zadania do kolokwium z matematyki , Egzaminy'z Matematyka. Warsaw School of Economics
Weaver
Weaver6 października 2017

zadania do kolokwium z matematyki , Egzaminy'z Matematyka. Warsaw School of Economics

PDF (106 KB)
2 strony
19Liczba odwiedzin
Opis
zadania pomagające zaliczyć kolokwium
20 punkty
Punkty pobierania niezbędne do pobrania
tego dokumentu
Pobierz dokument
Podgląd2 strony / 2
Pobierz dokument

MATEMATYKA - LISTA 1 7.10.2016

ZAD.1 Wypisz kilka pierwszych wyrazów nast ↪epuj ↪acych ci ↪agów maj ↪ac dany ich wzór ogólny:

an = 5; bn = n; cn = n 2 + √ n; dn =

1

n3 − 2n ; en = 2

22 n

+ 5; fn = sin πn

2 ; gn = cos

πn

2 .

ZAD.2 Na podstawie wartości kilku pocz ↪atkowych wyrazów podanych ci ↪agów znajdź ich wyrazy ogólne:

(an) = (7, 3,−1,−5, . . .); (bn) = (8, 12, 18, 27, . . .); (cn) = (1, 0, 1, 0, . . .); (dn) = (1, 11, 111, 1111, . . .).

ZAD.3 Sprawdź, czy podane ci ↪agi s ↪a ci ↪agami arytmetycznymi lub geometrycznymi. Przy odpowiedzi twierdz ↪acej oblicz sumy S10

an = 2n+ 7; bn = 2n

n! ; cn = 7− 3n; dn =

( 3

5

)n ; en =

n!

2n ; fn =

(−1)n

n2 .

ZAD.4* Czy istnieje ci ↪ag, który jest jednocześnie ci ↪agiem arytmetycznym i geometrycznym? ZAD.5 Niech an = 3 · 2n − 1. Sprawdź, czy

a) a2 = 10;

b) an+1 = 6 · 2n − 1;

c) ci ↪ag (an) jest rosn ↪acy.

ZAD.6 Sprawdź, czy podane ci ↪agi s ↪a ograniczone z do lu, z góry, ograniczone:

an = 3n

3n + 2 ; bn = 1000−

√ n; cn = (−n)n; dn = 4

√ n4 + 4; en =

√ n+ 8−

√ n+ 3; fn = 2

n − 3n.

ZAD.7* Sprawdź, czy podane ci ↪agi s ↪a ograniczone z do lu, z góry, ograniczone:

an = 1√

41 + 1 +

1√ 42 + 2

+ . . .+ 1√

4n + n ; bn = 2

n sin nπ

2 .

ZAD.8 Sprawdź, czy podane ci ↪agi s ↪a monotoniczne od pewnego miejsca:

an = n

n+ 1 ; bn =

n2 + 1

n! ; cn =

√ n2 + 4n− n; dn = n2 − 49n− 50;

en = n2

2n ; fn =

2n + 1

3n + 1 ; gn =

3 √ n3 + 2− n.

ZAD.9* Sprawdź, czy podane ci ↪agi s ↪a monotoniczne od pewnego miejsca:

an = cos π

2n ; bn =

n!(2n!)

(3n)! ; cn = 3

n + (−2)n; dn = 5 · 7 · . . . · (3 + 2n) 4 · 7 · . . . · (1 + 3n)

.

ZAD.10* Korzystaj ↪ac z definicji granicy ci ↪agu uzasadnij podane równości

lim n→∞

2n

n+ 1 = 2; lim

n→∞ logn+1 5 = 0; lim

n→∞ 3 √ n+ 1 =∞; lim

n→∞ (5− 2n) = −∞; lim

n→∞ n √

5 = 1.

ZAD.11 Oblicz granice poniższych ci ↪agów:

an = 3n − 2n

4n − 3n ; bn =

5n6 − 3n4 + 2 5− 10n6

; cn = 3 √ n2 + 1

n ; dn =

log2 (n+ 1)

log3 (n+ 1) ; en =

√ n2 − n− 4

√ n4 + 1;

fn = (n2 + 1)(2n− 1)!

(2n+ 1)! + 1 ; gn =

n3 + 2n2 + 1

n− 3n3 ;hn =

√ n2 + 4n+ 1−

√ n2 + 2n; in =

√ n3 + 1

3 √ n5 + 1 + 1

;

jn = 1 + 3 + . . .+ (2n− 1)

2 + 4 + . . .+ 2n ; kn =

√ n+ 6

√ n+ 1−

√ n; ln =

1 + 12 + 1 22 + . . .+

1 2n

1 + 13 + 1 32 + . . .+

1 3n

;mn = arctg (3n+ 1)

arctg (2n+ 1) .

1

ZAD.12* Oblicz granice poniższych ci ↪agów (skorzystaj z Tw. o trzech ci ↪agach):

an = sinn2 + 4n

3n− 1 ; bn =

n √

3n + 4n + 5n; cn = n √ n+ 3; dn =

n2 √ n+ 1; en =

n

√ 1

2 +

2

3 + . . .+

n

n+ 1 ;

fn = 1√

n2 + 1 +

1√ n2 + 2

+ . . .+ 1√

n2 + n ; gn =

2n+ (−1)n

3n+ 2 ;hn =

n

√ 3n + 2n

5n + 4n ; in =

2n2 + sin (n!)

4n2 − 3 cos (n2) ;

jn = n+1 √

2n+ 3; kn = n √

3 + sinn; ln = n+2 √

3n + 4n+1;mn = 1

n2 + 1 +

1

n2 + 2 + . . .+

1

n2 + n ;

on = n √

1 + 5n2 + 3n5; pn = n

√ 1

n +

2

n2 +

3

n3 +

4

n4 .

ZAD.13 Oblicz granice poniższych ci ↪agów:

an =

( 1 +

4

n

)n ; bn =

( n

n+ 1

)n ; cn =

( n2 + 2

2n2 + 1

)n2 ; dn =

( 1 +

2

n

)n ; en =

( 1− 1

n2

)n ; fn =

( n+ 5

n

)n ;

gn =

( 1− 3

n

)n ;hn

( 1− 4

n

)−n+3 ; in =

( n2 + 6

n2

)n2 .

2

komentarze (0)

Brak komentarzy

Bądź autorem pierwszego komentarza!

Pobierz dokument