Algebra delle Matrici - Volume 1 IME ITA, Notas de estudo de Matemática Computacional
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ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 2- ALGEBRA DELLE MATRICI Cisi propone di definire le 4 operazioni razionali e le loro proprietã formali quando al posto del numero si considera una matrice. Il lettore potrebbe essere indotto ad un facile parallelismo fra V'algebra degli scalari e Valgebra matriciale. Analogie ce ne sono, ma biso- gna fare molta attenzione poiché certe proprietã, valide nell'algebra degli scalari, non valgono nell'algebra matriciale e viceversa. L'algebra degli scalari deve servire solo come traccia. 2.1.- Matrici nulla, diagonale e unitã a) Matrice nulla. Una matrice, i cui elementi sono tutti nulli, dicesi nulla. Esempi: 000 oo 9=|0 00 ó=|0 0 += [288] 000 o ordini nn mn mn m>n mA 22. Cosatpossibilediresu |b) A+B” E o) AT+BT 123 031 = 31 Date le matrici: A = 31),B=]204|],Cc=| 4 412 4-52 s21 35/31 23. Trovare una matrice Ftaleche: A+B— F= 6. 28 24. 25. 26. 27. 28. 29. ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO Verificare la validità della proprietã distributiva: A +(B+CO)=(A+B)+C. Verificare che A+(B— C)=(A+B)—C. Verificare che (A+ B+C)' =A!+B'+C!. Verificareche (A+B—-C)/ =AT+B'— C! Dire di che tipo ê la matrice: (A — AY) + (B — B") dalla semplice osservazione del- Vespressione data. Verificare le conclusioni risolvendo Vesercizio numericamente. Ricordando che A + A” ê simmetrica e A — A” é emisimmetrica, dimostrare che ogni matrice quadrata À si puô scrivere come somma di una matrice simmetrica e di una emisimmetrica. Quali sono queste due matrici? Si consideri a tale scopo la matrice: 2 14 A=I2 —43 1 1:52 Soluzioni degli esercizi proposti 17. 19. 20. nu. 13-20 00 1 13-21 A+B= 2 141l+[12-10l=]54 01 25-11 00 24 Boss 13-20 00 01 13-21 A-B=)42 11]-|i2-10l=[30 21 25-11 00 24 25 -3 -3 fia [13-20 EE A=— =. pm matas p 214 Qi 2a 14 2 0 10 152 1=] 32.5 1-0 20) Lirsimc1| 345 A 2 10)'B o 2['24+*B>-3)o 01 01 1 0 4 1-3 14.52 o 10 T>am= 32 5h jo 20). 24" -3B'=2) 5 4 Io 1 ol= 01 1 0 4 28 4 0 30 2 5 al a 64 10) Jo 6 0] 6 —2 10 -4.2 2 0-3 6 -4 5 —8 02 2 3 012 -3 2 10 29 2. 23. 24. 25. 30 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO a) Essendo A diordini 3,4 e A” diordini 4,3, A + A” nonha senso. b) Essendo A diordini 3,4 e B” diordini 4,3, A + B” nonhasenso. c) A! + B', invece, ê eseguibile (cfr. es. 4) perché A” e B” hanno gli stessi ordini. X 0 3 Sia F=)y »y no a si ha allora: 1 54 x X 3 A+B-F= 35|-|n xy p= 9 —-33 nao a l>m0 0 5—% 4—» 000 =14-y 3-» 5S-»|=[0 0 0 9-n -3-n 3-2 000 1-n=0 > m=1; 5-02=0 — w=5 ;4-0=0 — m=4 4-1=0 — pn=4; 3-»n=0 + p=3 ;5-p=0 — p=5 9-n=0 — n=9;-3-2=0 — n=-3;3-n=0 — n=3 Dal risultato di questo esercizio si puô trarre la seguente conclusione: dallugua- glianza A+B-F=b si ha, come nelPalgebra dei polinomi, che: A+B=F+0 — A+B=F A+(B+O=(A+B)+C. Infatti: 123 031 -2531 a+B+o=|2 31l+|l2zo4l+|] 4 4 al= 452 521 3 31 1 3 -202 -125 =|2 31]l+|] 64 6|=| 877 452 852 20 4 2213 031 -2 -31 (A+B+C=|)2 31 204|l+| 4 4 2|]= 452 521 331 154 -2 531 -1255 =h4 35l+) 4 42]=| 877 9 —=3.2 3 31 2 0 4 A+(B-C)=(A+B)-C. Infatti: 123 031 = 31 A+B-O=[|2 31 204|-|4 4 2])= 452 521 3314 26. 2”. 29. ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 123 2 60 3 83 =j2 31 -2 4 2|)=hjo -1.3 452 2-10 6 -6 2 Í. 23 031 = -3:1 (A+B)-C=|)2 31 204||-| 4 4 2|]= 452 S525 331 1::5,:4 =2 =3. 1 3 83 =|4 3-5) — 4 42l=h0 —13 9 -33 3 31 6 -62 -125 -1 8 12 A+B+C=| 8 7 7|(cres.24); (A+LB+C'=|] 27 0 12 0 57 4 12 4 025 -243 at+B4+C=|23 cs|+]302 -3 4 3|= 3:10: 2 141 12: 1+0-2 2+2+4 4+5+3 -1 8 12 =12+3-3 3+0+4 -5S+2+3| = 27 0 3S+IFI LATAS 2 2+1+1 57 4 3 83 30 6 A+B-C= -1 3 | (ctres.25); (A+B-Cl=|8 —1 —6 6 -6 2 % a 2 12 4 025 -243 a'+B'-cl=h23 -sl+|30 2]-|-3 4 3|= 312 141 121 1+0+2 2+2-4 44+5-3 3 0 6 =|2+3+3 3+0-4 -s+2-3)= -1 —6 3+1-1 1+4-2 2+1-1 332 La matrice (A — A”) + (B — B") é emisimmetrica. Infatti (A — A”) e (B — B') sono emisimmetriche perché ambedue differenza tra una matrice e la sua trasposta. 