Logika_6_2013 Rachunek zdań II, Streszczenia'z Logika Matematyczna. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu (UAM)
olga-popova
olga-popova

Logika_6_2013 Rachunek zdań II, Streszczenia'z Logika Matematyczna. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu (UAM)

34 str.
42Liczba odwiedzin
Opis
Rachunek zdań II. Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która przy dowolnym podstawieniu wartości zmiennych jest zawsze prawdziwa.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd3 str. / 34
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument
Logika_6_11 [tryb zgodnoœci]

Rachunek zdań

• Prawa logiczne (tautologie) Tautologią nazywamy taką funkcję logiczną, która przy dowolnym podstawieniu wartości zmiennych jest zawsze prawdziwa. Zadaniem logiki jest m.in. opisanie tych schematów za pomocą języka sformalizowanego. Oczywiście człowiek posługuje się nimi w sposób intuicyjny i trudno przypuszczać, Ŝe ktoś, wypowiadając zdanie:

Rachunek zdań

„JeŜeli ktoś jest złodziejem, to jest przestępcą, to jeŜeli ktoś nie jest przestępcą, to nie jest złodziejem”, zdawał sobie sprawę z tego, Ŝe rozumuje zgodnie z prawem transpozycji prostej.

Liczba praw logicznych jest nieskończona, poniewaŜ kaŜda funkcja będąca prawem logicznym moŜe zostać przekształcona za pomocą reguł podstawiania i odrywania w nową funkcję będącą tautologią.

Rachunek zdań

Przedstawimy teraz najwaŜniejsze prawa rachunku zdań:

1. p⇒ p zasada toŜsamości, 2. ~(p ∧ ~p) zasada sprzeczności, 3. (p ∨ ~p) zasada wyłączonego środka, 4. ~(~p) ⇔ p zasada podwójnego przeczenia, 5. (p⇒ ~p)⇒ ~p prawo redukcji do absurdu, 6. [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q prawo sylogizmu

konstrukcyjnego,

Rachunek zdań

7. [(p⇒ q) ∧ ~q]⇒ ~p prawo sylogizmu destrukcyjnego, 8. (a) [(p ∨ q) ∧ ~p]⇒ q,

(b) [(p ∨ q) ∧ ~q] ⇒ p prawo sylogizmu alternatywnego,

9. (p⇒ q)⇒ (~q⇒ ~p) prawo transpozycji prostej, 10. ~(p ∧ q) ⇔ (~p ∨ ~q) pierwsze prawo de Morgana, 11. ~(p ∨ q) ⇔ (~p ∧ ~q) drugie prawo de Morgana, 12. q⇒ (p⇒ q) prawo charakterystyki prawdy,

Rachunek zdań

13. ~p⇒ (p⇒ q) prawo charakterystyki fałszu, 14. (p ∧ ~p)⇒ q prawo Dunsa-Scotusa, 15. ~(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) prawo negowania

implikacji, 16. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) prawo sylogizmu

hipotetycznego, 17. [(p ∧ q) ⇒ r] ⇒ [p ⇒ (q ⇒ r)] prawo

eksportacji, 18. [p⇒ (q⇒ r)]⇒ [(p ∧ q)⇒ r] prawo importacji,

Rachunek zdań

19. [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ∧ (p ∨ q)] ⇒ r prawo dylematu konstrukcyjnego,

20. [(r ⇒ p) ∧ (r ⇒ q) ∧ (~p ∨ ~q)] ⇒ ~r prawo dylematu destrukcyjnego,

21. [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)] prawo mnoŜenia implikacji,

22. [(p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s)] prawo dodawania implikacji.

Rachunek zdań

• Metody badania funkcji logicznych. WyróŜniamy cztery sposoby sprawdzania wartości logicznej danej funkcji:

1. Metoda zero-jedynkowa, 2. Metoda dowodzenia niewprost, 3. Metoda oparta na wykorzystywaniu dowodów

załoŜeniowych, 4. Metoda oparta o aksjomatyczne ujęcie

rachunku zdań.

Rachunek zdań

• Metoda dowodów załoŜeniowych. System dedukcyjny jest to zbiór składający się z twierdzeń przyjętych bez dowodu oraz innych

Systemy dedukcyjne

Systemy nieaksjomatyczne

Systemy aksjomatyczne niesformalizowane

Systemy aksjomatyczne sformalizowane

twierdzeń stanowiących ich konsekwencje.

Rachunek zdań

Systemy nieaksjomatyczne cechuje brak wyraźnego wymienienia twierdzeń przyjętych bez dowodu, za które dopuszczone mogą być wszystkie twierdzenia uznane za oczywiste. Z twierdzeń tych intuicyjnie wywnioskowuje się inne twierdzenia bez wyraźnego określenia reguł wynikania.

