2017 - lista1, Notas de estudo de Mecatrônica
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INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2453  Cálculo Diferencial e Integral I (Escola Politécnica) Primeira Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores

1. LIMITES DE FUNÇÕES

EXERCÍCIOS 1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

a. lim x→−2

2x3 + 9x2 + 12x + 4 −x3 − 2x2 + 4x + 8 b. limx→−3

√ x2 + 16− 5 x2 + 3x

c. lim x→2

√ x2 + 12− 4

2− √

x3 − 4

d. lim x→1/2

4 √

2x− 1√ 2x− 1

e. lim x→0

3 √

x4 + 1− 1 x4

f. lim x→1+

√ x2 − 1 +

√ x− 1√

x− 1

g. lim x→0

sin 20x sin 301x

h. lim x→0

sin(sin 2x) x

i. lim x→0

tan(3x) cossec(6x)

j. lim x→0

1− 3 √

cos x x2

k. lim x→ π2

cos x x− π2

l. lim x→3−

√ x2 − 6x + 9

x− 3

m. lim x→1

sin(3x2 − 5x + 2) x2 + x− 2 n. limx→0+

sin x x3 − x2 o. limx→0

sin3(x) sin ( 1

x

) x2

p. lim x→0

√ x4 + x2

x q. lim

x→1

1 x− 1 −

3 1− x3 r. limx→1+

sin(x3 − 1) cos ( 1

1−x )

√ x− 1

s. lim x→2−

x2 − 2x x2 − 4x + 4 t. limx→+∞

x√ x + 1

u. lim x→+∞

3 √

x + 1− 3 √

x

v. lim x→+∞

√ x + 1√

9x + 1 w. lim

x→+∞ x− sin x x + sin x

x. lim x→+∞

√ x2 + 1−

√ x4 − 1

y. lim x→−∞

3x5 + 2x− 8√ x6 + x + 1

z. lim x→−∞

√ x2 + 9 + x + 3 α. lim

x→2

(x2 − 2x) sin(x2 − 4)√ x2 + 4−

√ 4x

β. lim x→+∞

3x3 + x cos √

x x4 sin

( 1 x

) + 1

γ. lim x→+∞

√ x (

sin x + √

x cos x )

x √

x− sin ( x √

x ) δ. lim

x→−∞

4 √

7x12 + 5x4 + 7 2x3 + 2

e. lim x→+∞

√ x + √

x− √

x ζ. lim x→1

√ x3 + x2 − 5x + 3

x2 − 1 η. limx→+∞

√ x cos x + 2x2 sin

( 1 x

) x− √

1 + x2

1.2. A resolução abaixo está incorreta. Indique onde ocorrem os erros e então calcule o limite corretamente.

lim x→+∞

√ x2 + x− x = lim

x→+∞

√ x2 (

1 + 1 x

) − x

= lim x→+∞

x

√1 + 1 x︸︷︷︸→0 − 1

 ︸ ︷︷ ︸

→0 = lim

x→+∞ x · 0 = 0

1.3. Sejam c, L ∈ R tais que lim x→1

2x3 + cx + c x2 − 1 = L. Determine c e L.

1

1.4. Seja f : RR uma função.

a. Supondo que lim x→2

f (x) x2

= 1, calcule lim x→2

f (x) x

.

b. Supondo que lim x→0

f (x) x

= 0, calcule lim x→0

f (x).

c. Supondo que lim x→+∞

f (x) x2 + x

= +∞, calcule lim x→+∞

f (x).

1.5. Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando ou apresen- tando um contra-exemplo. a. Se f , g : R R sao funções tais que f é limitada e positiva e lim

x→+∞ g(x) = +∞, então

tem-se que lim x→+∞

f (x)g(x) = +∞.

b. Se f , g : R R sao funções tais que f é limitada e lim x→+∞

g(x) = +∞, então tem-se que

lim x→+∞

f (x) + g(x) = +∞.

c. Se f , g : RR sao funções tais que lim x→+∞

f (x) g(x)

= +∞, então lim x→+∞

f (x)− g(x) = +∞.

