zadania do kolokwium z matematyki , Egzaminy'z Matematyka. Warsaw School of Economics
Weaver
Weaver6 października 2017

zadania do kolokwium z matematyki , Egzaminy'z Matematyka. Warsaw School of Economics

PDF (122 KB)
2 strony
20Liczba odwiedzin
Opis
zadania ułatwiające zaliczenie kolokwium z matematyki
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd2 strony / 2
Pobierz dokument

MATEMATYKA - LISTA 5 4.11.2016

ZAD.1 Korzystaj ↪ac z regu ly de L’Hospital’a, oblicz podane granice:

lim x→0

ln (1 + x)

x ; lim x→0+

lnx

ln sinx ; lim x→1−

2x − 22−x

(x− 1)2 ; lim x→−∞

x(e 1 x − 1); lim

x→∞

π − 2 arctg x ln (1 + x)− lnx

; lim x→1−

cos π

2x ln (1− x);

lim x→0

( 1

x sinx − 1 x2

) ; lim x→0+

xsin x; lim x→1−

(1− x)cos πx2 ; lim x→∞

( cos

1

x

)x ; lim x→π2 −

(sinx)tg x; lim x→∞

(x+ 1) 1√ x ;

lim x→0

x− arctg x x2

; lim x→1

x10 − 10x+ 9 x5 − 5x+ 4

; lim x→0+

x lnx; lim x→0−

( 1

x − ctg x

) ; lim x→0

ln cosx

ln cos 3x ; lim x→∞

( 2

π arctg x

)x ;

lim x→0+

(1 + x)ln x; lim x→0+

( 1

x

)sin x ; lim x→1

xx − 1 lnx

; lim x→∞

arcctg 3x

arcctg x ; lim x→π−

(π − x) tg x 2

; lim x→∞

( (x+ 1)x

xxe

)x .

ZAD.2 Znajdź przedzia ly monotoniczności podanych funkcji:

a(x) = x5

5 − x

3

3 + 2; b(x) = x lnx; c(x) = (x− 3)

√ x; d(x) = x+ sinx; e(x) =

x3

x− 2 ; f(x) = ex cosx;

g(x) = x3 − 30x2 + 225x+ 1;h(x) = xe−3x; i(x) = x 3

3− x2 ; j(x) =

x

lnx ; k(x) = 4x+

1

x ; l(x) =

1

x lnx .

ZAD.3 Znajdź wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

a(x) = 2x3 − 15x2 + 36x− 14; b(x) = x x2 + 4

; c(x) = xx; d(x) = x 1 x ; e(x) = sinx+

sin 2x

2 ; f(x) = x− 3

√ x;

g(x) = 1

x2 − x ;h(x) = x3 − 4x2; i(x) = 2 sinx+ cos 2x; j(x) = (x− 5)ex; k(x) = (x+ 3)

3

(x+ 1)2 ; l(x) = x2e

1 x ;

m(x) = ex sinx;n(x) = x+ 1

x , o(x) = 2 arctg x− ln (1 + x2).

ZAD.4 Znajdź najwi ↪eksze i najmniejsze wartości podanych funkcji na wskazanych przedzia lach:

a(x) = x2 − 2x+ 3, [−2, 5]; b(x) = x2 lnx, [1, e]; c(x) = arctg x− x 2 , [0, 2];

d(x) = 2x3 − 3x2 − 36x− 8, [−3, 6], e(x) = x− 2 √ x, [0, 5]; f(x) = 2 sinx+ sin 2x,

[ 0,

2

] .

ZAD.5 Określ przedzia ly wypuk lości i znajdź punkty przegi ↪ecia podanych funkcji:

a(x) = x4 − 6x2 − 6x+ 1; b(x) = x 2

(x− 1)3 ; c(x) = e

3 √ x; d(x) = sin2 x; e(x) = x2 lnx; f(x) = (1 + x2)ex;

g(x) = 1

1− x2 , h(x) = cosx; i(x) = tg x; j(x) = earctg x; k(x) =

x3

x2 + 12 ; l(x) =

lnx√ x .

ZAD.6 Zbadaj przebieg zmienności podanych funkcji i naszkicuj ich wykresy:

a(x) = x3 − 3x2 + 4; b(x) = lnx x

; c(x) = e−x 2

; d(x) = x

1− x2 ; e(x) = (x− 1)2(x+ 2); f(x) = x

3

x− 1 ;

g(x) = x

lnx ;h(x) = x

√ 1− x2; i(x) = x2e−x; j(x) = sinx− sin2 x.

ZAD.7 Sprawdź, czy podane funkcje spe lniaj ↪a za lożenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [−1, 1]:

a(x) = x(x2 − 1); b(x) = 1− 3 √ x2; c(x) = (|x| − 1)2; d(x) = sinπx; e(x) =

√ |x| − 1; f(x) = π

4 − arctg |x|.

1

ZAD.8 Zastosuj twierdzenie Lagrange’a dla funkcji:

a(x) = arcsinx na przedziale [−1, 1]; b(x) = arctg x na przedziale [−1, √

3].

Wyznacz odpowiednie punkty. ZAD.9 Korzystaj ↪ac z twierdzenia Lagrange’a, uzasadnij podane nierówności:

a) xx+1 < ln (1 + x) < x dla x > 0;

b) ex > 1 + x dla x > 0;

c) ex > ex dla x > 1;

d) n(b− a)an−1 < bn − an < n(b− a)bn−1 dla 0 < a < b oraz n ∈ N \ {1};

e) x ≤ arcsinx ≤ x√ 1−x2 dla 0 ≤ x < 1.

ZAD.10 Uzasadnij podane równości:

a) arcsin x√ 1+x2

= arccos 1√ 1+x2

dla x ∈ [O,∞);

b) arctg x = 12 arctg 2x

1−x2 dla x ∈ (−1, 1);

c) arctg x = π4 − arctg 1−x 1+x dla x ∈ (−1,∞);

d) arcsinx = arctg x√ 1−x2 dla x ∈ (−1, 1).

ZAD.11 Napisz wzór Taylora z reszt ↪a Lagrange’a dla podanych funkcji, wskazanych punktów oraz zadanego n:

a(x) = x

x− 1 , x0 = 2 , n = 3; b(x) =

√ x , x0 = 1 , n = 3; c(x) =

1

x , x0 = 2 , n = 3; d(x) = lnx , x0 = e , n = 4;

e(x) = ecos x , x0 = π

2 , n = 2; f(x) = 5

√ 1 + x , x0 = −2 , n = 3.

ZAD.12 Napisz wzory Maclaurina dla podanych funkcji z zadan ↪a reszt ↪a Rn:

a(x) = sin (2x), Rn; b(x) = xe x, Rn; c(x) = cosx, Rn; d(x) =

x

ex , Rn; e(x) = e

tg x, R2.

ZAD.8 Stosuj ↪ac wzór Maclaurina do funkcji:

1. a(x) = ex oblicz e z dok ladności ↪a do 10 −6;

2. b(x) = √

1 + x oblicz √

1, 01 z dok ladności ↪a do 10 −4;

3. c(x) = ln (1 + x) oblicz ln (1, 1) z dok ladności ↪a do 10 −6;

4. d(x) = ex oblicz 13√e z dok ladności ↪a do 10 −3;

5. e(x) = 3 √

1 + x oblicz 3 √

0, 997 z dok ladności ↪a do 10 −3;

6. f(x) = cosx oblicz cos π32 z dok ladności ↪a do 10 −4.

2

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

Pobierz dokument