Análise Matric, Notas de estudo de Engenharia Civil
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Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estruturas Dada a estrutura abaixo, determine os deslocamentos no nó 2 e as reações de apoio utilizando a análise matricial de estruturas. Dados da Barra 1: 50 kN EA = 300000 kN (2) EL=32400 kN mê 2 Comprimento = 4,0 m Dados da Barra 2: 1 EA = 300000 kN EI = 32400 kN m? Comprimento = 3,0 m () Resposta Passo 1: Numeração dos graus de liberdade da estrutura: Esta numeração indica a posição de cada deslocamento ou esforço na matriz de rigidez que será elaborada a seguir. Podemos afirmar que a estrutura tem 9 graus de liberdade e, portanto, terá uma matriz de rigidez de dimensão 9 x 9. Passo 2: Incidência das barras Barra | Nó de Início | Nó de Fim 1 1 2 2 2 3 Passo 3: Cálculo de [Ã] para cada barra, no sistema local: Barra 1: Barra Bi-engastada As referências estão indicadas ao lado. A partir destas referências, tem-se a matriz de rigidez indicada: Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN E 1 0 ea 0 6EI fe]- EA r EE o 28 1 0 6EI 0 0 “12EI 6EI PB 2 SEI 2EI P / 0 0 12EI 6EI Pp P 6EI | 4EI Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 1: 75000,00 0,00 0,00 6075,00 =| 000 1215000 He h=| 75000,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 Barra 2 Barra Bi-engastada 100000,00 0,00 0,00 14400,00 p= | 000 21600,00 [k|=| 10000000 0,00 0,00 -14400,00 0,00 21600,00 0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00 -15000 0,00 0,00 00 75000,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 6075,00 -12150,00 0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Substituindo-se os valores indicados, tem-se a seguinte matriz de rigidez para a barra 2 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 -100000,00 0,00 0,00 100000 0,00 0,00 00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 Passo 4: Transformando coordenadas locais em coordenadas globais: 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Para esta transformação, usa-se a matriz [T] e sua transposta [T]. A matriz [T] é: cosa. seno. — seno. cosa. rel 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cosa, — sena. 0 0 0 0 seno. cosa, 0 nooooo A transformação ocorre pela multiplicação de matrizes: [k]= [7 He k ] Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN Barra 1: Dado que o ângulo 0=90º, tem-se a seguinte matriz [T]: 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 “100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 [TM = A matriz transposta [T]' é apresentada a seguir: 0,00 -100 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 [TT = Assim, pode-se fazer o produto [k]= Ir He k 1] Primeiro começa-se pelo produto ad 0,00 -6075,00 -12150,00 0,00 — 6075,00 -12150,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 JEI 0,00 12150,00 32400,00 0,00 -12150,00 16200,00 0,00 6075,00 12150,00 0,00 -6075,00 12150,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 12150,00 16200,00 0,00 -12150,00 32400,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]: 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 7500000 0,00 0,00 -75000,00 0,00 4.) |-12150,00 0,00 3240000 12150,00 0,00 16200,00 J=Ir)lkdr)- -6075,00 0,00 1215000 607500 0,00 12150,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 7500000 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 1. Barra 2: Dado que o ângulo 0=0º, tem-se a seguinte matriz [T]: 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 [TM = Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura 4 Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN A matriz transposta [T]' é apresentada a seguir: 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 [TH = Assim, pode-se fazer o produto [k]= [7 He k ]. Primeiro começa-se pelo produto He]: 100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 — 14400,00 2160000 0,00 -14400,00 21600,00 ri 0,00 21600,00 3240000 0,00 — -21600,00 21600,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 — 14400,00 -21600,00 0,00 21600,00 2160000 0,00 -21600,00 43200,00 Toma-se, então, este resultado e se multiplica por [T]: 100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 — 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 | 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 [el-trilklri -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 — 14400,00 -21600,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Essa é a matriz de rigidez da barra 2. Passo 5: Montagem da Matriz de Rigidez [K] da estrutura pelo método da colocação: O Método da Colocação consiste em definir uma matriz com todos os graus de liberdade (que são 9, neste exemplo) e colocar as matrizes de rigidez de cada barra de acordo com a incidência das barras (passo 2). No nosso exemplo, tem-se: o NW 000 NR 00 08 Assim, podemos criar a matriz de rigidez de cada barra, na posição colocada e somá-las para obter a matriz de rigidez. Barra 2 Soma das barras Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN Para a barra 1: 6075,00 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 32400,00 12150,00 0,00 16200,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 6075,00 0,00 12150,00 0,00 0,00 0,00 [Kh= 0,00 -75000,00 0,00 0,00 75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 0,00 32400,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Para a barra 2: 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 [K]=|0,00 0,00 0,00 0,00 14400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 32400,00 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0,00 0,00 0,00 