1.6. Dê exemplos de funções f e g tais que

a. lim x→0

f (x) = +∞, lim x→0

g(x) = +∞ e lim x→0

f (x) g(x)

= 0;

b. lim x→0

f (x) = +∞, lim x→0

g(x) = +∞ e lim x→0

f (x)− g(x) = 1;

c. lim x→0

f (x)− g(x) = 0 e lim x→0

f (x) g(x)

6= 1;

d. lim x→0

f (x) g(x)

= 1 e lim x→0

f (x)− g(x) 6= 0.

1.7. Mostre que se lim x→a

f (x) g(x)

= 1 e g é limitada então lim x→a

f (x)− g(x) = 0.

1.8. Seja f : RR uma função tal que | f (x)| ≤ 2|x| para todo x ∈ R. Calcule lim x→0

f (x3) x

.

1.9. Seja f : R R uma função tal que 1 + x2 + x66 ≤ f (x) + 1 ≤ sec x2 + x6 3 , para todo x no

intervalo ]− π2 , π 2 [. Calcule limx→0

f (x) e lim x→0

f (x) cos (

1 x2 + x

) .

1.10. Sejam f , g : R R tais que | sin x| ≤ f (x) ≤ 3|x| e 0 ≤ g(x) ≤ 1 + | sin(x)|, para todo x ∈ R. Calcule lim

x→0 f (x)g(x) + cos x.

1.11. Sejam C o círculo de raio 1 e centro em (1, 0) e Cr o círculo de raio r, 0 < r < 2, e centro em (0, 0). Sejam ainda Pr o ponto (0, r) e Qr o ponto de interseção dos círculos C e Cr situado no primeiro quadrante.

Se Lr é a interseção da reta PrQr com o eixo Ox, o que acontecerá com Lr, quando Cr encolher arbitrariamente?

2. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES

EXERCÍCIOS 2.1. Determine, se existir, o valor de L ∈ R para que cada uma das funções abaixo sejam contí-

nuas.

a. f (x) =

 sin(x2 + 2)− sin(x + 2)

x , se x 6= 0,

L, se x = 0. b. f (x) =

 √

x8 + x4

x2 , se x 6= 0

L, se x = 0.

MAT–2453 (2017) 2 de 10

2.2. Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.

a. f (x) =

 sin(x2 − 4) + 5, se x > 2 x2 + x− 6

x− 2 , se x < 2 5, x = 2.

b. f (x) =

 |x2 − 4x + 3|

x− 3 , se x 6= 3 1, se x = 3.

c. f (x) = 1 + (−1)bxc

2 sin(πx) d. f (x) =

{ 0, se x é irracional e 0 < x < 1, 1 q , se x =

p q , com mdc(p, q) = 1.

Obs.: bxc é o maior inteiro menor ou igual a x.

2.3. Decida se a afirmacão é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo. a. Se f : RR é tal que | f | é contínua em x = 0, então f é contínua em x = 0. b. Se f e g são funções descontínuas em x = 0, então a função f g é descontínua em x = 0.

2.4. Construa uma função f : RR que é contínua em um único ponto.

2.5. Construa uma função f : RR que é contínua somente em dois pontos.

3. DERIVADAS

EXERCÍCIOS

3.1. Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I, a ∈ I e h(x) = {

f (x), se x ≥ a, g(x), se x < a.

Mostre que h é derivável em a se e somente se f (a) = g(a) e f ′(a) = g′(a). Construa contra- exemplos removendo uma das condições de cada vez.

3.2. Verifique se cada uma das funções abaixo é contínua e se é derivável no ponto x0 indicado.

a. f (x) =

{ (x2 + x) cos

( 1 x

) , se x 6= 0

0, se x = 0 , x0 = 0; b. f (x) =

{ x sin

( 1 x

) , se x 6= 0

0, se x = 0 , x0 = 0;

c. f (x) =

{ x2 sin

( 1 x

) , se x 6= 0

0, se x = 0 , x0 = 0; d. f (x) =

{ sin x

x , se x 6= 0 1, se x = 0

, x0 = 0.