0 1-5 E=(A-A)+(B-Bj)=|-1 0 8 5 -8"0 Essendo: (A+AD+(A-A)=2A — A= 4 +A5+ A -A5 Quindi A ê esprimibile, sempre, come somma di una matrice simmetrica A +A5 e dj una matrice emisimmetrica (A — AM. Infatti sia: 31 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO Dei posa A=|2 43 > AT=)1 41 TodI 2 4 03% h apo ds 202.1 afé 35 qA+rad=5]]2 4 3)+]1 4 1l=7]3 —8 4 1 CI 417312 5 44 1 fp? 14 22 10-13 qA-A5=5 2-4 3)-|1 4 1=5] 102 dr, lê gb 3 -3 2 0 2 14 32.8 10-13 sicché: |2 —4 3)=]3 =8 4]+5] 1/02 1:52 Ss 44 -3 2 0 Le matrici al secondo membro sono quelle cercate. 2.7.- Moltiplicazione tra matrici La moltiplicazione tra matrici puô sembrare, a prima vista, molto complicata. In realtà questa operazione, una volta apprese le modalità per la sua effettuazione, tenendo sempre presenti le condizioni che la permettono, non presenta particolari difficoltã. Si voglia eseguire il prodotto scalare tra due veitori bidimensionali di date compo- nenti x=[2,3] y=[4,1] Per definizione [cfr. 1.2, d), 4] il prodotto scalare tra due vettori é dato da: xy=24+31=11 (somma dei prodotti delle componenti omonime). Quindi, se i vettori fossero a n componenti, x=[m,%2,%3,000%m]) € y=[i,)2,)350:, an] illoro prodotto scalare sarebbe: Fig. 2.71 xy = 001 + 202 + es + + xa = pray 2.7.1] Ma si ê detto che un vettore, di date componenti, si puô rappresentare con una ma- tricé riga oppure con una matrice colonna. Bene, conveniamo allora di associare: » » ad x lamatriceriga X= ||x1 x xn|l e ad y la matrice colonna Y = Bo Affinché il prodotto tra le due matrici dia lo stesso risultato [2.7.1], per moltiplica- zione tra le due matrici, riga per colonna, si deve intendere la matrice: 32 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO » P=xvr=|m a e l=Ian+ + tamnll= Dor mo A Mm cioê una matrice il cui unico elemento é dato dalla somma dei prodotti degli elementi della riga per i corrispondenti elementi della colonna. Esempio: 30. Nel caso dell'esempio precedente: X= ||2 3, Y= | a | si ha: P=Xy=||2:4+3-1|=]8+3]| =] 11] 3 31. Per vettori tridimensionali: X=||-1 0 3Il, Y=| 1] siha: á 2 P=xXy=I||-1:3+0:1+3-2]=||-3+6]| = 3] OSsERVAZIONE. Perché si ê definita la moltiplicazione proprio in questo modo, cioê riga per colonna? Non si poteva moltiplicare riga per riga o colonna per riga o colonna per colonna? Si sarebbe potuto fare. Ma avere definito "operazione in tale modo há lo scopo ben preciso di far valere per la moltiplicazione tra matrici il maggior numero di proprietã valide per la moltiplicazione tra scalari. Per cui, riepilogando, quando si deve moltiplicare: una matrice riga di ordini 1,n: x=[m x xl] x per una matrice colonna di ordini n, 1: Y= Ja Yn si deve moltiplicare il primo, secondo, ..., ennesimo elemento della matrice riga, rispettiva- mente, per il primo, secondo, ..., ennesimo elemento della matrice colonna e sommare i prodotti ottenuti: x yr 2 P=Xy=Im x. ll = Ir + + + xpall= Dx 4 Ya Si ottiene cosi una matrice di ordini 1,1. Estendiamo Voperazione a matrici di ordini superiori. Si voglia moltiplicare il vettore riga x = [x1, x2] per i vettori colonna della matrice na ca a=[2] o a=[i]. » a » 2 É come dire che si cercano i prodotti scalari x*y e x: z. Considerando le matrici associate si ha: B= XY =x xl ci) | = bn + xa ll e XZ= Im =] A | = Ix2 +02] x» m 33 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO Allora: XB=Im xt) j 2 = ont a az mz 1 mo ordini: 1,2 2,2 1,2 Si noti che ogni elemento della matrice ottenuta é il risultato di un prodotto scalare. -13 32. 1 21º E ij-men+2: 1:3+24]= 3 UI Per vettori di dimensioni superiori si ha, ad esempio: E 33. 