Logika_5_2013 Wartość logiczna, Streszczenia'z Logika Matematyczna. Adam Mickiewicz University in Poznan
olga-popova
olga-popova

Logika_5_2013 Wartość logiczna, Streszczenia'z Logika Matematyczna. Adam Mickiewicz University in Poznan

PDF (479 KB)
34 str.
26Liczba odwiedzin
Opis
Wartość logiczna. Rachunek zdań
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 str. / 34
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
Logika_5_11 [tryb zgodnoœci]

Rachunek zdań

• Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŜenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iŜ tak a tak jest albo Ŝe tak a tak nie jest. Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to znaczy nie zaleŜy od poglądów tej czy innej osoby.

Rachunek zdań

Nikt nie moŜe zmienić wedle swojego widzimisię wartości logicznej jakiegokolwiek zdania, bo wartość logiczna zaleŜy tylko od tego, czy dane zdanie opisuje świat zgodnie z rzeczywistym stanem, czy teŜ z tym stanem niezgodny.

Rachunek zdań

Weźmy pod uwagę zdanie:

Deszcz jest poŜyteczny.

Czy jest to zdanie prawdziwe, czy teŜ fałszywe?

Rachunek zdań

Wypowiedź ta nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz wypowiedzią niezupełną.

Wypowiedzią zdaniową niezupełną nazywamy takie wyraŜenie, które wprawdzie nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz o tyle spełnia rolę zdania w sensie logicznym, o ile słuchacz zdaje sobie sprawę z pewnych domyślnych uzupełnień wypowiedzi, pominiętych przez mówiącego.

Rachunek zdań

• Funkcja zdaniowa KaŜda wypowiedź językowa będąca zdaniem moŜe być sprowadzona do schematu będącego jej reprezentacją. Dla przykładu zdanie „kaŜdy student jest piłkarzem” da się przedstawić jako „KaŜde S jest P”. Ten schemat moŜe reprezentować wiele innych zdań takich jak „KaŜdy policjant jest funkcjonariuszem publicznym”, „KaŜdy ekonomista jest człowiekiem wykształconym”.

Rachunek zdań

W schemacie tym wyraŜenia S i P są zmiennymi nazwowymi, a sam schemat „KaŜde S jest P” staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym w zaleŜności od tego, co podstawimy w miejsce zmiennych.

Podobnie jest z wypowiedzią tego typu: „JeŜeli Robert ukończył studia ekonomiczne, to dziekanat wydał mu dyplom”. Strukturę tej wypowiedzi moŜna opisać schematem „JeŜeli p, to q” i moŜe on słuŜyć do opisu wielu zdań.

Rachunek zdań

W schemacie tym zmienne p i q są zdaniami, a sam schemat staje się zadaniem prawdziwym lub fałszywym w zaleŜności od wartości logicznych zdań p i q.

Cechą wyraŜeń typu „KaŜde S jest P” i „JeŜeli p, to q” jest to, Ŝe będąc wyraŜeniami opisowymi reprezentującymi strukturę wypowiedzi same przez się nie mają wartości logicznej. Tego typu wyraŜenia nazywamy funkcjami zdaniowymi.

Rachunek zdań

Operację podstawienia w miejsce zmiennych konkretnych nazw lub zdań nazywamy konkretyzacją funkcji zdaniowej. Natomiast operację objęcia kwantyfikatorem kaŜdej ze zmiennych występujących w schemacie nazywamy skwantyfikowaniem tej funkcji.

Rachunek zdań

RozróŜniamy dwa rodzaje kwantyfikatorów: • kwantyfikator ogólny – oznaczany

symbolem lub . Oznacza wyraŜeniexx∧ „dla kaŜdego” lub „dla wszystkich”. Przykład:

Jeśli x jest Ŝółte, to jest kolorowe.

Jeśli x jest kolorowe, to x jest Ŝółte.

x

x

Rachunek zdań

• Kwantyfikator szczegółowy – zapisuje się symbolem lub . Oznacza wyraŜenie „istnieje”.

x

x

Przykład: x jest kolorowe i x jest Ŝółte.

x jest synem bezdzietnej matki.

x

x

Rachunek zdań

• Funktory nieprawdziwościowe i prawdziwościowe Przedmiotem analizy w ramach dzisiejszego wykładu będą jedynie zdania złoŜone. Tworzy się je przez uŜycie określonych wyraŜeń, które nazywamy w logice funktorami. Dzielą się one na

Rachunek zdań

1. Funktory nieprawdziwościowe, do których naleŜą zwroty jak „konieczne jest, Ŝe …”, „z tego, Ŝe … naleŜy sądzić, Ŝe …”, „moŜliwe jest, Ŝe …”, charakteryzują się tym, Ŝe łącząc ze sobą zdania o określonej wartości logicznej nie wyznaczają w sposób jednoznaczny wartości logicznej zdania złoŜonego.

