003 movimento retilineo, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica
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03. Movimento retilíneo

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

03. MOVIMENTO RETILÍNEO............................................................................................ 2 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ............................................................... 3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR .............................................................. 3 ACELERAÇÃO ..................................................................................................................... 4 ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL .................................................................... 4

Exemplo: ....................................................................................................................... 6 ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE............................................................................................. 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8

15 .................................................................................................................................. 8 19 ................................................................................................................................ 10 34 ................................................................................................................................ 11 38 ................................................................................................................................ 11 41 ................................................................................................................................ 11 43 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 12 54 ................................................................................................................................ 13 57 ................................................................................................................................ 14 61 ................................................................................................................................ 14 69 ................................................................................................................................ 15 78 ................................................................................................................................ 15 79 ................................................................................................................................ 16 82 ................................................................................................................................ 17

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 2

03. Movimento retilíneo

Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento. Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação a um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta pa- rece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas não está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em uma cama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceri- am parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referen- cial específico

Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar. Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Desse modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo como o único existente.

Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento de translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo com esse movimento descreverão a mesma trajetória.

Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matemati- camente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma- neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.

Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que te- nham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresen- tar um movimento retilíneo.

Posição e deslocamento

A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é conhecida em todos os instantes.

P Q xi xf

Vamos considerar que esse movimento componha-se de uma trajetória retilínea que tem como posição inicial o ponto P com coordenada xi no instante ti e posição final com coordenada xf no instante tf . O deslocamento ∆x é uma medida da dife- rença entre as posições inicial xi que a partícula ocupou e a sua posição final xf

x = xi - xf e o intervalo de tempo é expresso como:

t = tf - ti

x Q xf

xi P α

ti tf t

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À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P, na figura anterior. No limite quando ∆t 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste ponto específico.

Velocidade média e velocidade escalar média

A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofistica- ção dos nossos instrumentos de medida.

A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso:

t percorridadistânciav

=

Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida coti- diana essa informação é suficiente para descrever uma viagem.

Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo necessário para esse evento.

t xv ∆ ∆=

Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, devería- mos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento, que foi definido anteriormente.

No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos pratica- mente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidades média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é a distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslo- camento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo considerado.

Velocidade instantânea e velocidade escalar

A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo num dado momento.

Ela é definida como:

dt dx

t xLimv

t =

∆ ∆=

→∆ 0

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Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o iní- cio e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa o que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada um dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda viagem.

A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indi- cação de direção e sentido.

No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A sua característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Por- tanto a equação que define este tipo de movimento é:

X = v t

Aceleração

A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia com o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou dimi- nuindo à medida que o corpo se movimenta.

Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nós definimos a aceleração média deste intervalo como:

t v

tt vv

a if

if

∆ ∆=

− −

=

Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo con- siderado, deveremos calcular a aceleração instantânea:

dt dv

t va Lim

t =

∆ ∆=

→∆ 0

Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a sua aceleração será positiva pois:

Vf > vi ⇒ ∆v = vf - vi > 0 ⇒ 0〉 ∆ ∆=

t va

Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa.

Aceleração constante - um caso especial

O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade é uma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula em outros.

Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula se

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encontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela se encon- trava na posição x com velocidade v .

A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por:

2 0

0

0 vv tt xx

v += − −

=

onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante, como esse caso específico.

Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que define x :

( ) ( )00000 2 tt vv

xttvxx −  

  ++=−+=

Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração média que é a própria aceleração constante neste caso presente:

0

0

tt vv

aa − −

==

ou seja: ( )00 ttavv −+=

ou ainda

( ) a vv

tt 00 −

=−

Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:

( )[ ]   

  −−++

 

  −+=

22 0

00 0

00

tt ttav

tt vxx

e rearrumando os vários termos teremos:

( ) ( )20000 2 1 ttattvxx −+−+=

Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:

  

  −  

  ++=

a vvvv

xx 000 2 ou seja:



 

 − =−

a vv

xx 2

2 0

2

0

e finalmente: ( )0202 2 xxavv −+=

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Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleração constante nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriores para as seguintes equações vetoriais:

( )  

  

−⋅+= +=

++=

0 2 0

2 0

2 00

2

2 1

rravv tavv

tatvrr

!!!

!!!

!!!!

onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação de Torricelli.

Exemplo: Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade

de 15m/s quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de 4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/s usando uma aceleração constante de 10m/s2 .

Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimento mencionado.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35

t

x

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35

t

v

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35

t

a

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Tabela associada ao exemplo:

Intervalo Aceleração Velocidade Espaço 0 → 5s Nula Constante Reta ascendente

5s → 10s Positiva Reta ascendente Parábola com concavidade voltada para cima

10s → 20s Nula Constante Reta ascendente 20s → 23s Negativa Reta descendente Parábola com concavidade

voltada para baixo > 23s Nula Constante Reta ascendente

Aceleração de queda livre

Podemos particularizar o conjunto de equações vetoriais anteriormente deduzidas, para a situação do movimento de queda livre.

Para todos os efeitos práticos, um corpo que cai próximo à Terra, se comporta como se a superfície fosse plana e a aceleração da gravidade g fosse constante. Iremos usar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifície da Terra.

Para a aceleração, temos que:

gkga ˆ−== !!

Para o espaço percorrido, temos que:

( ) 200 ˆ2 1ˆˆˆ tgktvkzkzk −++=

z

g !

2

2

00

gttvzz −+=

Para a velocidade desenvolvida pela partícula, temos que:

( )tgkvkvk ˆˆˆ 0 −+= ou seja:

v = v0 - gt

e também: ( ) ( )0202 ˆˆˆ2 zkzkgkvv −⋅−+=

( )0202 2 zzgvv −−=

Esta última equação é conhecida como equação de Torricelli.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

15 Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com uma velocidade escalar de 30km/h . Quando estão a 60km de distância um do outro, um pássaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o outro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (Não temos idéia da razão do comportamento deste pássaro.)

Vamos considerar d = 60km e d1 a distância que o trem da direita viaja enquanto o pássaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gasto nesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem é v = 30km/h e a velocidade do pássaro é vp = 60km/h .

Para a primeira viagem do pássaro, temos: d

D1 d1

d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1pvv

dt +

=⇒ 1

Para a segunda viagem, temos:

d2 D2

d = 2d1 + ( d2 + D2 ) = 2vt1 + ( vpt2 + vt2 )

( )  



 +

−= +

−=−=+ pp

p vv vd

vv dvdvtdvvt 2122 12

  

   

 +

− +

= pp vv

v vv

dt 212 ∴ 

   

 +

−= pvv

vtt 2112

Para a terceira viagem, temos

D3 d3

d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 )

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 9

d3 + D3 = d - 2d1 - 2d2 vt3 + vpt3 = d - 2vt1 - 2vt2

ppppp vv vt

vv vtt

vv vt

vv vt

vv dt

+ −

+ −=

+ −

+ −

+ = 211213 2222

ou ainda

ppp vv vtt

vv vt

vv vtt

+ −=

+ −

 

   

 +

−= 22213 22 21

ou seja:

  

   

 +

−= pvv

vtt 2123

Por outro lado, já mostramos que:

  

   

 +

−= pvv

vtt 2112

min40 3 2

6030 60

1 ==+ =

+ = h

vv dt

p

Podemos inferir então que:

  

   

 +

−= − p

NN vv vtt 211

ou seja: 1

1

21 −

  

   

 +

−= N

p N vv

vtt

Concluímos que tN é o ene-ésimo termo de uma progressão geométrica cujo

primeiro termo a1 = t1 = 40min e razão 3 1

3 21

6030 30.2121 =−= +

−= +

−= pvv

vq .

a) Quantas viagens o pássaro faz de um trem para o outro, até a colisão?

As viagens do pássaro ficarão cada vez com um percurso menor até tornarem-se infinitesimais, por isso serão necessárias um número infinito de viagens de um trem para o outro.

b) Qual a distância total percorrida pelo pássaro?

O tempo necessário para o percurso será a soma dos termos da progressão:

( ) q qaS

N

− −

= 1 11

e quando |q| < 1 e N tende a infinito:

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v d

v vv

vv d

v vv

t

vv v

t q

aS p p

p

p

22221 1 11 =

 

 +   

   

 +

=

 

 + =

+

= −

=

ou seja

h v

dt 1 30.2

60 2

===

Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km

Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo o detalhamento dos acontecimentos, é calcular o tempo necessário para a colisão dos dois trens:

d = ( v + v ) t = 2vt h v

dt 1 30.2

60 2

===

Esse tempo t é aquele que o pássaro tem para as suas viagens, logo a distância percorrida será:

Dp = vp t = 60km

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

19 Qual a posição final de um corredor, cujo gráfico velocidade x tempo é dado pela figura ao lado, 16 segun- dos após ter começado a correr?