123 1 : i o —2 =H-D+2:2+43:3+(-1):0 1:2+2:1+3:0+(-DE-DI = =I12 6 =6]2 1] Si osservi che uno dei presupposti fondamentali per eseguire la moltiplicazione é che i vettori che entrano in gioco debbono avere lo stesso numero di componenti. Cid é equiva- lente a dire che: il numero di colonne della prima matrice deve uguagliare il numero di ri- ghe della seconda matrice. Quanto detto si puô verificare da tutti gli esempi fatti finora. Continuiamo ad estendere Poperazionc. Siano ad csempio: vo We |: al DB: ty3 Calcolare il prodotto AB significa trovare una matrice i cui elementi rappresentano i prodotti scalari di ciascun vettore riga associato ad A per ciascun vettore colonna as- sociato a B. Si noti anche qui Puguaglianza tra il numero di colonne della matrice A ed il numero di righe della matrice B. Y mM. A= e B= [dr 34 wa wn=11+22=5 vew=(D+2:3 vw=31+4:2=11 vrw=3(-1)+43=9 La matrice associata é | T 9 quindi: r=ae=); Jo sl=[5niãa scorea)=n 5] 34 23 3:1+4:2 3(D)+4:3 mM 9 Se aumentiamo le componenti dei vettori (significa aumentare in A le colonne ed in B le righe), "operazione si estende facilmente: 1a u2-a 2 3h [4 6]. as: aB=[ 4 | 01 =| ól-r -12 ordini: 2,4 42 22 34 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO In definitiva: 1º L'operazione moltiplicazione tra matrici si puô sempre fare sc il numero di colonne della prima matrice ê uguale al numero di righe della seconda matrice. Siha: Amn Bnp = Pmp (i due indici di centro devono essere uguali e la matrice P ha ordini uguali agli indici estremi). Quando le matrici A e B soddisfano questa condi- zione, si dicono compatibili per la moltiplicazione. 2º V'elemento pa della matrice prodotto ê dato dalla somma dei prodotti degli elementi della riga i della matrice A per gli elementi della colonna k della matrice B. Cioê sia: Pn Pr ps P=AB=|pa p»psl| siha,ad esempio, che: pa pr ps Velemento pis ê la somma dei prodotti degli elementi della prima riga di A per quelli della terza colonna di B; Velemento pa é la somma dei prodotti degli elementi della seconda riga di A per quelli della seconda colonna di B; Yelemento p3: ê la somma dei prodotti degli elementi della terza riga di A per quelli della seconda colonna di B. 2.8.- Esercizi proposti Eseguire la moltiplicazione tra le matrici: 4 3% & . A=I1 —4 5, B= 2 4 37. A=I1 —4 sil, B=])1 o 1002 38. A=I|3 2 1],B=]0 012 0120 0 —1 —2 »afi2opa-[275 1 1 1 100 123 40. a=|0 2 0),B=|]45 6 003 T5:8c9 41. Stabilire gli ordini delle matrici ottenute dai prodotti: a) Ars" Bos e) Ass Bos e) Amn' Bam b) Ars: Bos d) Ain: Brs £) Amn'Brp 35 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 42. Quali delle seguenti copie di matrici sono compatibili per la moltiplicazione e quali no? Per le coppie compatibili scrivere gli ordini delle matrici ottenute per moltiplica- zione. a) Ars, Bar co) Asi, Bis e) Ai, Bsro 8) Amn » Bmn b) Ars, Bos d) Asi, Bis 1) As, Br h) Amn » Brp 43. Di che ordine é il prodotto tra: A = eB=||S 6 7]? Eseguire la moltipli- cazione. 1 2 3 4 Soluzioni degli esercizi proposti 4 36. Il —4 5|-|3)=|1:4+(-9:33+5:2]=||4— 12+10]=]2] 2 4 37. Il —4 5I-Jif=|1:4+(-9:1+5:0]=||4-4+0]|=]0] 0 Se si interpretano le due matrici come vettori, il loro prodotto nullo indica che i due vettori sono perpendicolari. 1002 3. 13 21]:0 01 2)= 0120 =[13:-1+2-0+1:0 3:0+20+1-1 3:0+2:1+1:2 3:2+2:2+1-0] = =3 14 10] Qa=1—2 o Di alls 2 3|= raia =| 1:0+2:4+3:1 M-D+2:2+34 1(-9)+2:33+3:1 |- “|3:0+24+CEDI HDA22+HCDA H-D+HZI3+HEDA [5 5] “70 100 [2.3 o. Jo 2 0||4 5 6]= 003 7189 1:1+0:4+0:7 1:2+0:5+0-8 1:3+0-6+0-9 pipes) =||0:1+2:4+0:7 0:2+2:5+0:8 0:3+2:6+0:9 | =| 8 10 12 0:1+0-4+3:7 0:2+0:5+3:8 0:3+0:6+3-9 | nun 36 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 41. a) Lamatrice P=A;Bs,s haordini 2,5 b) Lamatrice P= AB; haordini 1,3 c) Lamatrice P=AsBss haordini 4,4 d) Lamatrice P= AB: haordini 1,3 e) Lamatrice P= Amn'Bam haordini mm f) Lamatrice P=Ann'Brp haordini m,p 42. a) Lematrici Az, B;,1 sono