Algebra linerar exercicios, Exercícios de Matemática

Baixe Algebra linerar exercicios e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA Livro: Álgebra Linear - Editora Harbra (Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler) diegoalvez @ pop.com.br Compilado dia 20/11/2015 Solucionário da 3 a edição do livro de Álgebra Linear dos autores: José Luiz Boldrini, Sueli I.Rodrigues Costa, Vera Lúcia Figueiredo e Henry G. Wetzler. Para quem desejar; uma c ópia do livro pode ser baixada em http://www.professores.uff.br/jcolombo/Alg lin I mat 2012 2/Algebra%20Linear%20Boldrini.pdf . A expectativa é que seja respondido um caṕıtulo do livro por mês. Mas, infelizmente resolver e digitar (principalmente digitar), os exerćıcios desse livro leva um bom tempo. Assim, pode haver atrasos na postagem. De todo modo, n˜ao deixe de acompanhar o documento no link abaixo, para obter futuras atualiza¸ cões. http://diegoalvez2015.blogspot.com.br/ EXERC ´ ICIO PAGINA 11 1. Sejam A =  1 2 3 2 1 −1  , B =  −2 0 1 3 0 1  , C =   −1 2 4   e D = [2, −1] Encontre: a) A + B b) A · C c) B · C d) C · D e) D · A f) D · B g) −A h) −D 1 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA (k1k2)AB = A(k1k2)B Usando a comutatividade A(k2k1)B = k2(Ak1)B = (Ak1) · (k2B) = (k1A)(k2B). Solução de e: Falsa. Como contra exemplo tome A =  2 1 0 −1  e B =  0 3 1 1  Solução de f: Falsa. Como contra exemplo tome A =  2 0 0 1  e B =  2 1 1 0  Solução de g: Falsa. Solução de h: Verdadeiro. O produto entre duas matrizes s´o é possı́vel se o numero de linhas da segunda for igual ao numer o de colunas da primeira. Assim A m×n · Am×n só ocorre se m = n. O que implicaria no fato de A ser quadrada. 7. Se A 2 = A·A, então  −2 1 3 2  2 . . . Solução:  −2 1 3 2 2 =  −2 1 3 2  ·  −2 1 3 2  =  7 0 0 7  8. Se A é uma matriz triangular superior, então A2 é . . . Solução: Do tipo triangular superior. 4 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA ⇒ w = − 2 z (6) Colocando (6) em (5) chegamos a uma nova rela¸ cão. wy = −1 − 2 z y = −1 ⇒ z = 2y (7) Agora tome a equa ção (1) x2 + yz = 3 Usando novamente que x = w então: w2 + yz = 3 Usando a equa ção (7) w2 + y(2y) = 3 Usando agora a equa ção (5) w2 + 2y2 = 3 w2 + 2  − 1 w  2 = 3 w2 + 2 w2 − 3 = 0 ⇒ w = −1 ou w = 1 Tomando (arbitrariamente) w = 1 ent ão por (5) y = −1 e por (7) z = −2. Como havı́amos suposto de ińıcio que x = w então x = 1 Logo B =  1 −1 −2 1  7 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA 15. Um construtor tem contratos para cons truir 3 estilos de casa: moderno, mediterr âneo e colonial. A quantidade de material empregado em cada tipo de casa é dada pela matriz: Moderno Mediterrâneo Colônial Ferro 5 7 6 Madeira 20 18 25 Vidro 16 12 8 Tinta 7 9 5 Tijolo 17 21 13 (Qualquer semelhança dos n úmeros com a realidade é mera coincidência). a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrˆ aneo e colonial respectivamente, quantas unidades de casa material serão empregadas? b) Suponha agora que os pre ços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinita e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p. Qual é o pre ço unitário de cada tipo de casa? c) Qual o custo total do material empregado? Solução de a: Pela matriz a quantidade de materiais de uma casa moderna é igual a 65 (soma dos elementos da primeira linha). De uma casa mediterr ânea 67 (soma dos elementos da segunda linha) e de uma casa colonial 57(soma dos elementos da terceira linha). Logo serão utilizadas 1478 unidades de materiais. 5 · 65 + 7 · 67 + 12 · 57 = 1478 Solução de b: O preço da casa moderno ser á: 5(15) + 20(8) + 16(5) + 7(1) + 17(10) = 492 Analogamente se calcula para as demais casas. 16. Uma rede de comu nica ção tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a esta¸ cão i pode transmitir direta-mente à estação j , aij = 0 o que significa que a transmiss˜ao da esta ção i não alcança a esta ção j . Observe que a diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma. 8 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA A =       0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0       Qual seria o significado da matriz A 2 = A · A? Seja A2 = [cij]. Calculemos o elemento c42 = 5  k=1 a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1 Note que a ´unica parcela n ão nula veio de a43 · a32 = 1 · 1. Isto significa que a esta ção 4 transmite para a esta ção 2 através de uma transmissão pela esta ção 3, embora n ão exista uma transmissão direta de 4 para 2. a) Calcule A 2. b) Qual o significado de c13 = 2? c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirmação: “A matriz A 2 representa o n úmero de caminhos dispońıveis para se ir de uma esta ção a outra com uma ´unica retransmissão”. d) Qual o significado das matrizes A + A 2, A3 e A + A 2 + A3? e) Se A fosse simétrica, o que significaria? Solução de a: (Solução retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)).       0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0       ·       0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0       =       1 1 2 3 1 0 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 0 0 1 0 1       Solução de b: (Solução retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)). c13 = 2 e significa que a esta ção 1 transmite para esta ção 3 através de uma terceira de dois modos (através da estação 2 e da esta¸cão 4). Solução de c:(Solução retirada da lista da Professora. Marina Tebet (GAN/IME/UFF)). Cada elemento de A 2 representa o n úmero de modos que uma esta¸cão trans mite para uma outra através de uma terceira estação. 9 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA EXERĆICIO PAGINA 26 Suponha que um corretor da Bolsa de Valores faça um pedido para comprar ações na segunda- feira, como segue: 400 quotas de a¸cão A, 500 quotas da a ção B e 600 quotas da a ção C. As a ções A, B e C custam por quota Cr$ 500,00 Cr$ 400,00 e Cr$ 250,00 respectivamente. a) Encontre o custo total das a¸cões, usando multiplicações de matrizes. b)Qual será o ganho ou a perda quando as a¸ cões forem vendidas seis meses mais tarde se as ações A, B e C custam Cr$ 600,00 Cr$ 350,00 e Cr$ 300,00 por quota, respectivamente? Soluç˜ ao de a: A resposta deve ser uma matriz 1 ×1, assim uma matriz deve ser da ordem 1 ×a e outra a ×1. Como temos três quantidades de quotas (A, B e C) e três valores (um para cada quota), então a = 3. Ou seja, demos ter uma matriz 1 ×3 e outra 3x1. A primeira matriz ser á a de quantidade: Q = (400 , 