Własności relacji - Ćwiczenia - Matematyka dyskretna, Notatki'z Matematyka dyskretna. Uniwersytet w Białymstoku (UwB)
panna_ania
panna_ania

Własności relacji - Ćwiczenia - Matematyka dyskretna, Notatki'z Matematyka dyskretna. Uniwersytet w Białymstoku (UwB)

2 str.
943Liczba odwiedzin
Opis
Notatki obejmują tematy z zakresu matematyki dyskretnej: własności relacji.
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd2 str. / 2
Pobierz dokument

Matematyka dyskretna

Lista 1

Zadanie 1. Wyznacz wszystkie pary w relacji ρ ⊆ X × Y , gdzie

(a) X = {1, 2, 3}, Y = {6, 7, 8} i ρ = {(x, y) : x | y}, (b) X = Y = N i ρ = {(x, y) : x2 + y2 ¬ 10}.

Zadanie 2. Które z własności, tzn. zwrotność, symetrię, antysymetrię, przechodniość, po- siada relacja ρ ⊆ X ×X?

(a) X = zbiór prostych na płaszczyźnie, ρ = {(x, y) : x ‖ y}, (b) X = zbiór prostych na płaszczyźnie, ρ = {(x, y) : x ⊥ y}, (c) X = zbiór prostych na płaszczyźnie, ρ = {(x, y) : x ∩ y 6= ∅}, (d) X = zbiór prostych na płaszczyźnie, ρ = {(x, y) : |x ∩ y| = 1}, (e) X = zbiór słów, ρ = {(x, y) : słowo x ma tę samą długość co słowo y}, (f) X = zbiór słów, ρ = {(x, y) : słowo x ma wspólną przynajmniej jedną literę ze słowem y}, (g) X = R, ρ = {(x, y) : x ¬ y}, (h) X = R, ρ = {(x, y) : x < y}, (i) X = R, ρ = {(x, y) : 0 ¬ xy}.

Zadanie 3. Które z podstawowych własności spełniają następujące relacje?

(a) x ρ y ⇐⇒ x | y, dla x, y ∈ N,

(b) x ρ y ⇐⇒ 2 | (x+ y) dla x, y ∈ N,

(c) x ρ y ⇐⇒ 3|(x− y) dla x, y ∈ N,

(d) x ρ y ⇐⇒ |x| < |y| dla x, y ∈ R,

(e) x ρ y ⇐⇒ x+ y = 1 dla x, y ∈ R,

(f) x ρ y ⇐⇒ 1 ¬ x+ y dla x, y ∈ R.

Zadanie 4. Ograniczając relacje (a), (b), (c) z zadania 2 do zbioru {1, 2, . . . , 8} sporządzić tabelki tych relacji.

Zadanie 5. Które z podstawowych własności ma relacja określona na zbiorze X formułą

a ρ b ⇐⇒ nwd(a, b) = 1.

Jak zmieni się ta relacja (i jej własności), gdy przyjmiemy:

(a) X = {2, 3, 4, . . .}, (b) X = zbiór liczb parzystych,

(c) X = zbiór liczb pierwszych.

Zadanie 6. Które z relacji opisanych w zadaniach 2, 3 są relacjami równoważności? Dla takich relacji wyznaczyć klasy abstrakcji.

docsity.com

Zadanie 7. Na zbiorze liczb całkowitych Z określamy następującą relację:

x ρ y ⇐⇒ x2 = y2.

Uzasadnij, że to relacja równoważności i wyznacz jej klasy abstrakcji.

Zadanie 8. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5} i niech ρ będzie relacją w rodzinie 2X wszystkich podzbiorów zbioru X określoną w następujący sposób:

A ρ B ⇐⇒ |A| = |B|,

gdzie |C| oznacza ilość elementów zbioru C. Sprawdzić, że relacja ρ jest relacją równoważ- ności. Podać klasę równoważności tej relacji o reprezentancie {1, 2}.

Zadanie 9. Czy na zbiorze {x ∈ R : 0 ¬ x ¬ 2} istnieje relacja równoważności, której kla- sami abstrakcji są zbiory: {x ∈ R : 0 ¬ x ¬ 3

2 } oraz {x ∈ R : 1 < x ¬ 2}.

Zadanie 10. Wykazać, że każda z poniższych relacji jest relacją równoważności i wyzna- czyć jej klasy abstrakcji:

(a) x ρ y ⇐⇒ |x| = |y| dla x, y ∈ R, (b) k ρ n ⇐⇒ k ma tyle samo cyfr co n, dla k, n ∈ N, (c) (m1, n1) ρ (m2, n2) ⇐⇒ m1 + n2 = m2 + n1 dla (m1, n1), (m2, n2) N2, (d) (x1, y1) ρ (x2, y2) ⇐⇒ x1 3y1 = x2 3y2 dla (x1, y1), (x2, y2) R2.

Zadanie 11. Określić relację równoważności na płaszczyźnie R2, tak aby klasami abstrak- cji tej relacji były:

(a) proste postaci y = 3x+ b, b ∈ R, (b) okręgi o środku w punkcie (0, 0) i promieniach r ­ 0.

Zadanie 12. Niech l będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie Π. Określamy relację ρ na zbiorze wszystkich prostych na płaszczyźnie Π w następujący sposób

k ρ m ⇐⇒ k ∩ l 6= oraz m ∩ l 6= ∅.

Czy relacja ρ jest relacją równoważności?

docsity.com

Brak komentarzy
Pobierz dokument