compatibili per la moltiplicazione ed & Po = Azsº Ban. b) Lematrici Az3, B;3 non sono compatibili per la moltiplicazione. c) Lematrici Asi, BL sono compatibili per la moltiplicazione ed à Pss = Asi Bs. d) Lematrici As: , Bis sono compatibili per la moltiplicazione ed & Pss=Asiº Bis. e) Lematrici Ai, , B;10 non sono compatibili per la moltiplicazione. f) Lematrici As, Bs, sono compatibili per la moltiplicazione ed ê Pr = Ass' Br 8) Lematrici Amn , Bmn non sono compatibili per la moltiplicazione. h) Lematrici Amn » Brp sono compatibili per la moltiplicazione ed é Pmp = Amn' Bnp. 43. La matrice prodotto ê di ordini 4, 3: 1 15 1:6 1:7 ã 6,1 2 =|2º5 2:6 2:7 10 12 14 AB=)3 [15 6 7=03.5 3.6 3:7 15 18 21 4 4:5 4:6 4:7 20 24 28 2.9.- Potenza di una matrice quadrata. Idempotenza e nilpotenza Come nell'algebra degli scalari si parla di potenza di un numero, anche nelPalgebra matriciale si definisce la potenza di una matrice, tenendo presente che si puô parlare di po- tenza solo per matrici quadrate. Infatti la potenza ad esponente intero positivo puô essere assimilata ad un prodotto, cioê: A=AA, AÍ=AAMA ... Affinché questi prodotti siano effettuabili la matrice A deve essere compatibile (per moltiplicazione) con se stessa. Ciô avviene solo se essa é quadrata. Esempio: 1 2 44. Si calcoli il quadrato ed il cubo della matriceA = |2 1 1 Ju Ce =2 37 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 1-2 À Rad SpsiZi3, A = As || ta Dis de lg 3 302'= 3 2-2 1-5 12 . s::2:—3 1-2 0-9 18 A'=AAA=AbA=|]7 1/3 2 1 1)=|is 0 9 1-—s 12 3 2-2 7 18 —7 Si puô, inoltre, facilmente provare che A? = AA = A-A?. Esistono, perô, delle matrici quadrate particolari per le quali avviene ciô che non puô avvenire con gli scalari, cioê esistono matrici A tali che: a) A?=A. Queste sono dette matrici idempotenti. Per queste matrici é A” = A per qua- lunque n > 0 intero. b) A?=0 conn > 0intero. Queste matrici sono dette nilpotenti di ordine n. êidempotente. Infatti: 45. Lamatrico A= | E q e À Ri A = =1 [a ra 46. La matrice a=| a ad | & nilpotente di ordine 2 essendo A? = O. Infatti: a-[S ss =| 36 — 36 = | “I-o el l-o -e ll | -s4+54 —36+36 0 La matrice unitã di qualsiasi ordine é idempotente, cioê: P=I quindi =] per qualungue n > O intero Le matrici del tipo: » U= 01 vo iu=[5oi 000 soco oco soro oroco sono nilpotenti, rispettivamente: U; di ordine 2 U; di ordine 3 U, di ordine 4 (cfr. esempio 47) oococo onoo | oco ooro oocoo oooco 38 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO oo10||0100 0001 seypy=[9001 0010] [0000 V=U-U=looool|looo1| [0000 o 000 Iooo(õbo 0000 0001 0100 0000 a-my-|900 0] [0010] ]|0 000 Dm MeU 0000 0001 0000 o 00 0l Ioo000 0000 Anche le matrici del tipo kU, sono nilpotenti. Esempio: 030 010 48. A=|]003]=3/0 0 1|=3U 000 000 o 30] |030 009 a=lo 0 3|-[003)=]|000 oo ol llocoo 000 009 030 000 Aº=lo o o0|-|003|=|000 000 000 000 2.10. Proprietã commutativa. Prodotti a destra e a sinistra. Commutatore In general la moltiplicazione tra matrici non gode della proprietã commutativa, cioê é AB * BA ove À e B sono matrici compatibili per la moltiplicazione (il numero di colon- ne della prima uguaglia il numero di righe della seconda). Ad esempio: 4. aB=| 3 SJ. : Ê sas Rita] . s 4 6 ls 16+4+30 16+4+6 50 26 44 Ss id 20 +16 12+16 24+24 BA=)1 1 ED 4 “|- 5+4 3+4 6+6 |= sa 25+4 15+4 30+6 36 28 48 =|9 712 29 19 36 Confrontando le matrici AB e BA si vede che sono diverse, cosa di cui ci si poteva ren- dere conto subito calcolando gli ordini delle due matrici prodotto P= AB e P'=BA, infatti: A23'B32 dã P2 ilprodotto AB ê quindi una matrice quadrata di ordine 2; Bs2'A23 dã Ps: ilprodotto BA é quindi una matrice quadrata di ordine 3. Di conseguenza é certamente AB £ BA. 39 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO In generale, allora, nella moltiplicazione tra matrici: a) Essendo Am, € Bam (con m * n) due matrici