3.3. Construa uma função f : RR derivável num único ponto.

3.4. Calcule lim x→0

tan(3 + x)2 − tan 9 x

.

3.5. Calcule f ′(0), sendo f (x) =

{ g(x) sin

( 1 x

) , se x 6= 0

0, se x = 0 e g(0) = g′(0) = 0.

3.6. Explicite as derivadas de

a. f (x) = tan x; b. f (x) = cot x; c. f (x) = sec x; d. f (x) = cosec x.

3.7. Seja f : R R tal que | f (x)| ≤ |x3 + x2|, para todo x ∈ R. Mostre que f é derivável em x0 = 0.

3.8. Sabendo-se que f : R R é derivável em a ∈]0,+∞[, calcule lim x→a

f (x)− f (a)√ x− √

a em termos

de f ′(a).

3.9. Considere a função f (x) = x|x|. Decida se f é derivável em x0 = 0 e calcule f ′(0) em caso afirmativo.

MAT–2453 (2017) 3 de 10

3.10. Derive:

a. f (x) = x + 1 x− 1 b. f (x) =

4x− x4 (x3 + 2)2015

c. f (x) = x sin ( 3√x5 − x2)

d. f (x) = 3 √

x2 cos x (x4 + tan2(x) + 1)2

e. f (x) = sec(tan x) f. f (x) = x(sin x)(cos x)

g. f (x) = (x + a)5

x5 − b5 h. f (x) = 1

sen (x− sen x) i. f (x) = cot(3x 2 + 5).

3.11. Decida em que pontos as funções a seguire são deriváveis. a. f (x) =

√ x4 + x6; b. f (x) =

√ x4 + x2.

3.12. Sejam f : R R derivável em x0 = 0 tal que f (0) = f ′(0) = 0 e g : R R uma função limitada (não necessariamente derivável em x0 = 0). A função h(x) = f (x)g(x) é derivável em x0 = 0? Exiba h′(0) em caso afirmativo.

3.13. Responda, justificando: a. Se f + g é derivável em x0, é verdade que necessariamente que f e g também são derivá-

veis em x0? b. Se f · g é derivável em x0, quais condições sobre f garantem diferenciabilidade de g em

x0?

3.14. Prove que: a. Se f é derivável em x0 então | f (x)| é derivável em x0, desde que f (x0) 6= 0. Dê contra-

exemplo no caso em que f (x0) = 0. b. Se f , g são duas funções deriváveis em x0 então as funções h1(x) = max{ f (x), g(x)} e

h2(x) = min{ f (x), g(x)} são deriváveis em x0, desde que f (x0) 6= g(x0). Dê contra- exemplo no caso em que f (x0) = g(x0).

3.15. Encontre uma função g(x) tal que g′(x) = f (x) quando a. f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0. b. f (x) = b2x2 +

b3 x3 + . . . +

bk xk .

c. Ache mais uma g para cada um dos itens acima. d. Existe alguma função da forma

f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 + b1 x1

+ b2 x2

+ b3 x3

+ . . . + bk xk

tal que f ′(x) = 1x ? Justifique.

3.16. Dizemos que x0 é uma raiz dupla de uma função polinomial f se f (x) = (x− x0)2g(x), para alguma outra função polinomial g. a. Mostre que x0 é raiz dupla de f se e somente se x0 é raiz tanto de f quanto de f ′. b. Quando f (x) = ax2 + bx + c tem raiz dupla? Interprete geometricamente.

3.17. Seja f uma função derivável em x0 e considere a função d(x) = f (x)− f ′(a)(x− a)− f (a). Calcule d(a) e d′(a).

3.18. Suponha que f (x) = xg(x), onde g é uma função contínua em x0 = 0. Mostre que f é derivável em x0 = 0 e calcule f ′(0) em termos de g.

