002 vetores e escalares, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica
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vetores e escalares
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02. Vetores e escalares

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

02. VETORES E ESCALARES........................................................................................... 2 UM POUCO DE TRIGONOMETRIA............................................................................................ 2 MÉTODO GEOMÉTRICO........................................................................................................ 2 MÉTODO ANALÍTICO ............................................................................................................ 3 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES............................................................................................... 3

Multiplicação de um vetor por um escalar..................................................................... 4 Produto escalar ............................................................................................................. 4 Produto vetorial ............................................................................................................. 5

SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 7 02 .................................................................................................................................. 7 06 .................................................................................................................................. 7 32 .................................................................................................................................. 8 39 .................................................................................................................................. 8 45 .................................................................................................................................. 9 46 .................................................................................................................................. 9 47 ................................................................................................................................ 10 51 ................................................................................................................................ 10

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 2

02. Vetores e escalares

Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos um número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C a informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação. Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.

Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.

Um pouco de trigonometria

Vamos considerar um triângulo retângulo com hipote- nusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema de Pitágoras diz que:

a2 = b2 + c2

As funções seno e cosseno são definidas como:

αθ cossen == a c

αθ sencos == a b

E do Teorema de Pitágoras, encontramos que:

1cossen 22 =+θ

α ααθ

θ θ

sen coscottan

cos sen ====

a c

α c a

θ b

Método geométrico

No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é ade- quado para a operações com diversos vetores. A força é uma grandeza vetorial. Quando consideramos duas forças atuando sobre um dado corpo, o efeito resultante será igual à atuação de uma única força que seja a soma vetorial das duas forças menciona- das. A soma desses dois vetores pode ser efetuada usando-se a regra do paralelogra- mo.

Método geométrico

a !

b !

c !

a !

b !

bac !!!

+=

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Método analítico

O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadas cartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.

Vamos considerar um sistema de coordenadas bidimensional, definido pelos eixos x e y , como mostrados na figura ao lado. O vetor a

! tem compo-

nentes cartesianas ax e ay que tem a forma:

ax = a . cosθ ay = a . senθ

Ou de maneira inversa:

22 yx aaa +=

x

y

a a

=θtan

y

a !

ay θ ax x

Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:

yx ajaia ˆˆ += !

onde jei ˆˆ são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x e y respectivamente e têm módulos iguais a um.

A soma de dois vetores será então definida como:

( ) ( )yyxx yx

yx

bajbaic bjbib

e ajaia

ondebac +++=⇒  

 

+=

+= += ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ !

!

!

!!"

ou seja:

 

 

+=

+= +=

yyy

xxx

yx

bac e

bac ondecjcic ˆˆ

!

Multiplicação de vetores

As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.

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Multiplicação de um vetor por um escalar

Sejam dois vetores a !

e b !

e um escalar k. Defi- nimos a multiplicação mencionada como:

akb !!

=

O vetor ak !

tem a mesma direção do vetor a !

. Terá mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se k for negativo.

a !

ak !

Produto escalar

Define-se o produto escalar de dois vetores a !

e b !

como a operação:

ϕcosabba =⋅ !!

onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores.

a !

ϕ

b !

Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso pode-se resumir na propriedade :

abba !!!! ⋅=⋅

Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d:

θcos. FddFW == !!

Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:

10cosˆˆˆˆ 0 ==⋅ iiii

1ˆˆ =⋅ jj 1ˆˆ =⋅ kk

e de modo equivalente: 090cosˆˆˆˆ 0 ==⋅ jiji

0ˆˆ =⋅ ki 0ˆˆ =⋅ kj

z

k̂ î ĵ y

x

Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes car- tesianas e definir o produto escalar:

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zyx akajaia ˆˆˆ ++= !

zyx bkbjbib ˆˆˆ ++= !

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaiba ˆˆˆˆˆˆ ++⋅++=⋅ !!

e portanto: zzyyxx babababa ++=⋅

!!

Fica fácil perceber que:

2222 zyx aaaaaa ++==⋅

!!

Como ϕcosbaba =⋅ !!

, temos que ba ba !!

.cos =ϕ , e assim poderemos calcular o

ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:

222222 cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

++++

++ =ϕ

Produto vetorial

Define-se o produto vetorial de dois vetores a !

e b !

como a operação:

bac !!!

×=

e módulo c é definido como:

ϕsenbac =

onde c !

é um vetor perpendicular ao plano defino pe- los vetores a

! e b

! e ϕ é o ângulo formado por esses

dois últimos dois vetores.

c !

b !

ϕ

a !

Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F !

que atua em uma car- ga elétrica q que penetra com velocidade v

! numa região que existe um campo magnéti-

co B !

: BvqF !!!

