zadania do kolokwium z matematyki , Egzaminy'z Matematyka. Warsaw School of Economics
Weaver
Weaver6 października 2017

zadania do kolokwium z matematyki , Egzaminy'z Matematyka. Warsaw School of Economics

PDF (125 KB)
2 strony
37Liczba odwiedzin
Opis
zadania ułatwiające zaliczenie kolokwium z matematyki
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd2 strony / 2
Pobierz dokument

MATEMATYKA - LISTA 3 21.10.2016

ZAD.1 Wyznacz podane granice:

lim x→2

x2 + 4

x+ 2 ; lim x→2

x2 − 1 x− 2

; lim x→− 12

4x2 − 1 2x+ 1

; lim x→3

27− x3

x− 3 ; lim x→−2

3x2 + 5x− 2 4x2 + 9x+ 2

; lim x→0

√ x2 + 1−

√ x+ 1

1− √ x+ 1

;

lim x→0

sin 3x

4x ; lim x→0

tg 5x

7x ; lim x→0

sin 6x

tg 5x ; lim x→π2

cosx

π − 2x ; lim x→0

5x − 1 x

; lim x→0

1− e2x

tg x ; lim x→∞

x2 − 5x+ 4 x(x− 5)

;

lim x→∞

( √ x2 + 1− x); lim

x→∞

2x + 3x

3x + 1 ; lim x→∞

√ 1 + x2

3 √

1− x3 .

ZAD.2 Wyznacz asymptoty podanych funkcji:

a(x) = sinx

x ; b(x) =

x3 − 1 x− 1

; c(x) = 1

1− x2 ; d(x) = e−x sinx+ x; e(x) =

√ 1 + x2

x ;

f(x) = x3

(x+ 1)2 ; g(x) =

1

ex − 1 ;h(x) =

1− x2

x+ 1 .

ZAD.3* Określ zbiór punktów ci ↪ag lości podanych funkcji:

f(x) =

{ 1 dla x = kπ, k ∈ Z x

sin x dla x 6= kπ, k ∈ Z ; g(x) =

{√ x cos 1x2 dla x > 0

0 dla x ≤ 0 ;h(x) = [x](x− 1).

ZAD.4 Dobierz parametry a, b ∈ R tak, aby podane funkcje by ly ci ↪ag le we wskazanych punktach:

f(x) =

{ bx dla x < π sin x ax dla x ≥ π

x0 = π; g(x) =

{ bx+ 3 dla x < 1

2x2 + x+ a dla x ≥ 1 x0 = 1;

h(x) =

 x+ 3 dla x > 0

a dla x = 0 sin bx x dla x < 0

x0 = 0.

ZAD.5 Dla danej funkcji sprawdź, czy jest ona injekcj ↪a (”1-1”), surjekcj ↪a (”na”), bijekcj ↪a (”1-1” i ”na”). Jeśli to możliwe, to znajdź funkcj ↪e odwrotn ↪a. Znajdź obrazy i przeciwobrazy podanych zbiorów.

a : R→ R, a(x) = 3x+ 4, A = [1, 2], A′ = (4, 7); b : R→ R, b(x) = x2, B = [0, 4], B′ = (−1, 1); c : R→ R, c(x) = 2x+1, C = [0, 2], C ′ = (0, 2); d : (0,∞)→ R, d(x) = log2 x− 1, D = (0, 2), D′ = [0, 2]; e : [0,∞)→ [0,∞); e(x) = x2, E = [0, 4], E′ = (0, 1); f : R→ (0,∞), f(x) = 2x+1, F = [0, 2], F ′ = (0, 2); g : R→ [−1, 1], g(x) = sinx,G = [0, π], G′ = {1};h : R→ [−1, 1], h(x) = cosx,H = [0, π], H ′ = {1};

i : R× R→ R, i(x, y) = xy, I = (−1, 1]× [−2, 2), I ′ = [0, 1); j : R× R→ R, j(x, y) = x2 + y2, J = (−2, 3]× [−2, 3), J ′ = (9, 16].