3.19. Suponha que f é uma função derivável em x0 = 0 e que f (0) = 0. Mostre que f (x) = xg(x) para alguma função g que é contínua em x0 = 0.

Dica. O que acontece se você tentar escrever g(x) = f (x)x ?

MAT–2453 (2017) 4 de 10

3.20. Prove que é impossível escrever x = f (x)g(x) com f , g deriváveis tais que f (0) = g(0) = 0.

Dica. Que tal derivar?

3.21. Interprete geometricamente os resultados obtidos no exercício 17.

3.22. Determine todos os pontos (x0, y0) sobre a curva y = 4x4− 8x2 + 16x + 7 tais que a tangente à curva em (x0, y0) seja paralela à reta 16x− y + 5 = 0.

3.23. Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = ax2, (a 6= 0) tem como interseção um ponto que esta numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.

3.24. Seja y = f (x) uma função dada implicitamente pela equação x2 = y3(2− y). Admitindo que f é derivável, determine a reta tangente ao grafico de f no ponto (1, 1).

3.25. Seja f : I → R derivável, onde I é um intervalo aberto contendo x = −1. Suponha que f 3(x)− f 2(x) + x f (x) = 2, para todo x ∈ I. Encontre f (−1) e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto

( − 1, f (−1)

) .

4. TAXAS RELACIONADAS

EXERCÍCIOS 4.1. Um objeto circular tem seu raio variando de maneira desconhecida, mas sabe-se que quando

seu raio é 6m, a taxa de variação deste é 4m/s. Determine a taxa de variação da área do objeto no instante em que seu raio é 6m.

4.2. Suponha agora que o objeto circular do exercício 1 é, na verdade, um equador de um objeto esférico. Determine a taxa de variação do volume do objeto e de sua área, quando o raio é 6m.

Dica. Você pode expressar o volume em termos do raio da esfera, ou então a partir da área

4.3. A área entre dois círculos concêntricos variáveis é constante igual a 9πm2. A taxa de variação da área do círculo maior é de 10πm2/s. Qual a taxa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área 16π?

4.4. A partícula A se move ao longo do semi-eixo positivo Ox e a partícula B move-se ao longo do gráfico da função f (x) = −

√ 3x, x ≤ 0. Num certo instante, a partícula A está no ponto

(5, 0) e afasta-se da origem com velocidade 3 unidades por segundo e a distância de B até a origem é 3 unidades, afastando-se da origem com velocidade 4 unidades por segundo. Qual a taxa de variação da distância entre A e B nesse instante?

4.5. Num certo instante t0, a altura de um triangulo cresce à razão 1cm/min e sua área aumenta à razão de 2cm2/min. No instante t0, sabendo que sua altura á 10cm e sua área é 100cm2, qual a taxa de variação em relação ao tempo da base do triângulo?

4.6. Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um cone com diâmetro da base igual a três vezes a altura. Quando a altura do monte é de 1.2m, a taxa de variação com que a areia é despejada é de 0, 081m3/min. Qual a taxa de variação da altura do monte neste instante?

4.7. Uma lâmpada está acesa no solo a 15m de um edifício. Um homem de 1.8m de altura anda a partir da luz em direcão ao edifício a 1.2m/s. Determine a velocidade com que o compri- mento de sua sombra sobre o edifício diminui quando ele esta a 12m do edifício e quando ele está a 9m do edifício.

MAT–2453 (2017) 5 de 10

4.8. Num motor à combustão, uma biela de 7cm tem uma de suas extremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3cm. Na outra extremidade da biela está um pistão que se move quando a manivela gira (vide 1). Sabendo que a manivela gira no sentido anti-horário a uma taxa constante de 200 rotacões por minuto, calcule a velocidade do pistão quando o ângulo de rotação do disco é π/3 (medido a partir da posição em que o pistão está mais afastado do disco).