0,00 21600,00 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 Somando-se as duas matrizes, obtem-se a matriz de rigidez global: 607500 0,00 -12150,00 -607500 0,00 1215000 0,00 0,00 0,00 0,00 7500000 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 3240000 1215000 0,00 1620000 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 1215000 10607500 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 [EJ=| 0,00 -75000,00 0,00 0,00 — 89400,00 2160000 0,00 1440000 21600,00 -12150,00 0,00 1620000 1215000 21600,00 6480000 0,00 -21600,00 21600,00 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 10000000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 — -14400,00 -21600,00 0,00 — 14400,00 -21600,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2160000 2160000 0,00 -21600,00 43200,00 A partir desta matriz, pode-se montar o sistema geral conforme está mostrado na página seguinte. A matriz [P] é a matriz dos esforços, [K] é a matriz de rigidez e [p] é a matriz dos deslocamentos. Lembrar que [P] = [KJ] [p]. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN A matriz, então fica: RI 6075,00 0,00 -12150,00 R2 0,00 75000,00 0,00 R3 -12150,00 0,00 32400,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 -50,00/-=| 0,00 — -75000,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 16200,00 R7 0,00 0,00 0,00 R8 0,00 0,00 0,00 R9 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 106075,00 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 89400,00 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0 16200,00 0,00 0,00 0,00 0 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 Di 21600,00 0,00 -14400,00 21600,00 |x|D2 64800,00 0,00 -21600,00 21600,00 | |D3 0,00 100000,00 0,00 0,00 0 -21600,00 0,00 14400,00 -21600,00 0 21600,00 0,00 -21600,00 43200,00 0 Note que R1 é a força de reação horizontal no nó 1, R2 é a força de reação vertical no nó 1 e R3 é o momento de reação no nó 1; R7 a força de 1eação horizontal no nó 3, R8 é a força de reação vertical no nó 3 e R3 é o momento de reação no nó 3. D1 é o deslocamento horizontal no nó 2, D2 é o deslocamento vertical no nó 2 e D3 é o deslocamento rotacional no nó 2. Esta matriz representa um sistema de 9 equações com 9 incógnitas e, portanto, pode ser resolvido. Vamos separar a resolução deste sistema calculando primeiro os deslocamentos e depois calculando as reações de apoio. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN Passo 6: Determinação dos deslocamentos dos nós livres Na matriz abaixo, estão indicadas as linhas onde podem ocorrer deslocamentos. RI 607500 0,00 -12150,00 -6075,00 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 o R2 0,00 7500000 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 o R3 -12150,00 0,00 3240000 1215000 0,00 1620000 0,00 0,00 0,00 o 0,00 -6075,00 0,00 1215000 10607500 0,00 1215000 -100000,00 000 0,00 DI -5000|=| 0,00 -75000,00 0,00 0,00 8940000 2160000 0,00 — -1440000 21600,00 | *| D2 0,00 -12150,00 0,00 1620000 1215000 2160000 6480000 000 — -2160000 21600,00 | | D3 R7 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 — 100000,00 0,00 0,00 o R8 0,00 0,00 0,00 0.00 -14400,00 -21600,00 0,00 — 14400,00 -21600,00 o R9 0,00 0,00 0,00 0,00 2160000 2160000 0,00 — -2160000 43200,00 o Note que estas linhas formam um sistema de três equações com três incógnitas. Isolando estas equações, tem-se o sistema abaixo: 0,00 | [10607500 0,00 12150,00 DI -50,00|=| 0,00 89400,00 21600,00 |x| D2 0,00 12150,00 21600,00 64800,00 D3 Resolvendo pela inversa da matriz!, tem-se: Di 9,653E-06 4,756E-07 -1,968E-06 -50,00 D2|=| 4,756E-07 1,219E-05 -4,152E-06|x| 0,00 D3 -1,968E-06 -4,152E-06 1,719E-05 0,00 Fazendo-se a multiplicação das matrizes, chega-se que: DI =-0,00002378 m; D2 = -0,00060944m; D3 = 0,0002076] rad Passo 7: Determinação das reações de apoio Para determinar as reações de apoio, devemos substituir D1, D2 e D3 determinados no passo 6 na matriz definida no passo 5. Essa matriz está colocada na próxima página. ! Com o MS Excel, pode-se inverter facilmente uma matriz com a função ÍNDICE(MATRIZ.INVERSO (matriz); linha;coluna). Verificar na ajuda do programa para detalhes de sua utilização. Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Henrique Piovezan - UNIBAN RI R2 R3 0,00 -50,00|= 0,00 R7 R$ R9 607500 0,00 -12150,00 -607500 0,00 -12150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 7500000 0,00 0,00 -75000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -12150,00 0,00 32400,00 1215000 0,00 1620000 0,00 0,00 0,00 0,00 -6075,00 0,00 12150,00 10607500 0,00 12150,00 -100000,00 0,00 0,00 -0,00002378 0,00 -75000,00 0,00 0,00 8940000 2160000 0,00 -14400,00 21600,00 |x|-0,00060944 -12150,00 0,00 16200,00 12150,00 21600,00 6480000 0,00 -21600,00 21600,00 | |0,00020761 0,00 0,00 0,00 -100000,00 0,00 0,00 100000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -14400,00 -21600,00 0,00 — 14400,00 -21600,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2160000 2160000 0,00 -21600,00 43200,00 0,00 Procedendo-se à multiplicação das matrizes, chega-se ao resultado: RI = 2378 kN R2 = 45,708 kN R3 = 3074 kNm -50,00 = 0,000 kN 0,00 = -50,000 kN 0,00 = 0,000 kNm R7 = 2378 kN R8 = 4292 kN R9 = -8680 kNm Exercício Exemplo de Análise Matricial de Estrutura Prof. Luís Hemique Piovezan - UNIBAN A representação física deste resultado em um diagrama de corpo livre é dada pelo diagrama: 50 kN | 4,292 kN 2,378 kN 8,680 kN.m «— 2,378 kN 3,074 kN.m 45,708 kN A partir do diagrama de corpo livre, pode-se desenhar os esforços solicitantes na estrutura.
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