012 rolamento torque e momento angular, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica
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12. Rolamento, torque e momento angular

Versão preliminar 6 de junho de 2002

Notas de Aula de Física

12. ROLAMENTO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR.................................................... 2 ROLAMENTO....................................................................................................................... 2

O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação......................... 2 O rolamento visto como uma rotação pura ................................................................... 3 A energia cinética.......................................................................................................... 3

TORQUE ............................................................................................................................ 3 MOMENTO ANGULAR ........................................................................................................... 4 MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS............................................................. 5 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................... 6 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................... 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8

01 .................................................................................................................................. 8 02 .................................................................................................................................. 8 07 .................................................................................................................................. 9 11 .................................................................................................................................. 9 13 ................................................................................................................................ 10 27 ................................................................................................................................ 11 32 ................................................................................................................................ 11 44 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 13 46 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 2

12. Rolamento, torque e momento angular

Rolamento

Considere um aro de raio R , rolan- do sem deslizar em uma superfície plana horizontal. Quando essa roda girar de um ângulo θ , o ponto de contato do aro com a superfície horizontal se deslocou uma dis- tância s , tal que;

s = R θ

O centro de massa do aro também deslocou-se da mesma distância. Portanto, a velocidade de deslocamento do centro de massa do aro tem a forma:

wRv dt dR

dt dsv CMCM =⇒==

θ

De maneira equivalente podemos encontrar a forma da aceleração do centro de massa do aro:

αRa dt dwR

dt dv

a CM CM

CM =⇒==

R

s

s

O rolamento descrito como uma combinação de rotação e translação

CMvv !!

=

CMvv !!

−=

CMvv !!

=

CMvv !!

=

CMvv !!

=

CMvv !!

2=

CMvv !!

=

Movimento puramente rotacional , todos os pontos da roda movem- se com a mesma velocidade angular.

Movimento puramente translacional , todos os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade.

O movimento de rola- mento da roda é uma combinação dos dois mo- vimentos anteriormente descritos.

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O rolamento visto como uma rotação pura

O rolamento pode ser entendido como uma rotação pura se observarmos que a cada instante o corpo está girando em torno de um eixo instantâneo, que passa pelo ponto de contato entre esse corpo e a superfície que o suporta. Esse eixo é per- pendicular à direção do movimento. A velocidade do centro da roda é

vCM = w R

e a velocidade do topo da roda é

vTopo = w (2R) = 2 vCM Eixo instantâneo de rotação

A energia cinética

Um corpo que rola sem deslizar pode ser visto a cada instante como girando em torno de um eixo instantâneo que passa pelo ponto de contato desse corpo com a super- fície que o suporta, e esse eixo é perpendicular à direção do movimento. do corpo. Desse modo, a sua energia cinética tem a forma:

2

2 1 wIK =

onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo mencionado. Observa-se esse movimento como consistindo apenas de rotação.

Mas se levarmos em conta o teorema dos eixos paralelos:

I = ICM + M R2 a energia terá a forma:

22

2 1

2 1

CMCM vMwIK +=

Desse modo, observa-se esse movimento como consistindo de uma composição rotação + translação .

Torque

A figura abaixo mostra uma partícula localizada pelo vetor posição r !

, sob a ação de uma força F

! . O torque exercido por essa força sobre a partícula é definido como:

Fr !!! ×=τ

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Convenção para simbolizar um vetor saindo perpendicular à folha. Convenção para simbolizar um vetor entrando perpendicular à folha.

y

F !

θ F F||

r !

x

z

Fr !!! ×=τ

y

r !

F !

θ

x

Momento angular

O momento angular de uma partí- cula de massa m localizada pelo vetor po- sição r

! , que tem momento linear p

! é

definido como:

prL !!!

×=

Existe uma conexão entre o mo- mento angular de uma partícula e o torque associado à força resultante que atua sobre ela. Vamos considerar a variação do mo- mento angular no tempo:

( )pr dt d

dt Ld !! !

×=

dt pdrp

dt rd

dt Ld

! !!

!!

×+×=

z

prL !!!

×= y

r !

p !

θ

Mas

  

  

==

=×=×=×

teresulForçaF dt pd

vvmpvp dt rd

tan

0

!!

!!!!! !

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logo:

τ! !

!! "

=⇒×= dt LdFr

dt Ld

Rotação Translação Equivalência

prL !!!

×= → p !

Fr !!! ×=τ → F

!

dt Ld !

! =τ → dt pdF !!

=

Momento angular de um sistema de partículas

Quando estamos considerando um sistema de N partículas, o momento angular total é dado por:

∑ =

=+++= N

i iN LLLLL

1 21

!! #

!!!

De modo equivalente à análise do caso de apenas uma partícula, vamos calcular a variação do momento angular total com o tempo:

∑∑ ==

= 

= N

i

i N

i i dt

LdL dt d

dt Ld

11

! !

!

( ) iiiiiiiiiii Frvvmdt pdrp

dt rdpr

dt d

dt Ld !!!!

! !!

! !!

!

×+×=×+×=×=

Mas EXT

i INT

ii i FFF

dt pd !!! !

+==

ou seja EXT i

INT i

EXT ii

INT ii

i FrFr dt Ld

ττ !! !!!!

!

+=×+×=

∑∑ ==

+= N

i

EXT i

N

i

INT idt

Ld 11 ττ !!

!

logo EXTINT

dt Ld ττ !! !

+=

Vamos mostrar que o torque interno é nulo. As forças internas surgem aos pares como interação entre os pares de partículas, ou seja:

∑ =

= N

j ij

INT i fF

1

!!

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Mas

∑∑∑∑∑∑ = =====

×=  

 ×=×==

N

i

N

j iji

N

j ij

N

i ii

N

i i

N

i

INT i

INT frfrFr 1 11111

!!!!!!!! ττ

ou seja: ( )∑

〈 ×+×=

ji jijiji

INT frfr !!!!!τ

Mas usando-se a terceira Lei de Newton, temos que jiij ff !!

−= , logo

( )[ ]∑ 〈

×−= ji

ijji INT frr

!!!!τ

onde ( )ii rr !!

− é um vetor contido na reta que une as partículas i e j , e essa reta tam- bém contém a força ijf

! . Portanto o produto vetorial é nulo pois os dois vetores são para-

lelos, e finalmente podemos concluir que

0=INTτ!

Desse modo, concluímos que EXT

dt Ld τ! !

=

e essa equação tem a sua equivalente no movimento de translação:

EXTF dt Pd ! !

=

Momento angular de um corpo rígido

Para calcular o momento an- gular de um corpo rígido que está gi- rando em torno de um eixo ( neste caso eixo z ) com velocidade angular w , vamos dividi-lo em pequenos vo- lumes ∆Vi cada um com uma massa ∆mi , que tem momento linear ip

! e

estão localizados pelo vetor posição ir !

. O momento angular desta pequena massa é:

iii prL !!!

×=

Observe-se que o ângulo entre os ve- tores ir

! eip

! é 900 . Desse modo:

Li = ri pi = ri vi mi

z

r

mi θ ip

!

ir !

y

x

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Para calcular a componente z do momento angular, temos que:

Liz = Li senθ = (ri senθ) vi mi = ri vi mi = ri (w ri )mi ou seja:

Liz = w mi r2i

∑ ∑ ⊥∆== i i

iiizz rmwLL 2

Mas ∫∑ ⊥⊥→∆ =∆= dmrrmLimI i iimi

22

0

onde ri⊥ é a componente do vetor posição da massa ∆mi perpendicular ao eixo de rota- ção, ou seja é a distância da massa ∆mi ao eixo de rotação, e portanto temos a nossa definição original de momento de inércia. Desse modo:

L = I w

onde omitimos o índice z do momento angular pois iremos tratar apenas de situações onde o momento angular de um corpo rígido será paralelo ao eixo de rotação (analisare- mos apenas situações onde o momento de inércia é uma grandeza escalar).

Estaremos interessados em situações onde

wIL !!

=

e ainda:

αττ !! !

! I dt Ld =⇒=

Conservação do momento angular

Quando consideramos um sistema de partículas, a variação do momento angular total é igual ao torque externo.

EXT

dt Ld τ! !

=

Se esse sistema estiver isolado, ou seja se o torque externo for nulo, o momento angular total será uma constante.

teconsL dt Ld tan0 =⇒=

! !

Esse resultado é o equivalente da conservação do momento linear total, e tem um significado e importância similar.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

01 Um tubo de paredes finas rola pelo chão. Qual é a razão entre as suas energias ci- néticas translacional e rotacional, em torno de um eixo paralelo ao seu comprimento e que passa pelo seu centro de massa?

Inicialmente vamos calcular o momento de inércia do tubo mencionado, supondo que ele tenha raio R e comprimento L .

( )[ ] θσθσσ LRdLRddSdm ===

( ) ∫∫∫ === ππ

θσθσ 2

0

3 2

0

22 dLRLRdRdmrI

RL M

A M

π σ

2 ==

( ) 23 2 2

MRILR RL

MI =∴  

 = π π

z

y L

x

( ) ( ) 1

2 1

2 1

22

2

2

2

=== wMR

wRM

wI

Mv

K K CM

R

T

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

02 Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma velocidade de 0,150m/s . Qual é o trabalho que deve ser feito sobre o aro para fazê-lo parar?

ICM = M R2

22

2 1

2 1

CMCM MvwIK +=

R = 3m M = 140kg vCM = 0,15m/s

Considerando que vCM = w R , temos que:

( ) ( ) 2222 2 1

2 1

CMMvRwMwMRK =+= = 3,15J

W = ∆K = KF - KI = - KI = - 3,15J

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Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

07 Uma esfera sólida de peso igual a P =35,58N sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a θ = 300 . Na base do plano, o centro de massa da es- fera tem uma velocidade linear de v0 = 4,88m/s .

a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?

22

2 1

2 1

CMCM MvwIK +=

Como vCM = w R

2 212

1 CM

CM Mv MR I

K   

  +=

d

h

θ

Para a esfera temos que 2 5 2 MRICM = , logo a energia cinética terá a forma:

22

10 7

10 7

CMCM vg PMvK == =60,52J

b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?

g v

hMghMvEE CMCMFI 10 7

10 7 22 =∴=⇒= = 1,70m

θθ θ

sen10 7

sen sen

g vhddh CM==⇒= =3,4m

c) A resposta do item b depende do peso da esfera?

Como vimos na dedução anterior, a resposta não depende do peso.

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

11 Uma esfera homogênea, inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da ex- tremidade superior do trilho mostrado a seguir, saindo pela extremidade da direita. Se H = 60m , h = 20m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine a distância L horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.

2

5 2 MRICM =

22

2 1

2 1

CMCM MvwIK +=

2 212

1 CM

CM Mv MR I

K   

  +=

H

h A L

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Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 10

2

10 7

CMMvK =

( ) ( ) 7

10 10 7 2 hHgvMvhHMgEE CMCMFI

−=∴=−⇒=

  

 

=⇒=

=⇒=

g hvLtvL

g htgth

CMCM

2

2 2

2

ou seja: ( ) 7

20 hHhL −= = 47,80m

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

13 Uma bolinha de gude sólida de massa m e raio r rola sem deslizar sobre um trilho mostrado a seguir, tendo partido do repouso em algum ponto do trecho retilíneo do trilho.

a) Qual é a altura mínima h , medida à partir da base do trilho, de onde devemos soltar a bolinha para que ela não perca o contato com o trilho no ponto mais alto da curva? O raio da curva é R e considere que R >> r .

A condição para que a bolinha não per- ca contato é que a normal seja nula na parte mais alta, ou seja que o peso seja a única força radial, e desse modo te- remos:

gRv R

v mmgP CM

CM =⇒== 2 2

Mas como o sistema é conservativo, a energia mecânica será conservada:

h R Q

FFIFI KUUEE +=⇒= ou seja

( ) ( ) ( ) RHmgRRgmRmgvmRmgmgH CM 7,210 27

10 72

10 72 2 =∴=+=+=

b) Se a bolinha for solta de uma altura igual a 6R acima da base do trilho, qual será a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q ?

Usando a conservação da energia mecânica entre os dois pontos, temos que:

( ) gRvmvmgRRmgEE QQQ 7 50

10 76 220 =∴+=⇒=

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Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 11

A força horizontal no ponto Q é a própria força radial nesse ponto, logo:

mgFRg R m

R v

mF R Q

R 7 50

7 502 =∴

 

 ==

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

27 Dois objetos estão se movendo como mostra a figura a seguir. Qual é o seu mo- mento angular em torno do ponto O ?

m1 = 6,5kg v1 = 2,2m/s r1 = 1,5m

m2 = 3,1kg v2 = 3,6m/s r2 = 2,8m

1 1v

!

r1 2v !

m2 O r2

  

= ==

  

= ==

22

22222

11

11111

ˆ ˆ

ˆ ˆ

rir vmjvmp

rjr vmivmp

!