θ(t) 3

7

x(t)

FIGURA 1. Pistão para a questão 8

4.9. Uma escada de bombeiro com 25m está encostada na parede de um prédio e sua base se afasta da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7m da parede e sua velocidade é de 2m/s. a. Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move nesse instante? b. Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de

variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7m da parede.

c. Calcule a taxa de variação do ângulo formado entre a parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7m da parede.

4.10. Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro “deitado” de diâmetro 2m e comprimento 3m. A figura 2 representa uma seçãoo transversal do tanque no instante t. O ângulo θ varia de zero (tanque vazio) a π (tanque cheio). No instante em que a altura h do líquido é de 0.5m, a vazão é de 0.9m3/min. Determine a taxa de variação do ângulo θ nesse instante. Determine também a taxa de variação da altura h do neste mesmo instante.

h(t)

θ(t)

FIGURA 2. Tanque para a questão 10

4.11. Num filtro com formato de cone, como na figura 3, um líquido escoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis. Num certo instante, a altura H do líquido depositado na parte inferior é 8cm, a altura h do líquido da parte superior é 10cm e h está diminuindo a uma taxa de variação instantânea de 2cm/min. Calcule a taxa de variacão de H em relação ao tempo nesse instante.

5. DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS

EXERCÍCIOS 5.1. Suponha que f seja uma função injetora, derivável, e que sua inversa, f−1, também seja

derivável. Mostre que

( f−1)′(x) = 1

f ′ (

f−1(x) ) .

MAT–2453 (2017) 6 de 10

h

H

30cm

30cm

r

R

10cm

10cm

FIGURA 3. Filtro para a questão 11

5.2. Calcule a derivada das seguintes funções: a. f (x) = arctan(x); b. f (x) = arcsin(x); c. f (x) = arccos(x).

5.3. Derive: a. f (x) = cos

( arctan(x)

) ; b. f (x) = tan(3x)arctan(3x) ; c. f (x) =

√ 1− x2 arcsin(x).

6. MISCELÂNEA DE TESTES

EXERCÍCIOS 6.1. Considere a afirmação “Sejam f , g funções tais que limx→+∞ f (x) = +∞ e g é limitada.

Então limx→+∞ f (x)g(x) = +∞.”.

É correto dizer que

a. tal afirmação é verdadeira; b. tal afirmação é verdadeira se supomos que limx→+∞ g(x) 6= 0; c. tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum r > 0 tal que |g(x)| > r para

todo x ∈ R; d. tal afirmação é verdadeira supondo que exista algum r > 0 tal que g(x) > r para todo

x ∈ R; e. tal afirmação é falsa para toda g limitada.

6.2. Seja f uma função real tal que | f (x)| ≤ | sin(x)| para todo x ∈ R. Então a. f pode ser descontínua em x = 0; b. f é contínua em x = 0, mas pode não ser derivável em x = 0; c. f é derivável em x = 0 e f ′(0) = 0; d. f é derivável em x = 0 e f ′(0) = 1; e. f é derivável em x = 0 mas podemos apenas afirmar que −1 ≤ f ′(0) ≤ 1.

6.3. Qual das equações abaixo é a da reta tangente ao gráfico de f (x) = cos(x) − tan(x) em x = 0?

a. y=1;

b. y=1+x;

c. y=1-x;

d. y=1+2x;

e. y=1-2x.

6.4. Seja f : RR a função dada por

f (x) =

{ x 2 , se x ∈ Q, x 3 , se x ∈ R \Q

Sendo D o conjunto descontinuidades de f então D é

a. ∅; b. Q; c. R \Q; d. R \ {0}; e. R.

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6.5. Dizemos que duas funções reais f e g são equivalentes se lim x→∞

f (x) g(x)

= 1. Indicamos isso

escrevendo f ∼ g. Qual das afirmações abaixo NÃO é consequência de f ∼ g? a. sin( f ) ∼ sin(g); b. f 2 ∼ g2; c.

