Algoritmo Simplex, Notas de estudo de Algoritmos
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Algoritmo Simplex, Notas de estudo de Algoritmos

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Apresentação do PowerPoint

Campus - Mossoró

Profª Adricia Fonseca Mendes

Algoritmo Simplex

PRINCÍPIO DO ALGORITMO

SIMPLEX

 Já vimos que a solução ótima de um PPL é um ponto extremo (solução básica viável).

 Em grandes problemas o número de pontos extremos pode ser muito grande.

Como evitar o teste de todas as soluções viáveis básicas possíveis para garantir a otimização do sistema?

2

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

3

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

Max z = 3x1+ 2x2

Sujeito a:

x1 + x2 ≤ 6

5x1+ 2x2 ≤ 20

x1, x2 ≥0

4

5

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

Max z = 3x1+ 2x2 (0)

Sujeito a:

x1 + x2 + x3 = 6 (1)

5x1+ 2x2 + x4 = 20 (2)

x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0 (3)

6

Tableau Simplex

Na forma tabular, a função de maximização passa a ser

escrita como:

z = 3x1+ 2x2 => z-3x1- 2x2 = 0

7

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação Valor

Coeficientes

8

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação Valor

Coeficientes

•Neste problema, temos m = 2 restrições e n = 4 variáveis.

•Para termos uma solução básica viável, é preciso pelo menos n –

m = 2 variáveis nulas e que todas as variáveis tenham valores não-

negativos.

• Solução básica factível: x3 = 6 e x4= 20 com z=0

Solução: {x1, x2 , x3 , x4 } ={0, 0, 6, 20}

9

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

Teste de otimalidade:

 Como os coeficientes de x1 e x2 são negativos na

linha 0, a SBF atual não é ótima, pois um incremento

positivo em x1 e x2 resultará em SBF adjacente melhor

do que a SBF atual.

10

11

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

12

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação Valor

Coeficientes

•Escolhe-se a variável não básica com maior coeficiente negativo

0. Portanto, a variável x1 é selecionada para entrar na base, e a

coluna dessa variável é a coluna pivô.

13

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

Entra

14

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

15

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

•De quanto podemos aumentar o valor de x1 ?

Podemos aumentar seu valor contanto que as outras

variáveis permaneçam não-negativas.

16

•Escolhe-se a variável que limita mais o crescimento de x1, ou

seja, a linha com menor quociente.

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6 6/1=6

x4 2 0 5 2 0 1 20 20/5=4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

Entra

Sai

17

Entra

Sai

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 5 2 0 1 20

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

Pivô

18

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

19

• Nova linha pivô

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 1 1 1 0 6

x4 2 0 1 2/5 0 1/5 4 ÷ 5

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

20

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -3 -2 0 0 0

x3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2 (-1)×Eq.2+Eq.1

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

• Nova linha da equação 1

21

• Nova linha da equação 0

z x1 x2 x3 x4 z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12 (3)×Eq.2+Eq.0

x3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

22

• Nova forma tabular após o método de eliminação Gauss-Jordan

(Iteração 1)

z x1 x2 x3 x4 z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12

x3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

Solução básica factível: x3 = 2 e x1= 4 com z=12

Solução: {x1, x2 , x3 , x4 } ={4, 0,2, 0}

23

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

24

• A solução é ótima?

Não, pois o coeficiente de x2 na equação 0 é negativo.

Qualquer incremento positivo em x2 resultará em um

incremento positivo no valor da função objetivo.

z x1 x2 x3 x4 z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12

x3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

25

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

26

Entra

Sai

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12

x3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2 2/(3/5)=10/3

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4 4/(2/5)=10

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

27

Entra

Sai

Pivô

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12

x3 1 0 0 3/5 1 - 1/5 2

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

28

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

29

• Nova linha pivô

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12

x2 1 0 0 1 5/3 - 1/3 10/3 ÷ (3/5)

x1 2 0 1 2/5 0 1/5 4

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

30

• Nova linha da equação 2

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 - 4/5 0 3/5 12

x2 1 0 0 1 5/3 - 1/3 10/3

x1 2 0 1 0 - 2/3 1/3 8/3 (-2/5)×Eq.1+Eq.2

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

31

• Nova linha da equação 0

z x1 x2 x3 x4 z 0 1 0 0 4/3 1/3 44/3 (4/5)×Eq.1+Eq.0

x2 1 0 0 1 5/3 - 1/3 10/3

x1 2 0 1 0 - 2/3 1/3 8/3

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

32

• Nova forma tabular após o método de eliminação Gauss-Jordan

(Iteração 2)

Solução básica factível: x2 = 10/3 e x1= 8/3 com z=44/3

Solução: {x1, x2 , x3 , x4 } ={8/3, 10/3, 0, 0}

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 0 4/3 1/3 44/3

x2 1 0 0 1 5/3 - 1/3 10/3

x1 2 0 1 0 - 2/3 1/3 8/3

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

33

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

34

• A solução é ótima?

Sim, pois os coeficientes das variáveis não básicas x3 e x4 na

equação 0 são positivos.

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 0 0 4/3 1/3 44/3

x2 1 0 0 1 5/3 - 1/3 10/3

x1 2 0 1 0 - 2/3 1/3 8/3

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

35

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

36

PROBLEMA DE MIX DE PRODUÇÃO

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

37

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

38

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

39

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

40

Notas de aula Professor: Rodrigo A. Scarpel

Min z = 4x1- 2x2

Sujeito a:

2x1 + x2 ≤ 10

x1 - x2 ≤ 8

x1, x2 ≥0

41

42

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

Max z = 4x1- 2x2 (0)

Sujeito a:

2x1 + x2 + x3 = 10 (1)

x1 - x2 + x4 = 8 (2)

x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0 (3)

43

Tableau Simplex

Na forma tabular, a função de minimização passa a ser

escrita como:

z = 4x1-2x2 => z-4x1 + 2x2 = 0

44

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 1 -1 0 1 8

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

45

•Neste problema, temos m = 2 restrições e n = 4 variáveis.

•Para termos uma solução básica viável, é preciso pelo menos n –

m = 2 variáveis nulas e que todas as variáveis tenham valores não-

negativos.

• Solução básica factível: x3 = 10 e x4= 8 com z=0

Solução: {x1, x2 , x3 , x4 } ={0, 0, 10, 8}

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 1 -1 0 1 8

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

46

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

Teste de otimalidade:

 Para um problema de minimização, a solução é ótima

se todos os coeficientes das variáveis não básicas na

equação 0 são não positivos (≤ 0). Portanto, a solução

inicial {x1, x2 , x3 , x4 } ={0, 0, 10, 8} não é ótima, já que o

coeficiente da variáveis não básica x2 na equação 0 é

positivo.

Entra na base a variável com o maior coeficiente

positivo.

47

48

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

49

Entra

Sai

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 10 10/1=10

x4 2 0 1 -1 0 1 8

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

50

Entra

Sai

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -4 2 0 0 0

x3 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 1 -1 0 1 8

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

Pivô

51

• Nova forma tabular após o método de eliminação Gauss-Jordan

(Iteração 2)

Solução básica factível: x2 = 10 e x4= 18 com z=-20

Solução: {x1, x2 , x3 , x4 } ={0, 10, 0, 18}

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -8 0 -2 0 -20 (-2)×Eq.1+Eq.0

x2 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 3 0 1 1 18 Eq.1+Eq.2

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

52

Início: Forma

Padrão

Encontrar uma

solução SBF* inicial

A solução

é ótima?

Variável que entra

Variável que sai

Utilizar o método Gauss-Jordan e

recalcular a solução básica

Fim Sim

Não

*Solução Básica Factível

Fim ø

53

• A solução é ótima?

Sim, pois os coeficientes das variáveis não básicas x1 e x3 na

equação 0 são não positivos.

z x1 x2 x3 x4

z 0 1 -8 0 -2 0 -20

x2 1 0 2 1 1 0 10

x4 2 0 3 0 1 1 18

Variável

básica

Nº da

equação

Coeficientes Valor

Referência

• Belfiore, P. Fávero, L.P. Pesquisa Operacional: Para cursos de

engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.

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