Rachunek zdań

Przykłady: Z tego, Ŝe w zeszłym roku obrodziły jabłka wynika, Ŝe grudzień w zeszłym roku był mroźny.

MoŜliwe, Ŝe jutro pojadę do Poznania.

Konieczne jest, Ŝe mamy dzisiaj złą pogodę.

Rachunek zdań

2. Funktory prawdziwościowe, które reprezentowane są przez m. in. takie zwroty jak „i”, „lub”, „albo … albo”, „bądź … bądź”, „jeŜeli …, to …” charakteryzują się tym, Ŝe wartość logiczna zdania złoŜonego stworzonego za ich pomocą, jest w sposób jednoznaczny wyznaczona przez wartość logiczną zdań będących ich argumentami. Z punku widzenia logiki interesujące są właśnie te spójniki.

Rachunek zdań

Funktory prawdziwościowe ze względu na liczbę argumentów łączących przez te funktory dzielimy na jednoargumentowe, dwuargumentowe lub trój-, czwór- i więcej argumentowe.

• Funktory prawdziwościowe jednoargumentowe to: - funktor asercji, inaczej afirmacji , jest funktorem potwierdzającym prawdziwość. WyraŜa się słowami „prawdą jest, Ŝe …”, „zaiste” albo „naprawdę” i oznacza symbolem ≈

Rachunek zdań

- funktor negacji wyraŜa się słowami: „ nieprawda, Ŝe …”, „nie jest tak, Ŝe …” lub krótko „nie”. Oznaczamy ją symbolem ~.

Przykłady: Nieprawdą jest, Ŝe Sławek jest studentem. Sławek nie jest studentem.

Rachunek zdań

Matryca funktorów prawdziwościowych jednoargumentowych:

≈p p ~p

1 1 0

0 0 1

Rachunek zdań

• Funktory prawdziwościowe dwuargumentowe: - funktor koniunkcji wyraŜamy jako „i”, „oraz”, „a

chociaŜ”, „lecz”, „pomimo, Ŝe”, „a takŜe”, „jak równieŜ” i oznaczamy ∧. Zdanie złoŜone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy koniunkcją. Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań składowych. Natomiast fałszywość choćby jednego zdania składowego jest warunkiem wystarczającym fałszywości koniunkcji.

Rachunek zdań

- funktor alternatywy wyraŜamy jako „lub”, „bądź”, „albo” i oznaczamy symbolem ∨. Zdanie złoŜone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy alternatywą. Warunkiem wystarczającym prawdziwości alternatywy jest prawdziwość choćby jednego argumentu zdaniowego. Warunkiem koniecznym i wystarczającym fałszywości alternatywy jest fałszywość oby zdań.

Rachunek zdań

- funktor alternatywy rozłącznej wyraŜana jest poprzez zwrot „albo … albo”, a przyjętym dla niej symbolem jest ⊥. Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złoŜone jest prawdziwe, gdy jeden i tylko jeden z argumentów zdaniowych jest prawdziwy i jeden i tylko jeden fałszywy.

Rachunek zdań

- funktor dysjunkcji oznaczany jest symbolem / i czyta się go jako „bądź …, bądź …”. Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złoŜone, zwane dysjunkcją, jest prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe.

Rachunek zdań

- funktor binegacji oznaczany jest ↓ i czytany jako „ani …, ani …”. Binegacja jest prawdziwa, jeŜeli oba zdania składowe są fałszywe. - funktor implikacji oznaczamy znakiem ⇒ i wyraŜamy za pomocą słów „jeŜeli …, to …”. Implikacja jest fałszywa, jeŜeli jej pierwsze zdanie składowe (poprzednik) jest prawdziwe, a drugie zdanie składowe (następnik) jest fałszywe.

Rachunek zdań

- funktor równowaŜności oznaczamy znakiem ⇔ i czytamy jako „… wtedy i tylko wtedy, gdy …”. Zdanie zbudowane za pomocą tego spójnika, zwane równowaŜnością, jest prawdziwe wtedy, gdy oba zdania składowe mają taką samą wartość logiczną.

Rachunek zdań

Matryce logiczne funktorów dwuargumentowych:

p q p∧q p∨q p⊥q p/q p↓q p⇒q p⇔q 1 1 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 0 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1

Rachunek zdań

• Funkcja logiczna w rachunku zdań to taka funkcja zdaniowa, która zbudowana jest jedynie ze stałych logicznych i zmiennych (zdaniowych lub nazwowych). Za stałe logiczne uznawać będziemy omówione funktory prawdziwościowe, kwantyfikatory, funktor ∈ przynaleŜności do zbioru oraz inne wyraŜenia zdefiniowane poprzez odwołanie się do juŜ wymienionych stałych.

komentarze (0)
Brak komentarzy
Bądź autorem pierwszego komentarza!
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument