Definicja optymalizacji dyskretnej - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania Operacyjne. University of Szczecin
Osholom
Osholom5 March 2013

Definicja optymalizacji dyskretnej - Notatki - Badania operacyjne, Notatki'z Badania Operacyjne. University of Szczecin

PDF (204 KB)
2 strony
887Liczba odwiedzin
Opis
Notatki dotyczące badań operacyjnych: definicja optymalizacji dyskretnej.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd2 strony / 2
Pobierz dokument

Optymalizacja dyskretna - całkowitoliczbowe programowanie liniowe

Wprowadzenie

Z dyskretnym modelem decyzyjnym mamy do czynienia wówczas, gdy co najmniej jedna

zmienna decyzyjna musi przyjmować wartości z dyskretnego zbioru izolowanych punktów. Szczególnym przypadkiem modeli dyskretnych są modele całkowitoliczbowe, w których część lub wszystkie zmienne decyzyjne muszą przyjmować wartości całkowite. Modele dyskretne mogą być zarówno modelami liniowymi jak i nieliniowymi.

Przykład dyskretności zbioru rozwiązań dopuszczalnych pewnego zadania programowania liniowego. Warunek całkowitoliczbowości sprawia, że do zbioru rozwiązań dopuszczalnych należą izolowane punkty o współrzędnych całkowitych. Źródła dyskretności:

 Rozpatrywanie w modelu obiektów fizycznie niepodzielnych. Przykładem tego rodzaju obiektów są wszelkiego rodzaju środki transportowe.

 Kombinatoryczna struktura modelowanej sytuacji decyzyjnej. W problemach tego typu poszczególne punkty zbioru rozwiązań dopuszczalnych reprezentują permutację lub kombinację pewnego zbioru obiektów.

Wprowadzenie dyskretnych zmiennych decyzyjnych umożliwia niekiedy względne łatwe rozwiązanie zadań, w których zbiór rozwiązań dyskretnych nie jest zbiorem wypukłym lub też jest zbiorem niespójnym.

Metody rozwiązania zadań optymalizacji dyskretnej można podzielić na trzy grupy:

 metody płaszczyzn tnących,  metody drzew decyzyjnych,  metody heurystyczne.

Pierwsze dwie metody są metodami dokładnymi, metody heurystyczne dostarczają rozwiązań przybliżonych.

W ramach zajęć poświecimy uwagę metodom płaszczyzn tnących. Ograniczymy się tylko do całkowitoliczbowych modeli liniowych.:

Metoda płaszczyzn tnących - algorytm Gomory’ego

Problem całkowitoliczbowego programowania liniowego ma następującą postać:

(min) z=cTx

przy warunkach ograniczających Ax<=b x

xj - liczba całkowita dla j  J  N gdzie N= {1,2,...,n}

docsity.com

Jeśli J=N (gdy wszystkie zmienne są całkowitoliczbowe), to zadanie powyższe nazywamy kompletnym. Natomiast gdy nie wszystkie zmienne są całkowitoliczbowe, to mamy do czynienia z zadaniem mieszanym. Oznaczmy przez Xc zbiór rozwiązań zadania (powyższego), a przez X zbiór rozwiązań zadania (bez ost.ograniczenia) - czyli zadania bez warunku całkowitoliczbowości. Wtedy oczywista jest następująca zależność

XcX

Jeśli zadanie ogólne ma skończone rozwiązanie optymalne, to z powyższej zależności wynika następująca nierówność

min ( ) min ( ) x X x Xc

z x z x  

TWIERDZENIE: Jeżeli xo jest rozwiązaniem optymalnym zadania ogólnego, takim, że x0Xc to xo jest również rozwiązaniem optymalny zadania całkowitoliczbowego.

Oznaczmy przez P(Xc) wypukłą powłokę zbioru Xc, tzn. Najmniejszy zbiór wypukły zawierający w sobie zbiór Xc.

Z b ió r X

Z b ió r P(Xc)

Ogólna idea metody płaszczyzn odcinających (tnących) jest następująca: jeżeli w wyniku rozwiązania zadania bez warunku dyskretności otrzymano rozwiązanie

niecałkowitoliczbowe, to do ograniczeń zadania wyjściowego należy dołączyć nowe ograniczenie liniowe spełniające warunki a) otrzymane rozwiązanie niecałkowitoliczbowe nie spełnia tego ograniczenia b) spełnia je dowolne rozwiązanie całkowitoliczbowe. Następnie rozwiązuje się otrzymane zadanie i jeśli to konieczne dodaje nowe ograniczenie. Geometrycznie dołączenie nowego ograniczenia liniowego odpowiada odcięciu od

wielościanu rozwiązań poprzedni punkt optymalny o współrzędnych ułamkowych, bez odcinania punktów o współrzędnych całkowitych. Pierwszy realizowalny numerycznie algorytm dla tej metody podał R.E.Gomory.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument