03 modelagem matematica de sistemas dinamicos, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
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03 modelagem matematica de sistemas dinamicos, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE

SISTEMAS DINÂMICOS

NECESSIDADE

Controle envolve

Modelagem de sistemas dinâmicos

Análise de características dinâmicas

MODELO MATEMÁTICO

Conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema precisamente, ou pelo menos tão

bem quanto se necessita.

OBSERVAÇÃO: Um sistema pode ter diversas representações matemáticas, ou diversos

modelos

Equações diferenciais

Representação no espaço de estados

Funções de transferência, dentre outros

Maior complexidade implica maior precisão: deve-se buscar um modelo adequado para cada

problema.

Muitas vezes ignoram-se não-linearidades e comportamentos mais complexos de descrever.

SISTEMAS

Lineares

Não-lineares

Sistemas lineares são aqueles onde o PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO se aplica: “a resposta do

sistema à aplicação de entradas simultâneas é a soma das respostas individuais”.

Exemplo: Verificação do Princípio da Superposição

Considera-se o sistema descrito por:

Desta forma, para duas entradas diferentes e , tem-se:

A resposta do sistema à soma das entradas é dada por:

Logo, a resposta do sistema à soma das entradas é igual à soma das respostas do sistema às

entradas individualmente!

Exemplo: Não verificação do Princípio da Superposição

Considera-se agora o sistema descrito por:

Neste caso, para duas entradas diferentes e , tem-se:

A resposta do sistema à soma das entradas é dada por:

Logo, a resposta do sistema à soma das entradas não é igual à soma das respostas do sistema

às entradas individualmente!

A aproximação linear por partes de sistemas não-lineares permite a aplicação de técnicas de

análise e projeto desenvolvidas para sistemas lineares: linearização em torno de pontos de

operação supondo-se pequenas variações em torno.

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

A Função de Transferência pode ser definida para sistemas lineares, invariantes no tempo,

descritos por equações diferenciais, como a razão entre a Transformada de Laplace da saída

pela Transformada de Laplace da entrada assumindo-se todas as condições iniciais nulas.

Exemplo:

Seja um sistema descrito por

onde

é a entrada e é a saída. Então

é a Função de Transferência do sistema.

OBSERVAÇÕES:

O sistema descrito por uma equação diferencial passou a ser descrito por uma

equação algébrica em .

Se a Função de Transferência de um sistema é conhecida, a saída deste sistema para

vários tipos de entrada pode ser obtida.

A Função de Transferência de um sistema pode ser experimentalmente obtida

aplicando-se uma entrada conhecida e estudando-se a saída obtida.

Se

então

que é a definição de integral de convolução, com .

Uma vez que

então

ou seja, a Função de Transferência do sistema é igual à Função de Transferência da saída para

uma entrada impulso unitário. Desta forma

e é chamada a resposta ao impulso do sistema, que é a resposta do sistema a uma

entrada impulso unitário quando todas as condições iniciais são nulas.

Se é a Função de Transferência do sistema, é possível então caracterizar

completamente um sistema linear, invariante no tempo, excitando-o com uma entrada

impulso unitário e medindo-se sua resposta.

DIAGRAMA DE BLOCOS

Representação gráfica que mostra:

A função de cada componente

Os fluxos de sinais

A interrelação entre os componentes do sistema

Exemplo: Sistema em Malha Aberta

Deve-se ter atenção às unidades!

Exemplo: Sistema em Malha Fechada

Pelo diagrama de blocos, tem-se que:

Logo:

Exemplo: Sistema em Malha Fechada com sensor de medição da saída

Pelo diagrama de blocos, tem-se que:

Logo:

Os sistemas em malha fechada são a essência do controle! No diagrama de blocos anterior:

é a Função de Transferência de malha fechada do sistema. A saída do sistema depende da

Função de Transferência de malha fechada e da entrada.

Os sistemas podem estar sujeitos a perturbações:

Cada entrada deve ser tratada independentemente

As saídas correspondentes a cada entrada isolada são adicionadas para obter-se a

saída completa

OBSERVAÇÃO: estas premissas são sempre válidas quando o sistema é linear, ou seja,

obedece ao princípio da superposição!