√ f ∼ √g; d. f + g ∼ 2g; e. g ∼ f .

6.6. Seja ABC um trângulo tal que AB = 1, AC = x, BC = y e BÂC = 120o. Quanto vale lim x→∞

x− y?

a. 0; b. não existe; c. −1 2

; d. −∞; e. 1 2

.

6.7. Seja f : R R a função dada por f (x) = {

x sin ( 1

x

) , se x 6= 0

0, se x = 0. Para quantos valores de x

o gráfico de f tem reta tangente horizontal?

a. Nenhum; b. 1; c. 2; d. 3; e. Infintos.

6.8. (P1-2016) Seja f uma função derivável definida em um intervalo aberto centrado em x = 0 e dada implicitamente pela equação

y3 + xy2 + y = 2 sin(x) + 2.

O valor de f ′(0) é

a. 1 4

; b. 1 2

; c. −3 4

; d. −14 13

; e. 6 13

.

6.9. (P1-2016) Para que a função

f (x) =

{ |x2+2x−3|

x−1 , se x < 1; x + k, se x ≥ 1.

seja contínua em R o valor da constante k deve ser:

a. −7; b. 1; c. 3; d. −1; e. −5.

6.10. (P1-2016) Dentre todas as retas tangentes ao gráfico de f (x) = x2 + 1 x− 1 , a única que passa

pelo ponto (1, 0) é

a. x = 1 + 4y; b. x = 1− y; c. x = 1 + 2y; d. x = 1 + 3y; e. x = 1 + 5y.

6.11. (P1-2016) Um ponto desloca-se sobre o gráfico da curva y = 1x . No instante em que ele se encontra no ponto (2, 12 ), a taxa de variação de sua abscissa é 10m/s. A taxa de variação da distância do ponto até a origem neste mesmo instante é

a. −1 4

; b. 40 √

2 17

; c. 75

2 √

17 ; d. − 75

2 √

17 ; e. −40

√ 2 17

.

6.12. (P1-2016) Considere as seguintes afirmações: I. Se g é limitada e lim

x→+∞ f (x) = +∞ então lim

x→+∞ |g(x) f (x)| = +∞.

II. Se f : RR é um função tal que | f (x)− f (y)| ≤ |x− y|2 então f é derivável. III. Se g : RR é descontínua em x0 e limitada então f (x) = xg(x) sin(x) é derivável em

x0 = 0. São corretas

a. nenhuma das afirmações; b. todas as afirmações; c. somente as afirmações (I) e (II); d. somente as afirmações (I) e (III); e. somente as afirmações (II) e (III).

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6.13. (P1-2016) Os limites lim x→0

cos(3x)− 1 x2

e lim x→0+

sin √

x x √

x− x a. valem − 92 e +∞, respectivamente; b. valem − 92 e −∞, respectivamente; c. valem 92 e +∞, respectivamente; d. valem 92 e −∞, respectivamente; e. não existem.

6.14. (P1-2016) Considere a função f (x) =

 x3 sin( 1|x| )

|x| , se x 6= 0

0, se x = 0. Em x0 = 0 pode-se afirmar

que f é

a. descontínua; b. derivável e f ′(0) = 1; c. contínua mas não derivável; d. derivável e f ′(0) = 0; e. derivável e f ′(0) = −1.

6.15. (Exame de Transferência - Fuvest - 2016) Seja f : R R tal que f (1) = −1, f (2) = 2 e existe k ∈ R de modo que para todos a > 0 e b > −a temos

f (a + b)− f (a) = kb a2 + ab

.

Então f ′(3) é igual a:

a. 1 6

; b. 1 3

; c. 1 2

; d. 2 3

; e. 5 6

.

6.16. (Exame de Transferência - Fuvest - 2014) Sejam f , g : RR tais que: (i) f é contínua em x = 0 e

(ii) g é descontínua em x = 0. Pode-se concluir corretamente que é descontínua em x = 0 a função:

a. f + g; b. f g; c. f ◦ g; d. g ◦ f ; e. |g|.