Rachunek zdań

Systemy aksjomatyczne niesformalizowane mają wyraźnie wymienione aksjomaty i terminy pierwotne, nie są natomiast wyraźnie określone reguły wynikania pozostałych twierdzeń. Najbardziej precyzyjnymi systemami dedukcyjnymi są systemy aksjomatyczne sformalizowane. Ich cechą jest wyraźne określenie aksjomatów, terminów pierwotnych, sposobów definiowania, a takŜe

Rachunek zdań

reguł wynikania pozostałych twierdzeń. Przykładem systemu dedukcyjnego o takim charakterze jest system aksjomatycznego rachunku zdań.

KaŜdy system dedukcyjny wyznaczony jest przez zbiór aksjomatów A i zbiór reguł dedukcyjnych R. JeŜeli zbiór aksjomatów A jest zbiorem niepustym, to system nazywamy aksjomatycznym, jeŜeli jest pusty, to mamy do czynienia z systemem dedukcji naturalnej.

Rachunek zdań

Przykładem takiego systemu dedukcji naturalnej jest załoŜeniowy rachunek zdań. Rachunek ten nie posiada aksjomatów, lecz składa się jedynie z tzw. reguł pierwotnych opisujących akceptowane w danym systemie reguły dedukcyjne. W oparciu o te reguły przeprowadzane są tzw. dowody załoŜeniowe.

Rachunek zdań Za reguły pierwotne w załoŜeniowym rachunku zdań uznaje się regułę odrywania, reguły dołączania i opuszczania poszczególnych spójników logicznych oraz reguły negowania formuł złoŜonych, czyli: Reguła odrywania (RO)

q

p

qp

Rachunek zdań

Reguła dołączania koniunkcji (DK)

q

p

qp

q

qp

p

qp ∧∧ Reguła opuszczania koniunkcji (OK)

Rachunek zdań

Reguła dołączania alternatywy (DA)

qp

q

qp

p

∨∨

p

q

qp

q

p

qp

~~

∨∨ Reguła opuszczania alternatywy (OA)

Rachunek zdań

Reguła dołączania równowaŜności (DE)

pq

qp

qp

pq

qp

qp

qp

⇔ ⇒

Reguła opuszczania równowaŜności (OE)

Rachunek zdań

Reguła dołączania podwójnej negacji (DN)

p

p~~

p

p~~

Reguła opuszczania podwójnej negacji (ON)

Rachunek zdań

Reguła negowania koniunkcji (NK)

qp

qp

~~

)(~

∨ ∧

qp

qp

~~

)(~

∧ ∨

Reguła negowania alternatywy (NA)

Rachunek zdań

Reguła negowania implikacji (NC)

qp

qp

~

)(~

∧ ⇒

qp

qp

qp

qp

~

)(~

~

)(~

⇔ ⇔

⇔ ⇔

Reguła negowania równowaŜności (NE)

Rachunek zdań

Badanie funkcji logicznej mające na celu udowodnienie jej tautologicznego charakteru na gruncie dowodów załoŜeniowych polega na rozpisaniu w poszczególnych wierszach załoŜeń. Gdy badana funkcja ma postać implikacji – jako załoŜenie wpisujemy jej poprzednik, gdy z kolei jej następnik ma postać implikacji – jako kolejne załoŜenie wpisujemy jej poprzednik itd.

Rachunek zdań

Oprócz załoŜeń moŜemy do dowodu dołączyć załoŜenie nie wprost będące zaprzeczeniem ostatniego następnika badanej funkcji, gdy jest ona implikacją, bądź zaprzeczenie całej badanej funkcji logicznej, gdy implikacją nie jest. Kolejne wiersze dowodu uzyskujemy z poprzednich, stosując wyŜej wymienione reguły pierwotne.

Rachunek zdań

Otrzymanie ostatniego następnika kończy dowód wprost. JeŜeli zaś przyjęliśmy załoŜenie nie wprost, dowód kończy otrzymanie dwóch wierszy sprzecznych.

Przykład 1. Sprawdzić, czy funkcja [(p⇒ q) ∧ (q⇒ r)]⇒

(p⇒ r) jest tautologią?

Rachunek zdań

Dowód metodą dowodów załoŜeniowych wygląda następująco:

1. p⇒ q (zał.) 2. q⇒ r (zał.) 3. p (zał.) 4. q (RO 1,3) 5. r (RO 2,4)

Przeprowadzony dowód był dowodem wprost.

Rachunek zdań

Przykład 2. Sprawdzić, czy funkcja ~(p ∧ ~p) jest

tautologią? 1. p ∧ ~p (zał. dowodu nie wprost) 2. p (OK 1) 3. ~p (OK 1)

sprzeczność (2,3).

Rachunek zdań

• Metoda dowodzenia na gruncie rachunków aksjomatycznych. System dedukcyjnego (aksjomatycznego) rachunku zdań powstaje w kilku fazach. W pierwszej kolejności obiera się pewne spójniki jako terminy pierwotne. Dla celów budowy rachunków aksjomatycznych wykorzystuje się zazwyczaj dwa spójniki prawdziwościowe: ~, ∨, albo ~, ∧, albo ~,⇒.

Brak komentarzy
To jest jedynie podgląd.
3 wyświetlane ||| 3 wyświetlanych na 34 str.
Pobierz dokument