Aplicacoes de integrais Duplas, Notas de estudo de Matemática
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Aplicacoes de integrais Duplas, Notas de estudo de Matemática

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O centro de massa de um ponto.original
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O centro de massa

O centro de massa de um sistema de particulas é o ponto que se move como se toda massa do

sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forcas externas estivessem aplicadas

nesse ponto.

A figura mostra duas particulas de massas e separadas por uma distancia .

Escolhemos arbitrariamente como origem do eixo a posicao da particula de massa .

Definimos a posicao do centro de massa () desse sistema de duas particulas como

Suponhamos que =0. Nesse caso existe apenas uma particula, de massa , e o centro de massa

deve estar na posicao dessa particula; já que a equacao se reduz a = 0.Se =0, temos de novo

apenas uma particula (de massa ) e, como devia ser.Se =, o centro de massa deve estar a meio

caminho entre duas particulas; a equacao se reduz a , como seria de se esperar. Se nehuma das duas massas é nula so pode assumir valores entre 0 e , ou seja, o centro de

massa deve estar em algum lugar entre as duas particulas.

A figura mostra uma situacao mais geral na qual o sistema de coordenadas desloca para a

esquerda. A posicao do centro de massa é agora definida como

Observe que se fizermos

ficara igual a

e a segunda equacao se reduzira na primeira.

Apesar do deslocamento da origem do sistema de coordenadas, o centro de massa continua a

mesma distancia de cada particula.Podemos escrever a equacao na forma

Onde é a massa total do sistema.podemos estender esta equacao a uma situacao mais geral,

na qual particulas estao posicionadas ao longo do eixo .Nesse caso, a massa total de um

sistema de n particulas é e a posicao do centro de massa é Seja uma lamina ou placa fina

placa cujo o formato é uma regiao D limitada do plano. Se

1

Momentos estaticos das laminas:

Seja uma lamina ou placa fina cujo o formato é uma regiao S limitada do plano. Se

é uma funcao continua em S que representa a densidade superficial desta lamina no ponto

entao, a massa M da lamina e seus momentos estaticose em relacao aos eixos OX e OY são

expressos pelas integrais duplas

,,

Se a lamina é homogenia, entao =

Fazendo, tambem, analogia a um sistema finito de particulas temos que o centro de massa da

lamina é o ponto.

.

Se a funcao densidade é constante entao o ponto

é chamado de centroide da lamina ou da regiao S

Coordenadas do centro de gravidade da lamina

Se é o centro de gravidade de uma lamina, temos

, onde M é a massa da lamina e Mx, My, seus momentos estaticos em relacao aos eixos das

coordenadas. Se a lamina é homogenia, entao nas formulas 1 pode-se fazer .

Momento de inercia da lamina

Denomina-se momento de inercia em relacao ao eixo l, de um sistema de n pontos materiais

de massasa soma

,onde são as distancias desde os pontos ao eixo l.quando a massa é continua, em lugar da

soma obteremos a integral correspondente.

Estendendo este conceito a uma placa de formato S com densidade de massa , temos que as

definicoes dos momentos de inercia com relacao aos eixos x e y são respectivamente:

e e momento de inercia polar (ou com relacao a origem) é definido por

2

Nas formulas de momento de inercia não troque x por y

A densidade de cada ponto de uma placa semicircular é proporcional a distancia ao centro do

circulo.

Os momentos de inercia de uma lamina em relacao aos eixos OX e OY são iguais

respectivamente, a . Fazendo nas formulas 2 e 3, obtemos os momentos geometricos de

inercia das figuras planas.

Ex: Encontre o centro de massa da placa.

Solucao: vamos colocar a placa na parte superior do circulo de raio a. A distancia de (x,y) ao

centro (origem) é , portanto a densidade é para alguma constante k. calculemos,

primeiramente a massa

como a regiao é simetrica com relacao ao eixo y, temos que e

Logo o centro de massa é o ponto . Observação:se a densidade se fosse constante, entao o

centro de massa seria o ponto

Exemplo 5: Determinar a massa da esfera x2 + y2 + z2 = 1, com densidade = x2, em

cada ponto (x, y, z).

Temos:

Equação da esfera: , (u,v) T : [0,2] x [-/2,/2]

VPF = =

|VPF| =

= = =

Portanto:

m = = = = = = = = = = = = = .

http://www.uff.br/gma/informacoes%20disciplinas/calc%2003%20-A-%202012-2/calculo-III-

A_2012-2_Listas_de_exercicios.htm

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