compatibili per 'operazione prodotto di A per B (cioê ê calcolabile AB) e di B per A (cioê é calcolabile BA),ê AB * BA. Infatti: Amnº Bam = Pmm cioê AB ê quadrata di ordine m; Brm' Amn = Prn cioê BA ê quadrata di ordine n. Ed essendo m * n, sicuramente é Pmm * Pnn. b) Se poi le matrici sono del tipo Am,» € Br,p, é sicuramente AB * BA dal momento che é calcolabile il prodotto Am,n* Brp = Pm,p, Ma non si puô effettuare il prodotto BA poiché il numero di colonne di B (p) é diverso dal numero di righe di A (m). Esempio: E, so. as=i a domo 211 024 ; 112 Ps = AB= | d2aal= 211 ho 24 1+0+0 1+0+6 21048]. 159 4 =los2+to 24142 4+1+4 45 Non si puô invece calcolare BA perché il numero di colonne di B supera di uno il nu- mero di righe di A. Ecco perché nellalgebra delle matrici ê necessario distinguere il prodotto a destra dal prodotto a sinistra. Come si ê visto, infatti, in generale si hanno due risultati diversi. Piú precisamente: AB indica che A ê moltiplicata a destra per B (oppure B ê moltiplicata a sinistra per A). BA indica che A ê moltiplicata a sinistra per B (oppure B é moltiplicata a destra per A). Le matrici quadrate A e B, perlequaliê AB BA sidicono non commutabili. Le matrici quadrate A e B, perlequaliê AB=BA sidicono commutabili. Per le matrici non commutabili si ha: AB — BA £Q Per le matrici commutabili si ha: AB-— BA =. Dicesi commutatore di A e Besiindicacon [A,B] ladifferenza AB — BA. É chiaro al- lora che: se [A,BJ=AB-BA=0 — AB=BA, lematrici A e Bcommutano; se [A,BJ=AB-BA*£O — ABBA, lematrici A e Bnon commutano: Vediamo qualche caso di matrici che commutano, per le quali cioê ê [A, B] = 6. 1) Ogni matrice A, di ordini qualsiansi, commuta con la matrice unitã compatibile con À per moltiplicazione a destra o a sinistra: [A D=[LA]J=0 cioê AL=IA=A Una qualunque matrice, quindi, rimane inalterata se moltiplicata a destra o a sinistra per I. Esempio: 40 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO alla o52:53 SE a=|; 1 H at= | 2 | o : E eptaro 0+2+0 0+0+3 | 2 oa 1+0+0 0+1+0 0+0+2 | + ed 2a =| 1 aJ=a mn=|!o |! 2 Rs 2+0 3+0] |12 ij=a 01 112 lo+1 0+1 0+2 foda) L'esempio mostra che: a) AI=A ; IA=A. Per questo la matrice I é detta anche matrice identità. b) AL-IA=6 cioê [A]=0 o) IA-AI=6 cioê [LA]J=6 Importante: 'ordine della matrice unitã viene scelto caso per caso in modo che A ed I siano compatibili per prodotto a destra o a sinistra. 52. A=Ija bel 100 aAl=Ia b cl-J0 1 0)=Ila+t0+0 0+b+0 0+0+cll= 0101 =Ija b cl IA=Iililla b cll=Illa 1: Iell=Ia b cl L'esempio mostra che: a) AI=A; IA=A b) AI-IA=6 cioê [A,I]=0 c) IA—AI=6 cioê [LA]=6 2) Due matrici diagonali di uguali ordini commutano. 30 0 1 0.0 53. Siano: D' 01 0),D'=]0 —s - Si ha che: 00 —2 0 0-3 30 0 1 0 0 3. 00 DD =|0 1 ol-|jo -S ol=|o —s o 00 —2 0 0 —3 o 0 6 1 0 0 30 o 3 00 D'D'= -5 0lj0o 1 ol=|0 —5 0 0 0 —3 00 —2 0 06 L'esempio mostra che: a) DD —- D'D'=6 cioê [D,D]=6 b) D'D' — DD'=6 cioê [D”,D]=6 41 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO c) Il prodotto tra due matrici diagonali dello stesso ordine é ancora una matrice diago- nale che ha per elementi diagonali i prodotti degli elementi diagonali. 3) Ogni matrice A, di ordini qualsiansi, commuta con la matrice scalare (si veda 82.4.) k1 compatibile con A per moltiplicazione a destra o a sinistra. aa “rol. |20 sa. =| 2) u=2ls = 2 q3al|2ol | 62 34. san=[ 4 5 al=]oá al=2]i a]-" -|20 Ri | 6 2] 31 w o :| IR al-|.; a)=2]1 :] bi L'esempio mostra che: a) A(kD)— (DA =6 cioê [A,kI]=6 b) (ADA — A(k)=6 cioê [kI,A]=6 o) KIA D=kILA]=6 ss. a=[H efa-a ny y 300 aq=| ER) |: 40 =| a e pai à nov y 003 1 32 33 E IA x el=3 xy ys 30 x mm | 3x 3x x x» 23 KA = . = = = GDA lo 3 | »oy 3 3 3 no» Importante: I'ordine della matrice unità, quindi di KI, viene scelto caso per caso in modo che A ed I siano compatibili per prodotto a destra o a sinistra. 