!!

!

!!

( )

( )  

+=×=×=

−=×=×=

222222222

111111111

ˆˆˆ

ˆˆˆ

vrmkvrmjiprL

vrmkvrmijprL

!!!

!!!

21 LLL !!!

+=

( )111222ˆ rvmrvmkL −= !

smkgkL /.798,9ˆ 2= !

y

m1 1v

!

r1 2v !

m2 O x r2

Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga

32 Mostre que um cilindro deslizará sobre um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é θ , quando o coeficiente de atrito estático entre o plano e o cilindro for menor que (tanθ)/3 .



  

=−

=−

maFmg

mgN

aθ

θ

sen

0cos

Quando estamos interessado em calcular

N !

aF !

P !

θ

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Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 12

o torque em relação a um eixo que coincide com a reta de contato entre o cilindro e o plano, devamos notar que apenas a força de atrito produz um torque em relação a esse eixo. À medida que aumenta a inclinação vai aumentando a força de atrito está- tico necessária para evitar o deslizamento. Ni limite, antes do deslizamento, temos que Fa = (Fa)M = µE N .A maior aceleração que o cilindro poderá ter sem deslizar é definida pela condição:

ICM α< Fa R

A condição de deslizamento é: Fa R < ICM α

Usando a segundo lei de Newton poderemos calcular a aceleração angular α :

m g senθ - µE m g cosθ = ma = m α R

( )θµθα cossen ER g −=

Logo:

( ) ( ) 

  −< θµθθµ cossencos ECME R gIRmg

µE cosθ ( mR2 + ICM ) < ICM senθ

θµ tan2 

 

 +

< CM

CM E ImR

I

Considerando que o momento de inércia do cilindro é mR2/2 , teremos:

θµ tan 3 1<E

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

44 Três partículas, cada uma de massa m , são presas umas às outras e a um eixo de rotação por três cordões sem massa, cada um de comprimento L , como mostra a figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação em O com velocidade angular w , de tal forma que as partículas permanecem em linha reta. Quais são, em termos de m , L e w e rela- tivamente ao ponto O a) O momento de Inércia do conjunto?

I = m L2 + m (2L)2 + m (3L)2 = 14 m L2

m w m

m

O

b) O momento angular da partícula do meio?

Se definirmos o eixo z como sendo perpendicular à folha de papel e saindo dela, o momento angular das três partículas estarão no sentido positivo do eixo z .

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Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 13

L2 = I2 w = 4 m L2 w

c) O momento angular total das três partículas?

L = I w = 14 m L2 w

Capítulo 12 - Halliday e Resnick - Edição antiga

45 Um cilindro de comprimento L e raio r tem peso P . Dois cordões são enrolados em volta do cilindro, cada qual próximo da extremidade, e suas pontas presas a gan- chos fixos no teto. O cilindro é mantido horizontalmente com os dois cordões exata- mente na vertical e, em seguida, é abandonado.

a) Determine a aceleração linear do cilindro durante a queda.

F1 = F2 = F

Como a força peso não produz torque em relação ao eixo de rotação, temos que:

r IFIFr 2

2 αατ =⇒==

Mas a = α r

logo

22r IaF =

Considerando as forças que atuam no cilindro, da segunda lei de Newton te- mos que:

aMFFP !!!!

=++ 21 ou seja:

P - 2 F = Ma

Ma r IaMg =

 

 − 22

2

  

  += 21 Mr

Iag

21 Mr I

ga +

=

1F !

2F !

w

P !

F !

w

P !

Considerando que o momento de inércia do cilindro tem a forma 2

2MrI = ,

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Cap 12 romero@fisica.ufpb.br 14

encontramos que

3 2ga =

b) Determine a tensão em cada cordão enquanto eles estão se desenrolando.

Mostramos anteriormente que:

22r IaF =

logo

63 2

2 1

2 2 2 MgFg

r MrF =⇒=

Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

46 As rodas A e B da figura a seguir estão conectadas por uma correia que não desli- za. O raio da roda B é três vezes maior que o raio da correia A .

a) Qual seria a razão entre os momentos de inércia IA / IB se ambas tivessem o mesmo momento angular?

rB = 3 rA

Como as duas rodas estão conectadas, as velocidades das suas bordas serão iguais, ou seja:

vA = vB ou seja:

B

A

BA A

B

B

A BBAA wwr

r w w

rwrw 33 =∴==⇒=

LA = IA wA

LB = IB wB Como LA = LB

3 1=∴=⇒=

B

A

A

B

B

A BBAA I

I w w

I I

wIwI

b) Qual seria a razão entre os momentos de inércia IA / IB se ambas tivessem a mesma energia cinética de rotação?

Como KA = KB

9 1

2 1

2 1

2

22 =∴

 

 =⇒=

B

A

A

B

B

A BBAA I

I w w

I I

wIwI

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Capítulo 12 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

49 Um jogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e raio R = 11cm na pista, com velocidade inicial v0 = 8,5m/s . A bola é arremessada de tal maneira que desliza uma certa distância antes de começar a rolar. Ela não está girando quando atinge a pista sendo o seu movimento puramente translacional. O coeficiente de atrito cinético entre ela e a pista é 0,21 .

a) Por quanto tempo a bola desliza?

M R = 11cm = 0,11m

v0 = 8,5m/s µC = 0,21

0v !

SUPv !

12v !

0v !

CMv !

1v !

0v !

INFv !

d !

SUPv !

TRANv !

ROTv !

CMv !

=TRANv! + INFv

! TRANv

! ROTv

!

Podemos visualizar o movimento da bola como uma composição de movi- mentos: rotação + translação , e desse modo decompor as velocidades:

ROTTRAN vvv !!!

+=

Cada parte da roda vai ter uma compo- sição de velocidades peculiar, as partes superior e inferior são os extremos de diversidade:

vS = vTRAN + vROT

vI = vTRAN - vROT

Quando a bola atinge a pista a veloci- dade de rotação é nula, e ela só tem velocidade de translação v0 . À medida que a bola começa deslizar, ela tam- bém inicia a rotação, adquirindo veloci- dade angular até alcançar o valor w1

N !

aF !

P !

d !

quando não mais desliza, tendo um movimento de rolamento sem deslizamento.

Os dois tipos de movimento (rotação + translação) obedecem às equações:

( )

( ) 

  

−=

−= ⇒



  



  

=

=

davv

tavv

vv

vv

TRAN

TRAN

TRAN

TRAN

220 2 1

01

11

00

( )

( ) ( )( )

  

=∴=⇒−=

=∴==⇒+= ⇒



  



  

==

=

LavRRvww

tavtRRwvtww

vRwv

v

ROT

ROT

ROT

ROT

222

0

2 1

2 1

2 0

2 1

11101

111

0

θααθ

αα

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Ao contrário do rolamento com deslizamento, neste caso as velocidades de translação e rotação não estão conectadas diretamente. Isso só vai acontecer quando cessar o deslizamento, e nesse ponto v1 = w1 R .

Para o movimento de translação, temos a segunda lei de Newton:



  



  

=

=− ⇒=++

TRANa

a

MaF

PN aMNPF

0 !!!!

Mas Fa = µC N = µC M g aTRAN = µC g

Para o movimento de rotação temos:

( ) ROTCMCMCMCaCMa aR I

R R I

R I

MgFIRF   

 =

 

 ===⇒== 22 ααµατ



 

 =

CM CROT I

Rga 2

µ

Considerando o que já foi mostrado, temos que:

01 101

01

1

v aa

a v

a vv

a vt

tavv

tatRv

ROTTRAN

ROT

TRANROT TRAN

ROT



 

 +

=∴ −

==⇒ 

  



  

−=

== α

ou seja:



 

 +

= +

=

CM C

ROTTRAN

I MRg

v aa

v t

2

00

Considerando que para a esfera 2 5 2 MRICM = encontramos que:

g v

t Cµ7

2 0= = 1,18s

b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?

gt I

MRgtatRv C CM

CROT µµα 2 52

1 =   

  

 

 

 === = 6,07m/s

c) Qual a distância que ela desliza na pista?

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g vv

a vv

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d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar?

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