500, 600) Enquanto a segunda ser á de pre ço P =   500 400 250   Fazendo P·Q chegamos á matriz de custo total igual a 550 mil. P · Q = [550 .000] Soluç˜ ao de b: Nesse caso basta trocar os valores da matriz P e em seguida realizar a multiplica¸ cão. Q·P = (400 , 500, 600) ·   600 350 300   = [595.000] Ou seja, houve um ganho de 45 mil. 2. É observado que as probabilidades de um time de futebol ganha r, perder e empatar uma partida depois de conseguir uma vit´oria são 1/2, 1/5 e 3/10 respectivamente; e depois de ser derrotado s ão 3/10, 3/10 e 2/5, respectivamente; e depois de empatar s˜ ao 1/5, 2/5 e 2/5, respectivamente. Se o time n ão melhor nem piorar, conseguira mais vit órias ou derrotas a longo prazo? 12 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA Soluç˜ ao: Primeiro vamos considerar as probabilidades após Ganhar uma partida. G G 1/2 P 1/5 E 3/10 Agora as probabilidades após Perder um jogo. G P G 1/2 3/10 P 1/5 3/10 E 3/10 2/5 E finalmente as probabilidades ap ós Empatar. G P E G 1/2 3/10 1/5 P 1/5 3/10 2/5 E 3/10 2/5 2/5 Observe que esta ultima matriz é regular (quadrada e com possibilidade de inversão). Assim podemos aplicar o teorema 1.5.4.   pG pP pE   =   0.5 0.3 0.2 0.2 0.3 0.4 0.3 0.4 0.4   ·   pG pP pE     pG pP pE   =   0.5 pG + 0.3 pP + 0.2 pE 0.2 pG + 0.3 pP + 0.4 pE 0.3 pG + 0.4 pP + 0.4 pE   Que resulta nas seguintes equações. 0.5 pG + 0.3 pP + 0.2 pE = pG 0.2 pG + 0.3 pP + 0.4 pE = pP 0.3 pG + 0.4 pP + 0.4 pE = pE e nos possibilita montar o seguinte sistema:  −0.5 pG + 0.3 pP + 0.2 pE = 0 0.5 pG − 0.7 pP + 0.2 pE = 0 0.5 pG + 0.3 pP − 0.6 pE = 0 Além disso, sabemos que as somas das probabilidades é igual a um ( pG + pP + pE = 1). Daı́, pG = 26 79 , pP = 24 79 e pE = 29 79 . 13 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA S I S 2/5 1/5 I Sabemos que p S + pI = 1 (pois s˜ao eventos complementares), assim podemos completar a tabela acima. S I S 2/5 1/5 I 3/5 4/5 Essa será a matriz de transi ção do problema. T =  2/5 1/5 3/5 4/5  para determinar a probabilidade do 4 ◦ dia basta fazer o cubo da matriz de transi¸ cão. T3 =  2/5 1/5 3/5 4/5 3 =  32/125 31/125 93/125 94/125  O resultado é o valor do elemento a12 da 3 a potência. No caso, 31 125 . Soluç˜ ao de b: Usando o teorema 1.5.4:  pS pI  =  2/5 1/5 3/5 4/5  ·  pS pI  Da equação acima retira-se o seguinte sistema  −0.6 pS + 0.2 pI = 0 0.6 pS − 0.2 pI = 0 Cuja solu ção ocorre para pS = 1 4 e pI = 3 4 . Assim, a longo prazo, a probabilidade de termos dias satisfatórios é 1/4 e de termos dias insatisfatórios é de 3/4. 5. Numa ilha maravilhosa verificou-se que a cor azul ocorre em borboletas de gen´otipo aa, e não ocorre em Aa e AA. Suponha que a pro por ção de borboletas azuis seja 1/4 . Depois de algumas gerações, qual ser á a porcentagem das borboletas n˜ao azuis, mas capazes de ter filhotes azuis? Solução: Denotando por d, dominante, r, recessivo e h, hibrido, e os respectivos cruzamentos por dXd, dX r, dX h, colocando as probabilidades em colunas, podemos montar a seguinte matriz de transição: 15 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA Fazendo L1 = L1 + 0.5L2     1 0 7/2 33/2 0 1 4 22 0 0 1 5 0 0 0 0     Fazendo L2 = L2 - 4L3    1 0 7/2 33/2 0 1 0 2 0 0 1 5 0 0 0 0    Finalmente fazendo L1 = L1 - (7/2)L3     1 0 0 −1 0 1 0 2 0 0 1 5 0 0 0 0     Solução: x = −1, y = 2 e z = 5 2. Descreva todas as possı́veis matrizes 2× 2, que est ão na forma escada reduzida por linhas. Soluç˜ ao: Tome A =  a11 a12 a21 a22  com coeficientes não nulos. Existe um k ∈ R onde k a21 = a11. Sendo assim, multiplicando L2 por k e depois subtráımos L1 de L2.  