4) Ogni matrice A, di ordini qualsiansi, commuta con la matrice nulla É compatibile con A per moltiplicazione a destra o a sinistra (!). =1>2 q 56. a=|3 4 dsine 0 qua? E ao= |; 13] jo 0 o ur 0A=I0 0] |! 4 | ó () La matrice nulla O ê quadrata o rettangolare (cfr. $2.1.). Quindi: nel caso AÓ la matrice nulla deve avere tante righe quante sono le colonne di A ed un numero ar- bitrario di colonne; nel caso ÓA la matrice nulla deve avere tante colonne quante sono le righe di A ed un numero ar- bitrario di righe. 42 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO L'esempio mostra che: a) AÓ—-GA =) cioê [A,0]=6 b) 0A—A0=0 cio [0,A]=6 c) La matrice nulla ha nel'algebra delle matrici la stessa funzione dello zero nelPalge- bra degli scalari. Infatti una qualsiasi matrice, moltiplicata per la matrice nulla, dá la matrice nulla. 2.11.- Esercizi proposti 414 57. Mostrare che êidempotente lamatrice: A= | 12 3 —3 2 6 —6 1-2 1 58. Mostrare che ê nilpotente diordine2lamatrice: A=|| 1 2-1 1 2 + 59. Mostrare che Vespressione Y = X? + 5X + 21 si annulla per: ra = o x=] 2 =| € »x=] 2-1 60. Mostrare che commutano le copie di matrici: = |-1 15 23 oa=[o 4 a | 10-22 1 —4 —2 bAa=|i 1 3)eB=[3 7/7 0-1 2 2 -18 61. Quali sono le matrici che commutano con: 100 200 aI=|o 1 0l;bD=[]030 001 005 62. Date le matrici: A=I! anB=[2|.4 | 42) ,g=|"! 2) eseguireipro- 1 -2.1 -2 dotti AB, AA”, A'B”. Trarre delle conclusioni in relazione al'algebra degli scalari. 63. Trovare tutte le matrici A = ||x1 x:]| che moltiplicate a destra per B= | = | diano la matrice nulla. 1 64. Come Fesercizio 63 con le matrici: A = | e = | E: | nx» 2 —6 65. Dagli esercizi 63 e'64 trarre delle conclusioni in relazione allalgebra degli scalari. 43 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO Soluzioni degli esercizi proposti | de si Vit À 41 =1 * 57. A=|)123 —3 23 —3 u 6 -6 ll x 6 —6 16+12-M 4+3-6 —4-3+6 411 =| 48+36-72 12+9-18 —12-9+18 23 -3])= 96+72— 144 24+18-36 —2M— 18+36 Mu 6 —6 pt? 1 =: =2 1 100 ss At=| 1 2-1 175 = 100 1 2.1 1 dep 100 -1 al? =loil 10]. ss v=[5 afles|o casal il= “3-5 -5.5 2 = Tor s|+ 10 Saltos A =| cal+ +ho 2l=No 6] Os 5 —2 02 00 4a —4 10 ov=[55 es] alelo 1]= = - —20 É =| calar -s]+]o 2] .|j-2 0 20|.|00 =|"5 a=Do 2)-loo Le due matrici X sono degli zeri delhespressione Xº + 5X +21. In generale: Y=0X+aX"!+...+asl dá una matrice quadrata Y. Le matrici quadrate X tali che Y = 6 (matrice nulla) sono dette zeri della Y. r=s[| 23). |28 +] MARE Is 10 à |. =] 2 “23 q S|=[3 “8]= ma=| 1] 10 il-l% 4 [| =AB 1 = À ed md -—3 —2 —18 b) AB= 13 3 7 7)=|1 0 29 o 2ll2z- is 1-9 9 V—4-—2 1 o —2 —3 —2 —I8 BA=)3 7 7)lji 1 3]=[10 0 2 2 =: 81:12 1-9 9 61. 62. 63. 64. ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO a) Tutte le matrici quadrate di ordine 3 commutano con 0,0 I=]0 1 0] (cfr.asserto 1,82.10) 001 b) Tutte le matrici diagonali di ordine 3 commutano con 200 030 (cfr. asserto 2, 82.10) 0:20:55, =2º AB=[1 2-| q[=1-=2+2]l=01=6 4-2 , AN = en -á |-10 o|=0 Ê 4.=2 o 0. ME ==> E il- o o]=0 Pur essendo A, B, A', B'matrici diverse dalla matrice nulla, i prodotti AB, AA'e A'B' danno la matrice nulla contrariamente a quanto avviene nellalgebra degli scalari, ove, se un prodotto ê nullo, almeno uno dei fattori ê nullo. Cioê da a:b:c=0 segue che uno almeno dei fattori é nullo; da A-B-C=6 non segue necessariamente che uno dei fattori é nullo. a 1 Si ê ottenuta quindi un'equazione a due incognite che, come ê noto, ammette oo! solu- zioni che si ottengono dando valori arbitrari ad una delle incognite e determinando Faltra. Sono quindi oo! le matrici del tipo ||x x2]| tali che: Deve essere: ||x1 x2||* =[oll > —2x+xm=0 =2 te selof= Deve essere: | a E “ll; 2 Í il- = Es » Cioê: vo» 2 [E —3x — 6x =|9 | n+2p, 3 — 6 00 L'eguaglianza tra i due membri conduce al sistema: m+20=0 —3m — 6» =0 n+2n=0 -3y —6»=0 9 Dalle prime due equazioni si ha I'unica equazione x1 + 2x) =0 che ammette co! soluzioni. 