A distância percorrida por uma partí- cula é a área abaixo da curva num gráfico v versus t . Podemos de- monstrar a afirmação anterior de vários modos, por exemplo:

Método 1:

Área = ∫∫ == f

i

f

i

t

t

x

x dtvdxd

d = Área = A1 + A2 + A3 + A4

onde A1 é a área do triângulo que tem como base (0-2), A2 é a área do retângulo que tem com base (2-10) , A3 é a área do paralelogramo que tem como base (10- 12) e A4 é a área do retângulo que tem como base (11-16).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )444242 2 18882

2 1 xxxxxd +

   +++=

d = 100m

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

t(s)

v( m

/s )

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Método 2: Usar as equações da cinemática diretamente para cada percurso, e cal- cular as distâncias correspondentes.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

34 A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car- ro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tem- po atingiria a velocidade de 100km/h ?

v = 100km/h = s

m 3600 1010

3 2 27m/s

v = v0 + at ; 2/50 /27 sm sm

a vt ==

t = 0,54s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

38 Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que a aceleração da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valor mínimo desta aceleração?

v2 = (v0)2 + 2ad a = v2/2d v = 360km/h d = 1,8km v0 = 0

a = 36000 km/h2 = 2,7 m/s2

se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 g

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

41 Um carro a 97km/h é freiado e pára em 43m . a) Qual o módulo da aceleração (na verdade, da desaceleração) em unidades SI e

em unidades g ? Suponha que a aceleração é constante.

v2 = (v0)2 - 2ad a = (v0)2/2d = 8,28m/s2

Se g = 9,8m/s2 temos que a = 0,84 g

v0 = 96km/h = 26,7 m/s d = 43m v = 0

b) Qual é o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reação treação , para freiar é de 400ms , a quantos "tempos de reação" corresponde o tempo de frenagem?

v = v0 - at t = v0/a ou seja: t = 3,22s

treação = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s

T = t + treação

T= 3,62s

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 12

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

43 Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de freiar com uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante).

a) Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguirá parar?

v = v0 - at t = v0/a = 24,6/4,92

t = 5s

a = 4,92m/s2 v0 = 24,6 m/s v = 0

b) Que distância percorre nesse tempo?

v2 = (v0)2 - 2ad d = (v0)2/2a = (24,6)2/(2.4,92)

d = 61,5m c) Faça os gráficos x versus t e v versus t para a desaceleração.

x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metros v(t) = 24,6 - 4,92t em m/s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

45 Os freios de um carro são capazes de produzir uma desaceleração de 5,2m/s2. a) Se você está dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o

tempo mínimo necessário para reduzir a velocidade até o limite permitido de 80km/h ?

v = v0 - at

t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2

t=3,2s

v0 = 140km/h = 39,2m/s v = 80km/h = 22,4m/s a = 5,2m/s2

0

10

20

30 40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 t

x( t)

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

t

v( t)

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b) Trace o gráfico x versus t e v versus t para esta desaceleração. Consideramos que até o instante t = 5s o carro vinha desenvolvendo a veloci- dade de 39,2m/s , quando começou a freiar até 3,2s mais tarde, quando passou a desenvolver a velocidade de 22,4m/s .

O gráfico x versus t é uma reta para 0 < t < 5s ,

é uma parábola com concavi- dade para baixo para 5s < t < 8,2s

e volta a ser uma reta para t > 8,2s .

Nestes intervalos temos res- pectivamente: movimento uniforme, movimento unifor- memente acelerado e nova- mente movimento uniforme.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante a = 2,2m/s2 . No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5m/s , ultrapassa o automóvel.

a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão?

Automóvel

x = at2/2

Caminhão

X = V t

No instante t = tE o automóvel vai alcançar o caminhão, logo:

xE = XE

2,2 5,9.22

2

2

==⇒= a VtVtat EEE

tE = 8,6s

XE = V tE = 9,5.8,6 = 81,7m. Curva azul = X = Caminhão

Curva vermelha = x = Automóvel

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

0 50

100 150 200 250 300 350 400 450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t

x( t)

0 5

10 15 20 25 30 35 40 45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t

v( t)

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b) Qual a velocidade do carro nesse instante?

vE = v0 + a tE = 2,2 + 8,6

vE = 18,9m/s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

57 Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72km/h e o outro a 144km/h . Quando estão a 950m um do outro, os maqui- nistas se avistam e aplicam os freios. Determine se haverá colisão, sabendo-se que a desaceleração em cada um dos trens é de 1,0m/s2 .