×= ou ainda:

F = q v B senϕ

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Usando a definição de produto vetorial, encon- tramos que:

ijkji ˆˆˆˆˆ ×−==× jkikj ˆˆˆˆˆ ×−==×

kijik ˆˆˆˆˆ ×−==×

0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjii

z

k̂ î ĵ y

x

De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como:

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaibac ˆˆˆˆˆˆ ++×++=×= !!!

e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos que:

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy babakbabajbabaic −+−+−= ˆˆˆ!

Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser expresso como o determinante da matriz definida a seguir:

  

  

=×=

zyx

zyx

bbb aaa kji

bac

ˆˆˆ !!!

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Solução de alguns problemas

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

02 Quais são as propriedades dos vetores a !

e b !

tais que: a) cba

!!! =+ e a + b = c

Temos que: ( ) ( ) babbaababacc !!!!!!!!!!!! ⋅+⋅+⋅=+⋅+=⋅ 2

ou seja: θcos2222 abbac ++=

Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois

c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

Portanto ba !!

c !

b !

θ a

!

a !

b !

b) baba !!!!

−=+

Da equação acima, temos que:

002 =∴=∴+=− bbbbaa !!!!!!

c) 222 cbaecba =+=+ !!!

Como θcos2222 abbac ++= ,

para que c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

devemos ter

2 πθ = portanto ba

!! ⊥

b !

θ

a !

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

06 O vetor a

! tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b

! está diri-

gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas vetoriais para a

! + b

! e b

! - a

! . Estime o módulo e a orientação dos vetores

a !

+ b !

e a !

- b !

a partir desse diagramas.



  

+=

=

yx

x

bjbib

aia ˆˆ

ˆ !

!

 

 

==== −=−=−=

==

27,335cos4cos 29,235sen4sen

3

0

0

θ θ

bb bb

aa

y

x

x

y

b !

θ Oeste Leste

a !

x

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a)

  

+= +=

+= yyy

xxx

bac bac

bac !!!

cx = 3 - 2,29 = 0,71

cy = 3,27

34,322 =+= yx ccc

b)

  

−= −=

−= yyy

xxx

abd abd

abd !!!

dx = -2,29 - 3 = -5,29

dy = 3,27

21,622 =+= yx ddd

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

32 Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpen- dicular á sua diferença.

( ) ( ) babababa =⇒=−=−⋅+ 022!!!!

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

39 Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro:

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii e

0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ikkjji

A definição de produto escalar é tal que: θcosbaba =⋅ !!

, onde θé o ângulo formado pelos vetores. Logo:

11.1.10cosˆˆˆˆ 0 ===⋅ iiii e

00.1.190cosˆˆˆˆ 0 ===⋅ jiji

Os outros itens seguem-se como extensão desses anteriores.

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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

45 A soma de três vetores é igual a zero, como mostra a figura. Calcule:

α c

! b

!

θ a

!

a) ?=⋅ ba !!

0 2

cos ==⋅ πbaba !!

b) ca !! ⋅ = - a c cosθ = -a c (a/c) = - a2

c) cb !! ⋅ = - b c cosα = - b c (b/c) = - b2

Podemos concluir que:

0=++ bac !!!

0=⋅+⋅+⋅ acbccc !!!!!!

logo: c2 = a2 + b2

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

46 Para o problema anterior, calcule:

a) =× ba !!

?

Suponhamos que o eixo z seja perpendicular ao pla- no definido pelos vetores a

! e b

! .

ba !!

a b sen(π/2) = ẑ a b

b !

β

a !

b) =× ca !!

?

ca !!

a c senθ =× ca

!! (- ẑ) a c senθ = - ẑ a c (b/c) = - ẑ a b

θ a

!

c !

c) =× cb !!

?

cb !!

b c senα

cb !!

b c senα = ẑ b c (a/c) cb

!! a b

b !

c !

α

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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

47 Produto escalar em função das coordenadas: Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como:

zyx akajaia ˆˆˆ ++= !

e zyx bkbjbib ˆˆˆ ++= !

mostre que: zzyyxx babababa ++=⋅

!!

Por definição temos que:

=⋅ ba !! ( )⋅++ zyx akajai ˆˆˆ ( )zyx bkbjbi ˆˆˆ ++

Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a resposta pedida.

zzyyxx babababa ++=⋅ !!

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

51 Dois vetores são dados por jia ˆ5ˆ3 += !

e jib ˆ4ˆ2 += !

. Calcule: a) ba

!! × =?

ba !!

× = ( ) kk kji

ˆ22.54.3ˆ

042 053

ˆˆˆ

=−=   

  

b) ba !! ⋅ =?

ba !! ⋅ = 3.2 + 5.4 = 26

c) ( ) bba !!! ⋅+ =? ( ) bba !!! ⋅+ = ( ) ( )jiji ˆ4ˆ2ˆ9ˆ5 +⋅+ = 5.2 + 9.4 = 46

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