Zbieżność ciągów w prz. Banacha - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza Funkcjonalna. University of Bialystok
blondie85
blondie8515 marca 2013

Zbieżność ciągów w prz. Banacha - Ćwiczenia - Analiza funkcjonalna, Notatki'z Analiza Funkcjonalna. University of Bialystok

PDF (130 KB)
1 strona
1000+Liczba odwiedzin
Opis
Notatki przedstawiające zagadnienia z zakresu analizy funkcjonalnej: zbieżność ciągów w prz. Banacha.
20punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd1 strona / 1
Pobierz dokument

Analiza funkcjonalna

Lista 3 (zbie»no±¢ ci¡gów w klasycznych prz. Banacha)

Zad 1. Pokaza¢, »e

a) w przestrzeniach ciagów c0, c, `p, p ∈ [1,∞], zbie»no±¢ w normie poci¡ga zbie»no±¢ po wspóªrz¦dnych, ale nie jest jej równowa»na,

b) w przestrzeniach funkcji C([a, b]), C(k)([a, b]), k ∈ N, zbie»no±¢ w normie poci¡ga zbie»no±¢ punktow¡,

c) w przestrzeniach Lp([a, b]), p ∈ [1,∞] zbie»no±¢ w normie nie poci¡ga zbie»no±ci prawie wsz¦dzie.

Zad 2. Sprawdzi¢, czy ci¡g xn elementów przestrzeni Banacha X jest zbie»ny do ci¡gu a:

X xn a X xn a

a) `1 (sin 1 2n

, ..., sin 1 2n︸ ︷︷ ︸

n

, 0, ...) (0, 0, ..., 0, ...) i) C[−3, 3] √

t2 + 1 n3

|t|

b) `3 ( n2

2n , n2

2n , ...,

n2

2n︸ ︷︷ ︸ n

, 0, ...) (1, 0, ..., 0, ...) j) C[0, 8] ( t8) n − ( t8)

2n + t t

c) c (( 4n + 1 4n + 3

)n, ..., ( 4n + 1 4n + 3

)n︸ ︷︷ ︸ n

, 0, ...) (e− 1 2 , ..., e−

1 2 , ...) k) C[−4, 4] 1

n2

√ n4t2 + 1 t

d) ` 8 5

( cos 1n

n , cos 1n

n , ...,

cos 1n n︸ ︷︷ ︸

n

, 0, ...) (0, 0, ..., 0, ...) l) C[12 , 3 2 ]

tn−t 1+tn 1

f) `∞ (0, 78 , ..., n3−1

n3 , 0, 0, ...) (0, 78 , ...,

k3−1 k3

, ...) m) C(1)[0, 1] n √

1 + tn t

g) c0 ( 1 n2

, 1 n2

, ..., 1 n2︸ ︷︷ ︸

n

, n, 0, ...) (0, 0, ..., 0, ...) n) C[0, 13 ] (3t) n − (3t)n+1 − 3tn 0

h) `p (0, ..., 0︸ ︷︷ ︸ n

, 1 n2

, ..., 1 n2︸ ︷︷ ︸

n

, 0, ...) (0, 0, ..., 0, ...) o) L3[0, 1] n 4 3 I(0, 1

n ) 0

Zad 3. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu xn w przestrzeni Banacha X, gdy

X xn X xn X xn

a) `∞ (tg(1 + 1 n

)n, ..., tg(1 + 1 n

)n︸ ︷︷ ︸ n

, 0, 0, ...) i) C[−1, 0] 1n 3 √

n3t + 1 r) C(1)[0, 1] t n

n

b) `3 ( 1√ n

, 1√ n

, ..., 1√ n︸ ︷︷ ︸

n

, 1, 0, ...) j) C[1, 2] 2t n−1

1+tn s) c0 tg( 1

nk+1 )

c) `2 (sin 1 n

, sin 1 n

, ..., sin 1 n︸ ︷︷ ︸

n2

, 0, 0, ...) k) C[1, 2] t 2

n2 ln( t n ) t) C[0, 2]

n √

1 + tn

d) `2 (cos 1 n2

, sin 1 n2

, ..., sin 1 n2︸ ︷︷ ︸

n

, 0, 0, ...) l) C[−1, 12 ] (t+1)2n−t2n

(t+2)2n u) C (1)[0, 2] n

√ 1 + tn

e) ` 5 2

((n+1n ) n, (n+2n )

n, ..., (n+(n−1)n ) n, 0, ...) m) C[1, 2] n sin( t

2

n ) + t3

n w) L2([0, 1]) n √

t

f) `∞ ( 12 , 4 5 , ...,

n2

n2+1 , 0, 0, ...) n) C[0, 9] 9ntn−t2n

92n x) L1([0, 1]) t n

g) `1 ( sin 3n

n2 , sin 3n

n2 , ...,

sin 3n

n2︸ ︷︷ ︸ n

, 0, 0, ...) o) C[−π2 , 0] (sin t) 2n + 3

√ t n y) Hα([0, 1]) t

n

h) `p (1, 2 √

2, 3 √

3..., n √

n, 0, 0, ...) p) C[−1, 5] arctg(n(t2 + 1)) z) H1([0, 1]) sin(nx)n Zad 4. Wykaza¢, »e w przestrzeni `∞ nie istnieje norma, w której zbie»no±¢ byªaby równowa»na zbie»no±ci po wspóªrz¦dnych.

docsity.com

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
Pobierz dokument