a11 a12 k · a21 − a11 k · a22 − a12  Que resulta na matriz a seguir.  a11 a12 0 ka22 − a12  Agora, dividimos L1 por a11  1 a12 a11 0 ka22 − a12  E finalmente dividimos L2 por k a22 − a12 18 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA  1 a12 a11 0 1  Que é a forma geral de uma matriz reduzida por linha 2 por 2 com coeficientes n ão nulos. As demais matrizes ficam a cargo do leitor. 3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas. a)   1 −2 3 −1 2 −1 2 3 3 1 2 3   b)   0 1 3 −2 2 1 −4 3 2 3 2 −1   c)     0 2 2 1 1 3 3 −4 2 2 −3 1     Soluç˜ ao de a:   1 0 0 −4 0 1 0 −3 0 0 1 −1   Soluç˜ ao de b:   0 1 3 −2 2 1 −4 3 2 3 2 −1   L1 = L1 + L2 →   2 0 −7 5 2 1 −4 3 2 3 2 −1   L2 = L1 - L2 →   2 2 −7 5 0 −1 −3 2 2 3 2 −1   L3 = L3 − L1 →   2 2 −7 5 0 −1 −3 2 0 3 9 −6   L3 = 3L2 + L3 →   2 2 −7 5 0 −1 −3 2 0 0 0 0   Finalmente dividindo L2 por −1 e L1 por 2:   1 1 −7/2 5/2 0 1 3 −2 0 0 0 0   Soluç˜ ao de c:     1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0     19 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA 4. Calcule o posto e nulidade das matrizes da quest˜ ao 3. Soluç˜ ao: A solução de a do problema anterior é a matriz:   1 0 0 −4 0 1 0 −3 0 0 1 −1   Como não há nenhuma linha nula na matriz ent˜ao p = 3 (posto). Pois a matriz tem 3 linhas não nulas. J á a nulidade, que é o numero de colunas da matriz menos o seu posto, é igual a 1. A solução de b do problema anterior é a matriz:   1 1 −7/2 5/2 0 1 3 −2 0 0 0 0   Como temos apenas duas linhas n˜ao nulas então o posto é igual 2. Já a nulidade ser á 2. A solução de c do problema anterior é a matriz:   1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0   Como temos apenas duas linhas n˜ao nulas então o posto ser á 2. E a nulidade ser á 1. 5. Dado o sistema    3x + 5y = 1 2x + z = 3 5x + y − z = 0 escreva a matriz ampliada, associada ao sistema e reduza-a ` a forma escada reduzida por linhas, para resolver o sistema srcinal. Soluç˜ ao: A matriz ampliada ser á:   3 5 0 1 2 0 1 3 5 1 −1 0   Reduzindo a matriz à forma escada por linhas 20 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA • Posto: 3; • Posto da matriz dos coeficientes: 2; • Solução: O sistema n ão tem solu ção. 13.  x − 2y + 3z = 0 2x + 5y + 6z = 0 Soluç˜ ao: • Matriz ampliada:  1 −2 3 0 0 9 0 0  ; • Posto: 2; • Posto da matriz dos coeficientes: 2; • Solução: x = −3z; y = 0; • Grau de liberdade: 1. 14.     x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 − x4 = 4 x1 + x2 − x3 + x4 = −4 x1 − x2 + x3 + x4 = 2 Soluç˜ ao: • Matriz ampliada:     x1 x2 x3 x4 0 0 x2 0 0 0 0 0 x3 0 2 0 0 0 x4 −2     ; • Posto: 4; • Posto da matriz dos coeficientes: 4; • Solução: x1 = 0; x2 = 0; x3 = 2 e x4 = −2; • Grau de liberdade: 0. 15.   x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 Soluç˜ ao: 25 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA • Matriz ampliada:   1 2 3 0 0 1 3/2 0 0 0 1 0  ; • Posto: 3; • Posto da matriz dos coeficientes: 3; • Solução: x = 0; y = 0 e z = 0; • Grau de liberdade: 0. 