6.17. (Exame de Transferência - Fuvest - 2013) Considere todas as retas que são simultaneamente tangentes às parábolas y = x2 + 1 e y = −x2− 1. Então o produto dos coeficientes angulares dessas retas é:

a. −1 4

; b. −1; c. −9 4

; d. −4; e. −25 4

.

6.18. (Exame de Transferência - Fuvest - 2012) Sejam f , g : RR cujos gráficos são

1 3 5

5

4

1

2 54

3

4

5

7

Sejam p, q : RR dadas, respectivamente, por p(x) = f (g(x)) e q(x) = f (x)g(x). Qual o valor de p′(1) + q′(0)?

a. −11; b. −6; c. −1; d. 4; e. 11. MAT–2453 (2017) 9 de 10

6.19. (Exame de Transferência - Fuvest - 2016) Sejam f , g : RR cujos gráficos são

5

1

2 3

3 3

5

2

1 2

Então pode-se dizer que f ◦ g a. não é derivável somente em x = 1; b. não é derivável somente em x = 2; c. não é derivável somente em x = 1 e x = 2; d. é derivável em todos os pontos e ( f ◦ g)′(1) = 2; e. é derivável em todos os pontos e ( f ◦ g)′(1) = 4;

RESPOSTAS

1. 1. a. − 34 ; b. 1 5 ; c.

1 6 ; d. 0; e.

1 3 ;

f.

2; g. 20301 ; h. 2; i. 1 2 ; j.

1 6 ;

k.−1; l.−1; m. 13 ; n.−∞; o. 0; p. @; q. @; r. 0; s. −∞; t. ∞; u. 0; v. 13 ; w. 1; x. −∞; y. −∞; z. 3; α. 32

√ 2; β . 3; γ. 0;

δ. − 4√7 2 ; e.

1 2 ; ζ. @; η. −∞.

1. 3. c = −1 e L = 52 . 1. 4. a. 2; b. 0; c. +∞. 1. 5. a. Falsa; b. Verdadeira; c. Falsa. 1. 8. 0. 1. 9. 0 e 0.

1. 10. 1. 1. 11. (4, 0). 2. 1. a. − cos(2); b. 1. 2. 2. a. R; b. R \ {3}; c. R; d. •.•^. 2. 3. a. Falsa; b. Falsa. 3. 2. Contínuas em x0: todas;

Deriváveis em x0: c. d.. 3. 4. 6 sec2 9. 3. 8. 2

√ a f ′(a).

3. 11. a. Todos; b. todos, exceto x0 = 0. 3. 12. Sim, h′(0) = 0.

3. 22. (−1,−13) : y = 16x + 3; (0, 7) : y = 16x + 7; (1, 19) : y = 16x + 3.

3. 25. f (−1) = 2 e r : y− 2 = − 27 (x + 1). 4. 1. 48πm2/s. 4. 2. A′(t0) = 192πm2/s e

V ′(t0) = 576πm3/s. 4. 3. 54 m/s. 4. 4. 8314 . 4. 5. −1.6cm/min. 4. 6. 140π m/min. 4. 7. 3.6m/s e 0.9m/s. 4. 8. −9600π

√ 3

13 . 4. 9. a. 712 ; b.

527 24 ; c.

1 12 .

4. 10. 0.2rad/min; √

3 10 m/min.

4. 11. 50121 cm/min. Testes: 6. 1. d.; 6. 2. b.; 6. 3. c.; 6. 4. d.;

6. 5. a.; 6. 6. c.; 6. 7. e.; 6. 8. a.; 6. 9. e.; 6. 10. c.; 6. 11. c.; 6. 12. e.; 6. 13. b.; 6. 14. d.; 6. 15. d.; 6. 16. a.; 6. 17. b.; 6. 18. b.; 6. 19. e.;

MAT–2453 (2017) 10 de 10

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