45 65. 2.1 1 66. 67. 46 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO Dalle altre due equazioni si ha Punica equazione y1 + 27:=0 che ammette co! soluzioni. Três ara Quindi esistono infinite matrici che moltiplicate a destra per 6 | danno la matrice nulla. n=—4 n=-6 x x v 2 —42 ' La matrice = | | ê una di queste, ottenuta per Í —6 3 Le conclusioni che si possono trarre sono identiche a quelle delVesercizio 62. Cioê se é AB = À non necessariamente é A = Ó oppure B = ). Come confermano gli esercizi 62, 63, 64, puô essere A 2 (e B 3º (. In definitiva, si vuol mettere in evidenza che nel- Valgebra degli scalari lo zero non ha divisori, cioê non esistono numeri diversi da zero il cui prodotto ê zero. Nell'algebra matriciale, invece, la matrice nulla ha dei divisori, cioê esistono matrici, diverse da quella nulla, che moltiplicate tra loro danno la ma- trice nulla. 2.- Legge di cancellazione. Proprietà distributiva LEGGE DI CANCELLAZIONE. Quando nell'algebra degli scalari si scrive Vuguaglianza ab = ac si trae che b = c. Questa é la legge di cancellazione. Anche in questo caso VPal- gebra matriciale si discosta da quella degli scalari. 2 1 o Siconsiderino lematrici: A=||3 2 2,B= € Per confermare quanto detto basta far vedere che, pur essendo B * C, é AB = AC: 1 aB=n3 2 2n-)0|=1151 1 2 1 ac=43 2 2-|-L]=116-11=151 0 101 01 0 2 Si considerino le matrici: a=| | +B=|0 1 +,C=|0 + 2 16 1 1 0 01 uo1s du: as=[) Toljo i)=ho 5] 1 1 : 0 2 uos “lia sc=[) 1 o) a h : Anche in questo caso é AB = AC pur essendo B * C. Concludendo si puô dire che nell'algebra matriciale non vale la legge di cancellazione. ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 2) PROPRIETA DISTRIBUTIVA. Nellalgebra degli scalari si ha: 68. 69. ab+c)=ab+ac [2.12.1] che si chiama prima proprietã distributiva; (a+b)c=ac+ be [2.12.2] che si chiama seconda proprietà distributiva. Cioê: la [2.12.1] ci dice che il prodotto tra uno scalare ed una somma di scalari ê uguale alla somma dei prodotti dello scalare per ciascuno degli ad- dendi della somma; la [2.12.2] ci dice che il prodotto di una somma (di scalari) per uno scalare ê uguale alla somma dei prodotti di ciascuno degli addendi della somma per lo scalare. Poiché nell'algebra degli scalari il prodotto é commutativo, si ha anche: abto=(b+coa=ab+tac=ba+ca Facciamo vedere che nell'algebra matriciale ê: A(B+C)=AB+AC [2.12.3] (A+B)JC=AC+BC [2.12.4] ma non si dimentichi che la proprietã commutativa in generale non vale, cioê: AB+OA(B+OA (A+BJCAC(A +B) Siano date le tre matrici compatibili per le moltiplicazioni AB, AC, A(B + C): 2-1 1 1 A= = = ló ad.» |. | :| Verifichiamo la [2.12.3]: 2a 1 - 2 — 0 - se+o=|5 3 oh+|m)-[5 slJal=[5 03 2 2 o sala 12 “pra 1 2 — - 0 - as+ac= [o “|Jo+o sfoil= sl- o 3h 2 03 2 et] cl= [al 12 Dal confronto segue che: A(B+C)=AB+AC. Siano date le tre matrici compatibili per le moltiplicazioni: AC, BC, (A + B)C: a=p-2 34 .B=ut on, c=| 2) Verifichiamo la [2.12.4]: (asme=q-2 31+11 0m-[ 2]=1=1 31: 2]=1-sn 47 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO 2 2 AC+BC=I|—-2 su? [+ on? f=1=7+21=1=51 Dal confronto segue che: (A + B)JC=AC+ BC. Gli esempi possono essere anche piú complicati ma le conclusioni non cambiano. 2.13.- Prodotti notevoli In base a quanto detto nel 2.12, si puô fare vedere che nell'algebra matriciale é (1): (A+BP=A+AB+BA+B! [213.1] Solo nel caso in cui A e Bcommutano, cioê [A,B]=b, siha: (A+BP=A2+2AB+B [2.13.2] come nell'algebra degli scalari. Dimostriamo la [2.13.1): (A+BL=(A+B)(A+B)=[postoA+B=C]=(A+B)C=AC+BC= =A(A+B)+B(A+B)=A?+AB+BA+B La dimostrazionc della [2.13.2] si deduce dalla [2.13.1] per AB = BA. qu E 32 2-1 1—s|? 3 —6 3:.—6 aer=(f; 2; 2 f=[5 IE Dj 9—18 Er iels 1] 9-6 —I8+4 3 —I14 Sviluppando secondo la definizione [2.13.1] si ha: 2apa|o- 1-—s 1—s 2-1 AA |O A À ERA ES ER due matrici quadrate dello stesso ordine. 