Vamos chamar x e X as distâncias que cada trem per- correrá antes de parar. Neste instante teremos v = V =0.

v2 = (v0)2 - 2ax x = (v0)2/2a

V2 = (V0)2 - 2aX X = (V0)2/2a

v0 = 72km/h = 20m/s V0 = 144km/h = 40m/s d = 950m a = 1m/s2

A distância D necessária para os dois trens pararem é D = x + X

m a Vv

D 1000 2

2 0

2 0 = +

=

Como essa distância D é maior que a distância d disponível, acontecerá a colisão entre os dois trens.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

61 Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700m acima da superfície da Terra. Se desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingi- riam o solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal?

v2 = (v0)2 + 2ah = 2gh

1700.8,9.22 == ghv =182,5m/s

v = 657km/h

v0 = 0 a = g = 9,8m/s2 h = 1700m

Velocidade

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

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Decididamente não seria seguro caminhar ao ar livre num temporal com gotas alcan- çando a superfície da terra com esta velocidade.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

69 Um objeto é largado de uma ponte 45m acima da água. O objeto cai dentro de um barco que se desloca com velocidade constante e estava a 12m do ponto de im- pacto no instante em que o objeto foi solto. Qual a velocidade do barco?

h

d

h = 45m v0 = 0 d = 12m

2

2 2

22 V gdh

V dttgh

vtd =∴=⇒



  

=

=

sm h

gdV /9,3 45.2 8,912

2 ===

V = 14,1km/h

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

78 Do cano de um chuveiro, a água pinga no chão, 200cm abaixo. As gotas caem em intervalos regulares, e a primeira gota bate no chão, no instante em que a quarta gota começa a cair. Determine as posições da segunda e terceira gotas, no instante em que a primeira gota bate no chão.

Seja ti o tempo de vôo da i-ésima gota:

2

2 1

1

gthh ==

2

2 2

2

gt h =

2

2 3

3

gt h =

4

3

2 h

1

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Como existe um intervalo ∆t entre cada gota, temos que t1 = 3∆t ; t2 = 2∆t e t3 = ∆t . Logo

( ) ( ) mhht

t t t

h h

9 8

9 4

9 4

3 2

122

2

2 1

2 2

1

2 ==∴= ∆ ∆==

( ) ( ) mhht

t t t

h h

9 2

9 1

9 1

3 132 2

2 1

2 3

1

3 ==∴= ∆ ∆==

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

79 Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5,2m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e afunda com a mesma velocidade constante. Ele chegará ao fundo 4,8s após ter sido largada. a) Qual a profundidade do lago?

h1 = 5,2m

t = t1 + t2 = 4,8s

g htgth 11

2 1

1

2 2

=∴=

t1 = 1,03s e t2 = 3,77s

smghvghvv /09,1022 111 2 0

2 1 ==∴+=

h2 = v1 t2 = 38,06m

v0 h1

v1

h2

v2

b) Qual a velocidade média da bola?

sm tt hh

tempo espaço

t xv /01,9

8,4 06,382,5

21

21 =+= + +

== ∆ ∆=

c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 4,8s depois. Qual a velocidade inicial da bola? Vamos considerar V0 a nova velocidade inicial:

smgt t hVgttVh /60,1552,2392,7

22 0 2

0 −=−=−=∴+=

Na equação acima o sinal de g é positivo significando que o referencial positivo foi tomado como apontando para baixo. Desse modo, como V0 calcula- do é negativo, a bola foi lançada para cima.

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0 < t < 1,03s

O movimento da bola de chumbo é de queda livre, portanto a curva no gráfico y versus t será uma pará- bola e a curva no gráfico v versus t será uma reta in- clinada em relação à hori- zontal.

t > 1,03s

O movimento da bola de chumbo é de retilíneo e uniforme, portanto a curva no gráfico y versus t será uma reta inclinada em rela- ção à horizontal e a curva no gráfico v versus t será uma reta paralela à hori- zontal.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

82 Uma pedra é largada de uma ponte a 43m acima da superfície da água. Outra pe- dra é atirada para baixo 1s após a primeira pedra cair. Ambas chegam na água ao mesmo tempo.

a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra?

h = 44m t = 1s t2 = t1 - t

ss g htgth 399,22

2 1 2 1 ≅==∴=

O tempo gasto pela segunda pedra será:

2 1 v0

h

t2 = t1 - t = 2s Logo:

22 2

2 0

2 2

20

gt t hv

gt tvh −=∴+=

v0 = 12,2m/s

0 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 1 2 3 4 5t

y

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5t

v

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b) Faça o gráfico da velocidade versus tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada.

Curvas das velocidade:

Vermelho = primeira pedra

Marrom = segunda pedra

Curvas das distâncias:

Vermelho = primeira pedra

Marrom = segunda pedra

0 5

10 15 20

25 30

35 40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5t

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t

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