03 slit, Notas de estudo de Engenharia Elétrica
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03 slit, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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sistemas lineares invariantes no tempo
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Sistemas LTI marcelo bj 1

Sistemas Lineares

invariantes no tempo

Sistemas LTI marcelo bj 2

Introdução

Importância do estudo:

boa parte dos sistemas físicos são bem modelados como um

sistema linear invariante no tempo, SLIT,

existe um poderoso conjunto de ferramentas matemáticas que

ajuda a caracterizá-los.

Nesta parte do curso vamos estudar três tipos de representações

destes:

resposta ao impulso do sistema (a integral de convolução),

representação por equação diferencial linear com coeficientes

constantes,

representação utilizando diagrama de blocos.

Sistemas LTI marcelo bj 3

Introdução

Revisão das propriedades para um sistema linear invariante no

tempo,

representações:

    txHty       tytx .H 

Um sistema LIT é identificado pelas as seguintes propriedades:

linearidade princípio da superposição,

invariância ao deslocamento,

a partir destas duas propriedades podemos caracterizar

completamente o sistema.

Sistemas LTI marcelo bj 4

     tyatyaty MM 11

Deslocamento na entrada mesmo deslocamento na saída

invariância no tempo:

         00 ttxHttytxHty 

          txHatxHatxatxaH MMMM   1111

é válido o princípio da superposição:

linearidade:

nomenclatura:

sistemas LTI (ingles) ou LIT ou SLIT

Sistemas LTI marcelo bj 5

Representação de um sistema pela resposta ao impulso [h(t)]

a integral de convolução

Definição:

a resposta ao impulso de um sistema LIT é o sinal de saída quando

aplica-se na entrada a função impulso unitário (t),

é representada por h(t).

primeiramente vamos estudar a representação de uma função

utilizando a função (t), em seguida aplicar este resultado em

sistemas lineares.

slit(t)h(t)

Sistemas LTI marcelo bj 6

   

 

 

 contráriocaso

t t

0

0 1

considere:

x(t) um sinal qualquer,

e uma aproximação em degraus de x(),

em que cada degrau é representado pelo seguinte pulso:

(t)

1/

 t

 tx̂

observe que (t) tem área igual a 1, (t) = 1 .

Sistemas LTI marcelo bj 7

representação em degraus de x(t):

      



 

k

ktkxtx̂

desde que o produto (t) é igual a 1, então x(t) pode ser

aproximada por:

t

k

x(t) (t)

1/

 t

Sistemas LTI marcelo bj 8

Conforme  0 a aproximação torna-se cada vez melhor.

no limite tem-se que:

      



 



k

ktkxlimtx 0

considerando o limite note que:

k um valor qualquer ,

• (t) (t) função impulso unitário,

•  d

portanto a somatória torna-se uma integral do tipo:

      

  dtxtx

x(t) pode ser representada por uma soma de impulsos deslocados.

Sistemas LTI marcelo bj 9

A integral de convolução

Seja h(t) a resposta de um sistema LIT ao impulso unitário:

     tht H  .

suponha que seja aplicado no sistema um sinal x(t) tal que:

x(t) seja uma aproximação em degraus (como anteriormente),

assim, para um instante particular k tem aplicado na entrada do

sistema o seguinte pulso:

       ktkx

t

k

x(t) (t)1/

 t

Sistemas LTI marcelo bj 10

definindo:

      ktkx

 tĥ  tcomo a resposta do sistema LIT ao pulso:

então a resposta do sistema ao pulso será:

     ktĥkx

por hipótese o sistema é linear, então:

podemos aplicar o princípio da superposição,

    





k

ktĥkx)t(ŷ

isto é, a saída é a soma de todas as contribuições individuais de

cada pulso deslocado.

Sistemas LTI marcelo bj 11

Novamente, conforme  0 a aproximação torna-se cada vez melhor.

assim, no limite tem-se que:

      

  dthxty

a equação acima é conhecida como integral de convolução ou

integral de superposição,

corresponde à representação de um sistema LIT em termos de sua

resposta ao impulso h(t),

ela é representada por:

     th*txty h(t)x(t)y(t)

Sistemas LTI marcelo bj 12

exercícios

Sistemas LTI marcelo bj 13

Sistemas LTI marcelo bj 14

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Sistemas LTI marcelo bj 17

Sistemas LTI marcelo bj 18

Sistemas LTI marcelo bj 19

Sistemas LTI marcelo bj 20

Propriedades de um sistema LIT

1. comutativa:

       

        



 

 dtxhdthx

txththtx **

2. distributiva:

              th*txth*txthth*tx 2121 

x(t) y(t) h1(t) + h2(t) x(t) y(t)

h2(t)

h1(t)

Sistemas LTI marcelo bj 21

3. associativa:

             th*th*txth*th*tx 2121 

x(t) y(t) h2(t) h1(t)

    thth 21 *

    thtx 1*

x(t) y(t) h2(t) h1(t)

Sistemas LTI marcelo bj 22

exemplo: prova da propriedade comutativa:

por definição

trocando a variável de integração: t – τ = λ

Sistemas LTI marcelo bj 23

4. sistemas sem memória:

       tkxtytkth 

em um sistema sem memória a saída depende da entrada somente

para o instante atual.

5. inversibilidade

         txtx*th*thty ii 

x(t) yi(t) = x(t) hi(t) h(t)

     tth*th i 

x(t) yi(t) = x(t) (t)

Sistemas LTI marcelo bj 24

6. sistemas causais:

um sistema é causal se a saída depende somente dos valores

presentes e/ou passados da entrada.

a seguinte condição deve ser satisfeita:   00  t,th

para a integral de convolução tem-se:

          

 

0 dtxhdthxty

t

sinais causais:   00  t,tx

7. sistemas estáveis:

um sistema é estável se para toda entrada limitada a saída também

é limitada (BIBO).

Sistemas LTI marcelo bj 25

seja: então,    xMtx

         

  



 







dhM

dtxhdtxhty

x

portanto:    

 dh h(t) deve ser absolutamente somável

exemplo: verifique para que condições de a, que o sistema abaixo

é estável.

    0 A,tuAeth at

    01 0

0  

 

  aea A

e a

A dtAedtth aatat

Sistemas LTI marcelo bj 26

8. resposta ao degrau unitário:

fornece informações sobre o comportamento do sistema para

mudanças abruptas no sinal,

ela está relacionada com a resposta ao impulso.

seja:      tu*thts

então:        ts dt

d thdhts

t

    exemplo: encontre a resposta ao degrau unitário para um circuito

RC tal que:

   tue RC

th RC/t 1

      



 t

RC/ t

RC/ de RC

due RC

ts 0

11    tue RC/t1

Sistemas LTI marcelo bj 27

Representação através de equações diferenciais lineares

forma geral da representação:

    

M

k k

k

k

N

k k

k

k tx dt

d bty

dt

d a

00

ak e bk coeficientes constantes

N: [ a maior derivada de y(t) ] ordem do sistema; é o número de

dispositivos que armazenam energia (capacitores, indutores).

A solução consiste de duas partes:

solução homogênea ( resposta natural ) yh(t)

solução particular yp(t)

     tytyty ph 

Sistemas LTI marcelo bj 28

a solução da equação diferencial necessita de um conjunto de N

condições auxiliares:

     01 1

00 ty dt

d ,,ty

dt

d ,ty

N

N

elas resumem as condições dos dispositivos que armazenam

energia ( tensões nos capacitores, correntes nos indutores )

para um sistema linear e causal admite-se uma condição inicial de

repouso:

    00 00 tt,tytt,txse 

neste caso o sistema é também invariante no tempo e a saída

pode ser calculada admitindo:

      001 1

00  

ty dt

d ty

dt

d ty

N

N

Sistemas LTI marcelo bj 29

Solução homogênea ou resposta natural: yh(t)

a resposta natural é a saída do sistema quando a entrada é nula:

  0 0

 

N

k

hk

k

k ty dt

d a equação

homogênea

a solução apresenta a seguinte forma:

   

N

i

t ih

iecty

1

em que os i são as raízes da seguinte equação característica:

0

0

 

N

k

k ka

Sistemas LTI marcelo bj 30

se uma das raízes se repete M vezes são incluídos M termos:

tMtt iii et,,te,e  1

com relação ao tipo de raízes, tem-se os seguintes tipos de saída:

reais EXPONENCIAIS REAIS.

Imaginárias SENÓIDES.

complexas SENÓIDES AMORTECIDAS.

Solução particular: yp(t)

a solução particular é obtida através da resposta forçada,

supõe-se que a saída tenha a mesma forma geral da entrada.

     wtsencwtcoscwtcos

cee

c

tt

21

1









Sistemas LTI marcelo bj 31

exercícios

se a entrada tiver a mesma forma da resposta natural então a

solução particular deve ser modificada:

ttt

tt

ectte,e

ctee









2

natural particular

Sistemas LTI marcelo bj 32

Representação através de diagrama de blocos

Definição: Interconexão de operações elementares que agem no

sinal de entrada.

Os sistemas descritos por equações diferenciais com coeficientes

constantes podem ser representados por um diagrama de blocos de

operações elementares.

Três operações básicas são utilizadas:

c multiplicação por escalar: x(t) cx(t)

adição: x(t) x(t) + g(t)

x(t)

g(t)

    t

dxintegração:

Sistemas LTI marcelo bj 33

considere o sistema descrito pela equação diferencial:

    

M

k k

k

k

N

k k

k

k tx dt

d bty

dt

d a

00

considere a seguinte operação de integração recursiva:

        

t nn dgtg 1

g(n)(t) a n-ésima integral de g(t)

g(0)(t) = g(t)

Admitindo N M

      

 

M

k

kN k

N

k

kN k txbtya

00

Sistemas LTI marcelo bj 34

Exemplo ilustrativo para N = 2:

           tx dt

d btx

dt

d btxbty

dt

d aty

dt

d atya

2

2

2102

2

210 

escrevendo a equação acima através de uma soma de integrais:

               txbtxbtxbtyatyatya 2 1

1 2

02 1

1 2

0 

isolando y(t)

calculando a integral (dupla)

             txdt d

btx dt

d btxbty

dt

d aty

dt

d atya

2

2

2102

2

210

Sistemas LTI marcelo bj 35

               tyatyatxbtxbtxbtya 11 2

02 1

1 2

02 

portanto

                tyatyatxbtxbtxb a

ty 11 2

02 1

1 2

0 2

1 

isolando y(t)

operações em

x(t)

operações em

y(t)

a partir da equação acima poder construir o diagrama de blocos do

sistema.

Sistemas LTI marcelo bj 36

                tyatyatxbtxbtxb a

ty 11 2

02 1

1 2

0 2

1 

b2

b1

b0

x(t) g(t) 1/a2

y(t)

-a1

-a0

FORMA DIRETA I

tem-se dois sistemas LTI em cascata: AZUL e o VERMELHO,

podemos trocar o ordem de execução (propriedade comutativa).

g(t)

Sistemas LTI marcelo bj 37

trocando a ordem de operação dos sistemas:

w(t) alimenta os dois conjuntos de integradores idênticos,

portanto eles podem ser agrupados em um só,

tem-se então uma nova forma de diagrama de blocos.

b2

b1

b0

w(t) y(t)

1/a2

x(t)

-a1

-a0

Sistemas LTI marcelo bj 38

b2

b1

b0

y(t) 1/a2

x(t)

-a1

-a0

FORMA DIRETA II

vantagem:

utiliza um número menor de integradores em relação à forma

direta I.

Sistemas LTI marcelo bj 39

Generalizando a forma direta II:

b1

b0

y(t)

-a1

-a0

bN 1/aN

x(t)

Sistemas LTI marcelo bj 40

exercícios

Sistemas LTI marcelo bj 41

Sistemas LTI marcelo bj 42

exemplo de aulas passadas:

CRi(t)

i1(t) i2(t)

v(t)

circuito RC paralelo alimentado por uma fonte de corrente

           

       

R

tv tidtti

C

tv

titititititi

t





  21

2121

1

entrada: i(t) v(t): saída -

 dt.

R

1

  

ti1

 ti2

Sistemas LTI marcelo bj 43

Sistemas LTI marcelo bj 44

Sistemas LTI marcelo bj 45

Sistemas LTI marcelo bj 46

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