70. Siano = | es=| 21, 0 —4 (a+By=[ 1-sP +; 2 = =[tto vetapa|2os -10-2 +Ppyo Fitad e 0+0- 0+16 o-12 o-8|" l6+o -3-8 1—15 Do |- 3+6 —IS+4 4 1-1 2:19 -14 15 | E É el+ li nh+] 9 n]- 7) Ae B devono essere necessariamente quadrate. Se infatti A (o B) avesse ordini m,n, non si po- trebbe effettuare il prodotto A? = AA (o Bº = BB) perché la matrice A (o B) sarebbe incompati- bile con se stessa. Inoltre A e B devono essere dello stesso ordine, altrimenti non si puô calcolarne la somma al primo membro ed al secondo membro. +| 48 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO | 4-1+2-14 2—12+19-15 | SR -—6 o-12+6+9 16-8-n-n] || 3 —14 I risultati ottenuti con i due metodi confermano la [2.13.1]. Allo stesso modo si puô far vedere che: a-mi=[ A?-AB-BA+B in generale [2.13.3] NA 2AB+B se [A,BJ= (AB=BA) [2.134] A?-AB+BA-—B” in generale [2.13.5] A+BA-B)=( a (AFB(AB= ap se [A,BJ=0 (AB=BA) [2.136] 71. Con le stesse matrici dell'esempio 70 verifichiamo la [2.13.3] e la [2.13.5]: =sr=[Jo Zs]=[5 a) (1-5 -5])- A-B [A 3 2) Al-3 — e =| 1 il | 1 sl-| 1—-12 4-u| -3 —6 —3 —6 -3+18 —12+36] — =| | 5 Uu Sviluppando secondo la definizione [2.13.3], si ha: 2-1 Dial 1 — Lire 2-1 a=sr=(ho Zalj=ho =a:ls Cal-ds ol: ta 8) 0 —4 0 —4 gira 3 2l'ho =alt LosSIro +; 2 P= =ho =abio Dil-Joci “ocsl+ 0 -alllo —4 0-12 0-8 [310 t+! - ||! -s. 6+0 -3-8 3.2 = a =| 2-5 -2I [2 19], |-14 —15] 0 16 -12 —8 6 —H 9 uno =|" | 5 24 Irisultati ottenuti con i due metodi confermano la [2.13.3]. Infine, con le stesse due matrici, verifichiamo la [2.13.5]: 2-1 1 —s — — m asma-m=lho = [+5 S)MIo =uJ-15 2) =|; =s|:| 1 =| B+3%]- 3 —2 -3 —6 3+6 n+n2] o! | 9 24 Sviluppando secondo la definizione [2.13.5]: 49 ALGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO EA fla x (A+ BJ(A — B) =[| E 8 e 1 Vs + Silo =s)=-(15 “a])- =[o culta 2ol-[o2% osl+ “lo —s 0 —4 0o-12 0- +sxo csisl=-]5 Cas il- 6+0 —3-8 3 3.49) E -1 -12 j-u -5| =Jó ss [5 25) +16 nl | Sp 48 9 24 Irisultati ottenuti con i due metodi confermano la [2.13.5]. 2.14.- Prodotto di tre o piú matrici. Proprietã associativa Poiché la moltiplicazione tra scalari gode della proprietà commutativa, il prodotto 2-3-4 si puô eseguire associando i fattori in vario modo: 2:3:4=(2:3):4=2(3:4) = (2:4):3 Dato che, in generale, per la moltiplicazione tra matrici non vale la proprietã commu- tativa, il prodotto ABC (!) si puô eseguire associando i fattori in uno dei modi seguenti: =24 ABC = (AB)C= A(BC) [14.1] 73. Siano: 53 12-12 = de= -so 3 al,c=|["2 2 0 3-2 pa 1-4 05 3 12102 ame; Vas 03 dh à d= a qe 5 53 -[os a ap cif-l-s cm Ea 1-4] -s4 —104 05 () Perché il prodotto ABCD... sia eseguibile, le matrici devono essere del tipo: Asa: v-Bap ,:Cag Dir ie so ÁLGEBRA DELLE MATRICI — VOLUME PRIMO ie 12-12 Jo S ago=| 3 n5 Qu es Lois Io PAi 5 0 1 Ra! o o dede 3] =|; 3-2 | | a ão =| —84 —104 8) I due risultati confermano la [2.14.1]. Si osservi che qualunque altro modo di associare le matrici del"esempio 73 dã luogo a fattori incompatibili per la moltiplicazione. A. a=[ 15 ? SIE * c=|5; | seo=[ 4 5||-2 1) E =| 517% ol- =[á 4] abe=(] 1-5 ]] st) 2)=]55 d]H55 é]- =|y “| I due risultati confermano la [2.14.1]. Si osservi che nell'es. 74, pur essendo A, B, C matrici compatibili per la moltiplica- zione in un ordine qualsivoglia, un diverso modo di associare tali matrici conduce a risul- tati diversi da quello trovato e quindi errati. Ad esempio: J 12 02 In. o 2h. mos=[ -13 dE :))- | =] -5 H |: = =| —10 —1S 8 O 2.15.- Esercizi proposti My a th 75. Datalamatrce A=|xw p 2 b mp ah a) Calcolare il prodotto UA, ove U ê una matrice compatibile con A del tipo visto al b) Calcolare il prodotto AU, ove U ê una matrice compatibile con A del tipo visto al c) Esaminando le matrici ottenute e confrontandole con A, dedurre delle regole per moltiplicazioni di tali tipi. 51
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