292455559 - Calculo - I-Em - PDF - Geraldo - Avila, Notas de estudo de Matemática Computacional
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José Geraldo de Sousa Junior João Batista de Sousa

Reitor Vice-Reitor

Fundação Universidade de Brasília

Lúcia Helena Cavasin Zabotto Pulino

Angélica Madeira Deborah Silva Santos Denise Imbroisi José Carlos Córdova Coutinho Lúcia Helena Cavasin Zabotto Pulino - Pres. Roberto Armando Ramos de Aguiar Sely Maria de Souza Costa

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Capa Supervisão gráfica

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília

Patrão, Mauro.

P314 Cálculo 1 : derivada e integral em uma variável / Mauro Patrão. – Brasília : Editora Universidade de Brasília, 2011.

319 p. ; 23 cm. (Série Ensino de Graduação)

ISBN 978-85-230-1285- 4

1. Sequências. 2. Derivada. 3. Gráficos. 4. Otimização. 5. Integral. 6. Velocidade. 7. Aceleração. 8. Sistema massa-mola-amortecimento. 9. Sistema pistão-virabrequim.10. Sistema balístico. 11. Pêndulo sem atrito. I. Título.

CDU 517

SUMÁRIO

Sumário 5

0 Prefácio 7

1 Preliminares 11 1.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Limite 31 2.1 Aproximação da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Limite de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Limite de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 Continuidade de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7 Continuidade de funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.8 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3 Derivada 101 3.1 Reta tangente e velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2 Função derivada e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.3 Derivada da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.4 Derivada de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.5 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.6 Derivada de funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5

6 Sumário

4 Gráficos 157 4.1 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.2 Crescimento e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.3 Assíntotas horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.4 Método de esboço de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5 Integral 213 5.1 Área líquida e variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.2 Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.3 Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.4 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 5.5 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.6 Frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 5.7 Volumes, comprimentos e áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5.8 Pêndulo sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

6 Gabaritos de Fixação 283

A Apêndices 291 A.1 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 A.2 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 A.3 Limite e monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 A.4 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 A.5 Propriedades da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 A.6 Método da exaustão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Referências Bibliográficas 313

Índice Remissivo 315

B Sobre o autor 319

6 Sumário

4 Gráficos 157 4.1 Otimização . . 157 4.2 Crescimento e con avidade . . 172 4.3 Assíntotas horizontais e verticais . . 183 4.4 Método e esboço de gráficos . . 198

Exercícios . . 208

5 Integral 213 5.1 Área líquida e variação . . 213 5.2 Teor ma Fundamental . . 222 5.3 Substituição . . 233 5.4 Substituição trigonométrica . . 240 5.5 Integração p r partes . . 245 5.6 Frações parci is . . 250 5.7 Volumes, comprimentos e ár as . . 261 5.8 Pêndulo sem atrito . . 273

Exercícios . . 278

6 Gabaritos de Fixação 283

A pêndices 291 A.1 Prog essõe g ométricas . . 291 A.2 Binômio de N wton . . 293 A.3 Limite e monotonicidade . . 295 A.4 Derivada e funções compostas . . 298 A.5 Prop iedades da área . . 299 A.6 Método a exaustão . . 304

Exercícios . . 311

Referências Bibliográficas 313

Índice R missivo 315

B Sobre o autor 319

C A

P Í

T U

L O

0 PREFÁCIO

Esse livro de Cálculo foi concebido com a intenção de se desenvolver livros de Matemática apoiados em dois eixos que o autor considera estratégicos.

Um deles é a adequação desses materiais à realidade educacional brasi- leira, uma vez que grande parte das opções disponíveis atualmente foi conce- bida para lidar com a realidade educacional de países muito diversos do Brasil. Nesse sentido, esse livro se preocupa em estabelecer uma conexão próxima entre o Cálculo e alguns exemplos paradigmáticos da Mecânica, en- sinados nos cursos de Física do ensino médio brasileiro. A partir do exemplo básico do lançamento vertical de um objeto na Lua, onde inexiste o atrito com a atmosfera, apresentamos o conceito cinemático de velocidade e seu corre- lato matemático, a derivada da função quadrática. Posteriormente, trazemos esse mesmo experimento para a Terra, onde introduzimos os efeitos da re- sistência do ar, o que nos permite motivar o estudo da derivada da função exponencial. Por sua vez, o problema da descrição do movimento de uma massa presa a uma mola motiva o estudo das derivadas das funções trigo- nométricas. Esses exemplos paradigmáticos, presentes na origem mesma da formulação do Cálculo, acompanham cada novo tópico que vai sendo intro- duzido e desenvolvido ao longo do texto. Isso fornece a possibilidade dos lei- tores experimentarem algumas das mesmas intuições vividas pelos primeiros formuladores do Cálculo.

7

8 Capítulo 0. Prefácio

Aliás, esse é o segundodos eixos considerado estruturantes: oferecer abor- dagens múltiplas de um mesmo tópico, ora geométricas, ora algébricas, ora dinâmicas. Isso dá oportunidade ao estudante de se apoiar, em alguns mo- mentos, nas intuições em que ele se sente mais confortável, mas também o ajuda a explorar suas habilidades ainda pouco desenvolvidas. A abordagem dinâmica está presente na definição do conceito de limite, feito através de sequências e cujo emprego já se fazia presente no método grego da obten- ção de áreas por exaustão, como também no estudo da cinemática realizado pela mecânica moderna. Por sua vez, a abordagem algébrica é empregada na famosa fórmula do binômio de Newton, que é utilizada na definição da fun- ção exponencial. Já a abordagem geométrica aparece logo na definição dos números e das funções reais, bem como na definição da medida de ângulo através de áreas e dos conceitos de derivada e de integral.

ESTRUTURA DO LIVRO

O conteúdo do livro é dividido em cinco capítulos e complementado por apêndices. No final de cada capítulo, existe uma lista de exercícios dividida entre exercícios de demonstração, destinados a exercitar a capacidade dedu- tiva dos estudantes, e exercícios de aplicação, destinados a apresentar mais exemplos significativos da teoria desenvolvida no capítulo. No final da maio- ria das seções, existe uma lista de exercícios de fixação, cujo gabarito se en- contra no Capítulo 6.

No Capítulo 1, apresentamos as preliminares indispensáveis a qualquer livro de Cálculo. Os números reais e suas operações, bem como a funções reais e suas inversas, são apresentados de um ponto de vista geométrico que enfatiza a importância do plano Cartesiano nas principais definições da ma- temáticamoderna.

No Capítulo 2, introduzimos o conceito de limite de funções através do conceito de limite de sequências. Essa abordagem é a mais adequada aos modernos métodos numéricos de aproximações sucessivas, implementados atualmente em qualquer calculadora ou computador. Além disso, essa abor- dagem de limite ajuda a explorar as intuições dinâmicas por trás do conceito de limite, já presentes nos gregos desde os tempos de Zeno. Também permite oferecer d