ZAD.6* Niech f : N × N → N zadane b ↪edzie wzorem f((n, k)) = n · k. Czy f jest injekcj ↪a? surjekcj ↪a? bijekcj ↪a? Znajdź f [P× (N \ P)], f

−1[{10}], f−1[N \ P] i f−1[{2n : n ∈ N \ {0}}] ZAD.7 Niech f : R→ (0,∞) zadana b ↪edzie wzorem f(x) = x

2 + 1.

a) Wyznacz (f ◦ f)(x2 + 1).

b) Wyznacz f [A], gdzie A = [−2, 1].

c) Wyznacz f−1[B], gdzie B = (2, 3).

d)* Rozważmy funkcj ↪e gα : R → R zadan ↪a wzorem gα(x) = f(x − α) (α ∈ R jest parametrem). Wyznacz zbiór {α ∈ R : gα jest funkcj ↪a różnowartościow ↪a }.

1

ZAD.8* Wykaż z definicji, że:

lim x→4

(2x− 7) = 1; lim x→∞

2x

x+ 1 = 2; lim

x→0+ 1√ x

=∞; lim x→−∞

(1− x2) = −∞; lim x→1

(3 + 2x3) = 5; lim x→∞

(3−x + 1) = 1;

lim x→∞

(5− x7) = −∞; lim x→2+

1

x− 2 =∞; lim

x→−3−

√ x2 − 9 = 0.

ZAD.9* Uzasadnij, że podane granice nie istniej ↪a

lim x→0

1

x3 ; lim x→0+

sin 1

x ; lim x→∞

cos (x2); lim x→0

1

1 + e 1 x

; lim x→4

[ √ x]; lim

x→2

x

4− x2 ;

lim x→∞

sin √ x; lim x→π

1

sinx ; lim x→0−

cos 1

x2 ; lim x→∞

2[x]

2x ; lim x→∞

ex(1 + sinx).

ZAD.10* Korzystaj ↪ac z twierdzenia o trzech funkcjach lub z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnij poniższe równości:

lim x→0

x sin 1

x = 0; lim

x→∞

x2 + sinx

x2 − cosx = 1; lim

x→∞

[x]

x+ 1 = 1; lim

x→∞

ln (2x + 1)

ln (3x + 1) = log3 2; lim

x→2 (x− 2)2[x] = 0;

lim x→∞

(2 sinx− x) = −∞; lim x→0−

1√ x2 − x

=∞; lim x→0

√ x cos

1

x2 = 0; lim

x→∞

2 + sinx

x2 = 0; lim

x→−∞ ex+sin

2 x = 0;

lim x→∞

[3ex] + 2

[2ex] + 1 =

3

2 ; lim x→0

x3[ 1

x ] = 0; lim

x→∞ (x2 − sinx) =∞; lim

x→0+ 1

2x− sinx =∞; lim

x→∞ 2x(2 + cosx) =∞.

ZAD.11* Uzasadnij z definicji ci ↪ag lość poniższych funkcji:

a(x) = 2x3 − 3x+ 5; b(x) = 2x+ 3 x2 + 1

; c(x) = √ x4 + 2; d(x) = cosx;

e(x) = 2x− 5; f(x) = sinx; g(x) = 3 √ x;h(x) = ex.

ZAD.12* Uzasadnij, że podane równania maj ↪a rozwi ↪azania w podanych przedzia lach:

4x = x2 w przedziale (−1, 0); ex = 1 x

w przedziale ( 1

2 , 1); ctg(x) = x w przedziale (

π

6 , π

3 );

1 = sinx

2 + x w przedziale (0,

π

2 ); arctg x =

1

x2 w przedziale (

1√ 3 , √

3); 3x + x = 3 w przedziale (0, 1).

Znajdź rozwi ↪azanie pierwszego równania z dok ladności ↪a do 1 8

2

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

Pobierz dokument