16.          3x + 2y − 4z = 1 x − y + z = 3 x − y − 3z = −3 3x + 3y − 5z = 0 −x + y + z = 1 Soluç˜ ao: A cargo do leitor. 17. O método de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor n´umero de opera ções que envolve. Ele consiste em reduzir a matriz ampliada s ó sistema por linha-equival̂encia a uma matriz que só é diferente da linha reduzida à forma escada na condi ção “cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elem entos iguais a zero”, que passa a ser: “cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero”. As outras condi ções são idênticas. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solu ção final do sistema é obtida por substituição. Exemplo:  2x1 + x2 = 5 x1 − 3x2 = 6  2 1 5 1 −3 6  ∼  1 1/2 5/2 0 −7/2 7/2  ∼  1 1/2 5/2 0 1 −1  a ultima matriz corresponde ao sistema: x1 + 1 2 x2 = 5 2 x2 = −1 Por substituição, x1 − 1 2 = 5 2 , ou seja, x1 = 2. 26 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA Resolva pelo método de Gauss os exercı́cios 13,14 e 15. Soluç˜ ao de 14: A matriz ampliada do sistema, ap´os o escalonamento, é a seguinte: (ver problema 14)   x1 x2 x3 x4 0 0 x2 0 0 0 0 0 x3 0 2 0 0 0 x4 −2   ; Que resulta no seguinte sistema:        x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x2 = 0 x3 = 2 x4 = −2 Note que os valores e x2,...,x 4 já são bem evidentes. Assim s ó nos resta definir o valor de x1. x1 = −(x2 + x3 + x4) x1 = −(0 + 2 + −2) x1 = 0 Assim, pelo método de Gauss a solução será x = y = z = 0. Soluç˜ ao de 15: A matriz ampliada do sistema, ap´os o escalonamento, será:   1 2 3 0 0 1 3/2 0 0 0 1 0   veja o problema 15. que implica no seguinte sistema:    x + 2y + 3z = 0 y + (3/2)z = 0 z = 0 Que por substitui ção resulta em x = 0; y = 0 e z = 0. Soluç˜ ao de 16: A matriz ampliada do sistema, ap´os o escalonamento, será: 27 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA    a11 · · · a1n ... . . . ... a1n · · · ann    ·    x1 ... xn    =    b1 ... bn    e    y1 ... yn    é solução do sistema homogêneo associado a AX = B    a11 · · · a1n ... . . . ... a1n · · · ann    ·    y1 ... yn    =    0 ... 0    então a soma das solu ções também é solução de AX = B.    y1 ... yn    =    x1 ... xn    =    x1 + y1 ... xn + yn    Para verificar tal afirmação substitúımos esse resultado na equação AX = B   a11 · · · a1n ... . . . ... a1n · · · ann   ·   x1 + y1 ... xn + yn   =   b1 ... bn   Note que a equa ção matricial acima representa o seguinte sistema      a11(x1 + y1) + · · · + a1n(xn + yn) ... a1n(x1 + y1) + · · · + ann(xn + yn) e podemos representa-la como:      a11x1 + a11y1 + · · · + a1nxn + a1nyn ... a1nx1 + a1ny1 + · · · + annxn + annyn      a11x1 + · · · + a1nxn + a11y1 + · · · + a1nyn ... a1nx1 + · · · + annxn + a1ny1 + · + annyn 32 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA Observando a equação do sistema homogêneo notamos que a soma de todos os termos acom- panhados de yb com b ∈ (1,...,n ) é igual a zero. Assim podemos rescrever o sistema      a11x1 + · · · + a1nxn + 0 ... a1nx1 + · · · + annxn + 0 Que na forma de equa ção matricial fica    a11 · · · a1n ... . . . ... a1n · · · ann    ·    x1 ... xn    =    b1 ... bn    Assim, a soma das solu ções é uma solução do sistema AX = B. 23. Faça o balanceamento das rea¸cões: a) N2O5 → NO2 + O2 (decomposição térmica do N2O5) b) HF + SiO 2 → SiF4 + H2O c) (NH 4)2CO3 → NH3 + H2O + CO 2 Soluç˜ ao de a: Podemos observar que as quantidades de “N” e “O” em ambos os lados n˜ ao é a mesma. Se os coeficientes estequiométricos forem respectivamente x, y e z temos que: xN2O5 → y NO2 + z O2 Ou seja:  2x − y (N i) 5x − 2y − 2z (O) O Sistema é SPI (Sistema Posśıvel e Indeterminado) e admite mais de uma solução (x, y, z), porém nos interessa a menor solução inteira. A solu ção genérica desse sistema é:  λ 2 , λ, λ 4  33 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA adotando λ = 4 Que nos d á a menor solu ção inteira, teremos: x = 2, y = 4 e z = 1 e a equa¸cão balanceada é: 2N2O5 → 4NO2 + O2 Soluç˜ ao de b: 4HF + SiO 2 → SiF4 + 2H2O Soluç˜ ao de c: (NH4)2CO3 → 2NH3 + H2O + CO 2 25. Sabendo-se que a alim enta ção di ária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 320 unidades de vitamina E. Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que: a) o alimento I tem uma unidade da vitamina A, 10 unidades da vitamina B, 1 unidade da vitamina C, 2 unidades da vitamina D e 2 unidades da vitamina E; b) o alimento II tem 9 unidades da vitamina A, 1 unidade da vitamina B, 0 unidades da vitamina C, 1 unidade da vitamina D e 1 unidade da vitamina E; c) o alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de B, 5 unidade de C, 1 unidade de D e 2 unidades de E; d) o alimento IV tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 2 unidades de D e 13 unidades de E; e) o alimento V tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 9 unidades de D e 2 unidades de E. Quantos gramas de cada um destes 5 alimentos (I a V) deve-se ingerir diariamente para se ter uma alimentação equilibrada? Soluç˜ ao: A matriz que relaciona os alimentos com suas devidas quantidades de cada vitamina é: A B C D E I 1 1 0 1 2 2 II 9 1 0 1 1 III 2 2 5 1 2 IV 1 1 1 2 1 3 V 1 1 1 9 2 34 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA Com base nesses dados e na tabela do problema o custo mı́nimo é de R$ 115,00. 28. Uma placa quadrada de material homogêneo e mantida com os bordos AC e BD temper- atura de 20 ◦C, o bordo AB a 40 ◦C e CD a 10 ◦C, com o uso de isolantes térmicos em A, B, C e D (vide figura). 10◦C 40◦C 20◦C10◦C x y A B C D Após ser atingido o equiĺıbrio térmico, qual e a temperatura aproximada em cada ponto da placa? Soluç˜ ao: Considere o seguinte reticulado da placa: 10 20 40 10 A temperatura em um ponto qualquer é aproximadamente a média dos pontos vizinhos. Por exemplo, a temperatura no ponto em vermelho da figura pode ser aproximada por: p32 = 20 + p42 + p22 + p33 4 Onde p32 é o ponto situado na linha 3 e coluna 2. Podemos multiplicar os dois lados da equa¸ cão por 4, e ent˜ ao colocar as vari áveis no lado esquerdo e as constantes no lado direito: 4 p32 = 20 + p42 + p22 + p33 38 Álgebra Moderna Diego Oliveira - Vit´ oria da Conquista/BA 4 p32 − p42 − p22 − p33 = 20 Repetindo o processo para cada ponto obtemos um sistema de equa¸ cões lineares. Cujas soluções nos dar á as temperaturas dos pontos. 39