Exemplo: Sistema em Malha Fechada com sensor de medição da saída e perturbação

Pelo diagrama de blocos, e considerando-se para obter-se , tem-se que:

Logo:

Considerando-se agora para obter-se , tem-se que:

Logo:

Finalmente:

ou equivalentemente:

No sistema em questão:

é a Função de Transferência do elemento sensor da saída

é a Função de Transferência do processo

é a Função de Transferência do controlador, que deve ser projetado

Notar que, se , pode-se aproximar:

Neste caso, o controlador pode ser escolhido de forma que , o que implicaria

, ou seja, haveria rejeição da perturbação e o seu efeito seria minimizado!

Exemplo: no quadro!

ESPAÇO DE ESTADOS

Teoria de controle convencional

Aplicável a sistemas lineares, invariantes no tempo, mono-variáveis (uma entrada e

uma saída)

Abordagem normalmente no domínio da freqüência

Teoria de controle moderna

Aplicável a sistemas lineares ou não-lineares, SISO (Single Input, Single Output) ou

MIMO (Multiple Input, Multiple Output), invariantes ou variantes no tempo

Abordagem normalmente no domínio do tempo

Permite a análise de sistemas complexos, com o auxílio de ferramentas

computacionais

O Estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (variáveis de estado) cujo

conhecimento no instante inicial ( ), aliado ao conhecimento da entrada futura ( ),

determina o comportamento futuro do sistema.

As variáveis de estado podem ser mensuráveis, observáveis ou calculadas, e podem ser

arranjadas em um vetor de estados.

Espaço de Estados é o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados são os estados , , ,

, e onde os vetores de estados são pontos.

Equações no espaço de estados envolvem não apenas as entradas e saídas, mas também os

estados

O sistema dinâmico deve envolver elementos que “memorizem” o valor das entradas

Integradores servem de memória

As saídas de integradores podem ser consideradas variáveis de estado que definem o

estado interno do sistema

Neste caso, o número de variáveis de estado que descrevem completamente a

dinâmica do sistema é igual ao número de integradores do sistema

Exemplo: Sistema genérico com integradores, entradas e saídas

Definindo-se

tem-se

Se o sistema é linearizado em torno do estado de operação, e considerando-se que ele é

invariante no tempo, obtém-se

onde é a matriz de estado, é a matriz de entrada, é a matriz de saída e é a matriz de

transmissão direta.

OBSERVAÇÃO: se o sistema for variante no tempo, o modelo de estados resultante é

Em termos de diagrama de blocos:

De fato:

1 -

3 -

2 -

4 -

5 -

Notar que os estados são as saídas dos integradores!

Exemplo: no quadro!

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS NO ESPAÇO DE

ESTADOS

Considera-se um sistema SISO invariante no tempo:

Aplicando-se a Transformada de Laplace a estas equações:

Como a Função de Transferência é definida pela razão da Transformada de Laplace da saída

pela Transformada de Laplace da entrada assumindo-se condições iniciais nulas, então:

ou

Exemplos: no quadro!

LINEARIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS

NÃO-LINEARES

A linearização permite aplicar para sistemas não-lineares as técnicas de análise e projeto

desenvolvidas para sistemas lineares.

Pode-se realizar uma Expansão em Série de Taylor e truncar a série no primeiro termo.

A expansão em torno de um ponto de operação implica que o modelo linearizado é válido

apenas na vizinhança deste ponto.

A aproximação será razoável se os termos desprezados forem suficientemente pequenos.

SISTEMA SISO

Modelo não-linear:

Ponto de operação:

Expansão em Série de Taylor:

Truncando-se a série:

ou simplesmente:

SISTEMA TISO

Modelo não-linear:

Ponto de operação:

Expansão em Série de Taylor:

Truncando-se a série:

ou simplesmente:

Exemplo: no quadro!

EXERCÍCIOS

1. Simplifique os diagramas de blocos e determine as Funções de Transferência de malha

fechada.

1.1

1.2

1.3

2. Obtenha uma representação do sistema a seguir no espaço de estados.

3. Determine a Função de Transferência do sistema descrito por:

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