Ap1 gp 1 2015 gabarito, Provas de Geometria Analítica e Cálculo. Universidade Federal Fluminense (UFF)
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Ap1 gp 1 2015 gabarito, Provas de Geometria Analítica e Cálculo. Universidade Federal Fluminense (UFF)

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PROVA DE GEOMETRIA PLANA AP1
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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Geometria Plana – AP1 – Gabarito

Questão 1 [2,0 pts]: Os ângulos de um triângulo ABC estão em ordem de grandeza crescente. Sabendo que a diferença entre o segundo e o primeiro é igual à diferença entre o terceiro e o segundo e,

ainda que, o menor vale 2

3 do maior, determine os ângulos desse triângulo. Justifique suas respostas.

Solução: Denote BÂC = a, AB̂C = b e AĈB = c. Do enunciado temos que a ordem de grandeza dos ângulos é crescente, então considere a < b < c. Ainda conforme enunciado, temos: i) a diferença entre o segundo e o primeiro é igual à diferença entre o terceiro e o segundo, então

b− a = c− b ⇒ 2b = a+ c (1)

ii) o menor vale 2

3 do maior, então

a = 2c

3 (2)

Da soma dos ângulos internos de um triângulo temos

a+ b+ c = 180(3)

Substituindo (1) em (3) temos

b+ 2b = 180◦ ⇒ b = 180

3 = 60(4)

De (1), (2) e (4) temos

a+ c = 120◦ ⇒ 2c 3

+ c = 120◦ ⇒ 5c 3

= 120◦ ⇒ c = 3 · 120

5 = 3 · 24= 72

Portanto a = 2c

3 =

2 · 72

3 = 2 · 24= 48, b = 60e c = 72.

Questão 2 [2,0 pts]: Na figura, AB é um diâmetro, a corda AM é o lado de um triângulo equilátero inscrito e BN o lado do quadrado inscrito. Calcule a medida do ângulo α. Justifique suas respostas.

Geometria Plana – Gabarito AP1 2

Solução 1: Observe que ⌢ BN= 90, pois BN é lado do quadrado.

⌢ AM= 120, pois AM é o lado

de um triângulo equilátero. Como AB é diâmetro, então ⌢ AN= 180◦−

⌢ BN= 180◦ − 90= 90.

E ⌢ BM= 180◦−

⌢ AM= 180◦ − 120= 60. Dáı

α =

⌢ NAM −

⌢ MBN

2 =

(120+ 90)(90+ 60) 2

= 210◦ − 150

2 =

60

2 = 30.

Solução 2:

Observe que podemos usar que OM̂P = ON̂P = 90pois as semirretas PN e PM são tangentes a circunferência. Portanto basta calcular o ângulo NÔM . Como BN e AM são, respectivamente, os lados do quadrado e do triângulo inscritos na circunferência, temos que

NÔB = ⌢ BN= 90e MÔB = 180◦−

⌢ AM= 180◦ − 120= 60

Do quadrilátero PMON vem que α +NÔM = 180◦ ⇒ α = 180◦ − (90+ 60) = 30.

Questão 3 [2,0 pt]: Em um trapézio isósceles ABCD, as bissetrizes dos ângulos da base CD formam um ângulo que mede 100. Calcule o valor das medidas dos ângulos do trapézio. Solução: Seja o trapézio isósceles ABCD de bases AB e CD, trace as bissetrizes DE e CE, onde E é o ponto de encontro dessas bissetrizes.

Temos que = D̂, pois o trapézio ABCD é isósceles.

Denote ED̂A = a, então ED̂A = ED̂C = EĈB = EĈD = a, e

100 + a+ a = 180◦ ⇒ 2a = 180◦ − 100◦ ⇒ a = 80

2 = 40.

Logo = = 2a = 80e = = 180◦ − 80= 100.

Questão 4 [2,5 pts]: Considere dois hexágonos regulares congruentes, ABCDEF e AHIJKL, conforme as figuras.

Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ

Geometria Plana – Gabarito AP1 3

a) (0,7) Utilizando a Figura 1, justifique por que x = 90.

b) (0,8) Utilizando a Figura 1, calcule o valor de y. Justifique suas respostas.

c) (1,0) Utilizando a Figura 2, calcule o valor de z = m(AD̂J). Justifique suas respostas.

Solução:

a) O ângulo interno do hexágono regular é Ai = 180(62)

6 =

180◦ · 4 6

= 180◦ · 2

3 = 120, mas

LÂH = Ai = 30 + x ⇒ x = Ai − 30= 120◦ − 30= 90.

b) Na figura observe o hexágono ABCMKL, que não é regular.

Os ângulos B̂, Ĉ, K̂ e são ângulos internos de hexágonos regulares.

Como a soma dos ângulos internos de um poĺıgono de n lados é

Si = 180 (n− 2), então a soma dos ângulos internos de

ABCMKL é: Si = 180 (62) = 180◦ · 4 = 720. Logo

x+ 4 · Ai + y = 720◦ ⇒ 90+ 4 · 120+ y = 720◦ ⇒ y = 720◦ − 480◦ − 90= 150

c) Como os hexágonos regulares são congruentes, então AD = AJ .

Logo o triângulo ADJ é isósceles. Além disso, AD e AJ são bissetrizes,

respectivamente, de FÂB e LÂH, então JÂH = 60,

Ou seja, JÂH = JÂB + 30◦ ⇒ JÂB = 30.

De maneira análoga LÂD = 30.

De a) vem LÂB = 90= LÂD +DÂJ + JÂB. Portanto DÂJ = 30.

Assim o valor pedido é z = m(AD̂J) = 180◦ − 30

2 = 75.

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Geometria Plana – Gabarito AP1 4

Questão5 [1,5 pts]: Na figura a seguir temos o segmento AD que é congruente a CD e AB que

é congruente a BC. Mostre que DÂB = DĈB, justificando todas as suas respostas.

Solução: Seja a figura dada, tal que AD ≡ CD e AB ≡ BC.

Dáı ∆ABD ≡ CBD, pois AD ≡ CD AB ≡ BC BD comum

pelo critério LLL, então DB ≡ DB. Logo os ângulos opostos ao lado DB são congruentes.

Ou seja, DÂB = DĈB.

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