x −4∗∫e2x∗sin x dx

Hmm... jeżeli tego jeszcze nie widać – zastąpmy ∫e2x sin x dx jakąś ładną literką, np. I :

I=e2x2sin x−cos x−4∗∫ e2x∗sin x dx

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 11/32

Ale chwila, moment, przecież po prawej stronie też właściwie wyszło nam ∫e2x sin x dx ! Co z tym fantem zrobić? Też zastąpimy literką I:

I=e2x2sin x−cos x−4∗I

Ponieważ my właściwie I mamy znaleźć, to potraktujmy ją jako jakąś śmierdzącą niewiadomą, przenosząc wszystkie niewiadome na lewą stronę:

5∗I=e2x2sin x−cos x

I pozostaje nam tylko podzielić przez pięć:

I= e 2x2sin x−cos x

5

A I to przecież ∫e2x sin x dx , więc „odpodstawmy” to, co trzeba:

e2x sin x dx= e 2x2sin x−cos x

5 C

Być może to nieco topornie zapisałem, za co z góry przepraszam – właśnie dlatego poprosiłem, by powoli przerobić ten przykład. Jak widzimy, całkujemy dwukrotnie przez części, ale potem zauważamy, że po prawej stronie wychodzi nam to, co mamy policzyć. Możemy potraktować to jako „niewiadomą”, a potem prostymi operacjami wyliczamy tą „niewiadomą”.

Jeżeli to nadal mgliście wygląda – a nie wątpię, że widać tu niezły burdel – samodzielnie, całkując przez części, zróbcie ten przykład, dojdziecie do tego samego momentu i poeksperymentujcie.

Ale, oczywiście, zadziała to właściwie tylko, gdy pod całką mamy e i jakąś jeszcze prostą funkcję, bo w przeciwnym wypadku zapewne do niczego nie dojdziemy. Takie obliczanie ma nawet swoją nazwę. Matematycy powiedzą o rekursywnym podejściu czy całce – bo w wyniku obliczeń otrzymujemy to, co mamy obliczyć, prawie wracamy do punktu wyjścia (ale w końcu szczęśliwie dochodzimy do końca). Informatycy zapewne dostaną gęsiej skórki o rekurencyjnym wnioskowaniu – jak zapewne wiedzą, rekurencja to, w skrócie mówiąc, wywołanie funkcji przez samą siebie.

Rekursja czy rekurencja (obydwa słowa oznaczają właściwie to samo, z czego pierwszego chętnie używają matematycy, bo oni to z angielskiego wprost wszystko zżynają, a drugiego – informatycy, bo po łacinie recurrere wygląda dziwaczniej, a komputerowcy normalni nie są) jest bardzo użyteczna w logice (przy definiowaniu funkcji zliczającej np. zmienne w jakimś tam zdaniu albo przy zbiorach), a jak i w logice – to i w informatyce, gdzie niektóre algorytmy czy struktury danych elegancko rozwiązuje się rekurencyjnie – choćby tzw. drzewa binarne.

Dobra, podniosłem swoje ego, używając terminów, których nie znam albo po raz pierwszy widzę na oczy, wróćmy jednak do całek. Jeżeli gdzieś pod całką znajdzie się e i funkcja trygonometryczna – to prawie na pewno trzeba będzie ją rozwiązać tak, jak pokazałem.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 12/32

3. Całkowanie przez podstawienie

Przed czynieniem tutaj takich rzeczy, że ludzkie pojęcie przechodzi, a duchowni wyciągną krzyż w naszą stronę, małe przypomnienie.

Jak liczymy pochodną – no cóż, musicie wiedzieć, albo chociaż wiedzieć, jak się to zapisuje:

f ' x= jakaś tam pochodna

Jak być może pamiętacie, wprowadziliśmy również taki zapis:

df dx

= jakaś tam pochodna *

I teraz po cichutku, żeby żaden matematyk nie zobaczył – pomnożymy sobie obie strony przez dx:

df =[ jakaś tam pochodna ]dx

a prawą stronę nazwaliśmy sobie różniczką funkcji f.

A teraz zrobimy taki eksperyment. Chciałbym głównie, byście zapamiętali z niej nie to, co pieprzę – ale samą metodę.

Załóżmy, że mamy se taką funkcję:

f x =x2

Zapiszemy ją sobie za pomocą zmiennej (zmiennej zależnej) y (albo dla maniaków si plas plusa – zrobimy sobie taki ułomnie zapisany „wskaźnik”):

y=x 2 **

To wtedy, korzystając z zapisu oznaczonego *):

dy dx

=2x

I znów po cichutku mnożąc przez dx:

dy=2x∗dx

Możemy zaryzykować stwierdzenie, że wyrażenie **) obustronnie zróżniczkowaliśmy. Policzyliśmy sobie osobno pochodną po lewej stronie (tam, gdzie się pałęta zmienna y ), osobno pochodną po prawej stronie (gdzie się panoszy, niczym autor bryku, zmienna x ), a żeby wszystko było cacy – zapis uzupełniliśmy o dopisanie po obydwu stronach literką d z odpowiednią zmienną.

Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 shown on 12 pages
Pobierz dokument